李毛毛

(北京控制工程研究所，北京 100190)

考慮控制約束和不確定性的火星最優(yōu)進(jìn)入制導(dǎo)

李毛毛

(北京控制工程研究所，北京 100190)

針對火星進(jìn)入段控制受約束、大氣環(huán)境以及探測器自身參數(shù)不確定性等問題，提出控制受約束的火星最優(yōu)魯棒進(jìn)入制導(dǎo)方法.將針對參數(shù)不確定系統(tǒng)的最優(yōu)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為針對標(biāo)稱系統(tǒng)的修正性能指標(biāo)；同時(shí)考慮控制約束，在性能指標(biāo)中引入飽和函數(shù)，將制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為求解修正Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程問題；由于HJB方程是偏微分方程，求解有難度，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近能力近似求解.本文制導(dǎo)方法保證了不確定系統(tǒng)有最優(yōu)的性能指標(biāo)上界和較強(qiáng)的魯棒性.最后將其應(yīng)用到火星進(jìn)入制導(dǎo)中，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)存在不確定的情況下，仍可以很好地滿足火星進(jìn)入段終端條件，控制量也在約束的范圍內(nèi)，從而驗(yàn)證所提方法的有效性.

不確定系統(tǒng)；控制約束；HJB方程；火星進(jìn)入制導(dǎo)

0 引 言

大氣進(jìn)入制導(dǎo)是航天器成功著陸星球，進(jìn)行各項(xiàng)科學(xué)研究和實(shí)驗(yàn)的前提.航天器返回地球技術(shù)研究較深入.作為距離地球最近的行星之一，火星在很多方面都與地球相似，已經(jīng)成為人類進(jìn)行深空探測的重要目標(biāo)天體[1].航天器進(jìn)入火星的過程分為進(jìn)入段(entering)、下降段(descent)和著陸段(landing).由于火星大氣層非常稀薄，整個(gè)進(jìn)入過程時(shí)間短，狀態(tài)變化快，對減速性能的要求也很高.火星大氣具有很大的不確定性，時(shí)常出現(xiàn)狂風(fēng)，沙塵等天氣，因此具備一定自適應(yīng)能力的制導(dǎo)方法，已經(jīng)成為了國內(nèi)外火星領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[2-3].最初，設(shè)計(jì)目標(biāo)主要考慮在進(jìn)入段終端，航天器速度和高度盡可能滿足要求[4].目前，成功著陸火星的探測器，在進(jìn)入段，早期的探測器采用無升力彈道式進(jìn)入，最新的火星科學(xué)實(shí)驗(yàn)室(MSL)和海盜號采用彈道升力式進(jìn)入.彈道升力式因?yàn)橹懢雀?，必將成為趨?近年來，隨著對火星探測需求的改變，著陸點(diǎn)的環(huán)境卻更加惡劣，需要實(shí)現(xiàn)火星探測器精確著陸[5-6].

火星大氣進(jìn)入過程分為跟蹤標(biāo)稱軌道的制導(dǎo)方法和預(yù)測校正的制導(dǎo)方法，具體細(xì)分為標(biāo)準(zhǔn)軌道法、解析預(yù)測校正算法、能量控制算法和數(shù)值預(yù)測校正算法等[7-8]，這些算法均以改變傾側(cè)角的大小和幅值來控制進(jìn)入段的軌跡.針對跟蹤標(biāo)稱軌道的制導(dǎo)方法，有學(xué)者利用線性軌跡跟蹤律實(shí)現(xiàn)6個(gè)參考軌跡狀態(tài)的跟蹤，并提出實(shí)時(shí)計(jì)算跟蹤律增益的理論[9].但是由于火星大氣進(jìn)入系統(tǒng)的強(qiáng)非線性和時(shí)變特性，使用LQR方法會(huì)引起較大的跟蹤誤差.采用滑模變結(jié)構(gòu)控制可獲得較好的制導(dǎo)精度，但由于抖振的存在使其難以用于工程.Benito和Mease[10]利用非線性模型預(yù)測控制可以實(shí)現(xiàn)很高的制導(dǎo)精度，但是較大的計(jì)算負(fù)擔(dān)限制了該方法在實(shí)際中的應(yīng)用.Restrepo和Valasek[11]利用直接模型參考自適應(yīng)控制有效克服參數(shù)不確定的影響，使系統(tǒng)獲得較強(qiáng)的魯棒性.由于火星進(jìn)入段的系統(tǒng)方程是高度非線性和時(shí)變的，利用線性系統(tǒng)的理論設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，會(huì)導(dǎo)致制導(dǎo)精度不夠.近年來，非線性最優(yōu)控制問題引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注,以上方法，都沒有考慮火星進(jìn)入制導(dǎo)中非線性最優(yōu)制導(dǎo)與控制問題，這是本文需要解決的問題.

本文針對火星進(jìn)入段的制導(dǎo)問題，利用最優(yōu)控制思想去跟蹤標(biāo)稱軌跡，保證系統(tǒng)有一個(gè)最優(yōu)的性能指標(biāo).對非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)最優(yōu)控制律，需要求解HJB方程，其為非線性的偏微分方程無法得到解析解.目前，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種近似求解HJB方程的方法.Beard[12]針對有限時(shí)間和無限時(shí)間域的非線性最優(yōu)控制問題，提出了一種Galerkin近似方法求解HJB方程.Cheng等[13-14]提出了利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，無需策略迭代可近似求解有限時(shí)間域的非線性最優(yōu)控制問題，同時(shí)指出基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近能求出時(shí)不變和時(shí)變HJB方程的近似解，充分利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近能力，將求解HJB方程問題轉(zhuǎn)化為求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值問題，較于其他方法，運(yùn)算量少，工程實(shí)現(xiàn)也更容易.

在火星進(jìn)入段的過程中, 火星探測器的質(zhì)量和氣動(dòng)系數(shù)會(huì)存在不確定性，縱向制導(dǎo)控制量很容易超出界限，在本文中，考慮控制量受約束的非線性不確定系統(tǒng)的最優(yōu)魯棒制導(dǎo)律.

1 火星進(jìn)入制導(dǎo)問題

1.1火星進(jìn)入段模型

火星進(jìn)入段制導(dǎo)分為縱向和橫向制導(dǎo)，縱向通過改變傾斜角的幅值來進(jìn)行控制，而橫向改變傾斜角的符號來進(jìn)行控制，利用傾斜角換向邏輯來實(shí)現(xiàn)縱橫向控制的解耦.一旦橫程誤差超過規(guī)定閾值，傾斜角的符號就反號.本文中，主要考慮縱向制導(dǎo)問題，進(jìn)入段制導(dǎo)中狀態(tài)量：高度，速度和飛行路徑角是定義在縱向平面內(nèi)的，和橫向狀態(tài)是解耦的，所以考慮進(jìn)入段縱向制導(dǎo)采用如下的狀態(tài)方程[11]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：r為航天器到火星球體中心的距離；v為航天器相對火星的速度；γ為飛行路徑角；s為航天器航程；σ為傾斜角；L為火星探測器升力加速度，L=0.5ρv2CLS/m；D為火星探測器阻力加速度，D=0.5ρv2CDS/m；gm為火星重力加速度；ρ為火星大氣密度，ρ=ρrexp[-(r-r0)/hs].

1.2火星進(jìn)入段跟蹤模型的建立

火星進(jìn)入段采用的是基于參考軌跡的標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)方法，本文中采用高斯偽譜法規(guī)劃標(biāo)稱軌跡.

(5)

(6)

(7)

針對誤差系統(tǒng)(7)，結(jié)合非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制思想，希望尋求u(t)如下性能指標(biāo)最?。?/p>

V(x(t0),t0)=l(x(tf),tf)+

(8)

2 考慮控制約束和不確定性的最優(yōu)魯棒控制

2.1基本定義和定理

考慮含有不確定性的仿射連續(xù)非線性系統(tǒng)[15]

(9)

式中，x(t)∈Rn是狀態(tài)量，u(t)∈Rm是控制輸入，f:R×Rn→Rn,Δf:R×Rn→Rn和g:R×Rn→Rn×mΔg:R×Rn→Rn×m是分段連續(xù)的并且在[t0,tf]×Ω局部李普希茲連續(xù)的，Ω是一個(gè)閉集.本文中只考慮Δg=0的情況，Δf(t,x)表示帶有不確定項(xiàng)的系統(tǒng)對標(biāo)稱系統(tǒng)的非線性不確定干擾項(xiàng)，定義Ρ[t0tf]×Ω.標(biāo)稱系統(tǒng)如下式所示：

(10)

定義1.在反饋控制作用下，定義φ(τ;t0,x0,u)為閉環(huán)系統(tǒng)在初始狀態(tài)(t0,x0)和控制量u(t)=φ(t,x)作用下，系統(tǒng)在τ時(shí)刻的解.

考慮提出有限時(shí)間域內(nèi)的性能指標(biāo)：

JF(t0,x0,φ)=s(φ(tf))+

(11)

其中，s:Ω?Rn→R是單調(diào)遞增的正定函數(shù),s(φ(tf))表示對終端狀態(tài)誤差的懲罰.上面的性能指標(biāo)需要考慮到控制量φ(t)是有界的，假設(shè)φ(t,x)被飽和函數(shù)ψ(·)約束(比如tanh等)，定義積分形式的函數(shù)[14]如下：

式中，ψ-T(v)=[θ-1(v1),θ-1(v2),…θ-1(vm)],v∈Rm，ψ∈Rm是有界的一對一函數(shù)，而且它的倒數(shù)也是有界的.W(φ)標(biāo)量，R是正定矩陣.

在求解最優(yōu)控制問題時(shí)，給出容許控制的概念，確保性能指標(biāo)(11)是有限的.

定義3.對于標(biāo)稱系統(tǒng)(10)，如果滿足下面的3個(gè)條件：

(1)φ(t,x)在Ρ內(nèi)是連續(xù)可微的；

(2)φ(t,x)在Ρ內(nèi)有有界響應(yīng)；

那么稱控制律u(t)=φ(t,x)是容許控制.

對于不確定系統(tǒng)(9)，若控制律u(t)=φ(t,x)對于所有的容許不確定項(xiàng)Δf∈F時(shí)，都是容許控制，則有控制律u(t)=φ(t,x)對不確定系統(tǒng)來說是魯棒容許控制，記為u(t)=φ(t,x)∈RA(Ρ).

有限時(shí)間最優(yōu)魯棒控制問題就是找到u(t)=φ(t,x)∈RA(Ρ)，使針對不確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)上邊界Jb<+∞，并且使這個(gè)上界越小越好，則控制律在時(shí)間間隔[t0,tf]就有一個(gè)魯棒有界響應(yīng)，并且使性能指標(biāo)滿足JF(t0,x0,φ)≤Jb.

定理1.考慮不確定系統(tǒng)(9)在控制u(t)=φ(t,x)作用下，提出的性能指標(biāo)形式為式(11).假設(shè)存在函數(shù)V:Ρ→R, Γ:Ρ→R和φ∈RA(Ρ)，V是一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)，滿足

(12)

式中，下標(biāo)x和t表示針對狀態(tài)量和時(shí)間的偏微分，那么控制律u(t)=φ(t,x)在時(shí)間區(qū)域[t0,tf]有一個(gè)魯棒有界響應(yīng)，并且代價(jià)函數(shù)滿足

(13)

式中：

J(t0,x0,φ)(φT(t)Qφ(t)+W(φ)+ Γ(t,φ(t)))dt+s(φ(tf))

(14)

φ(t)表示標(biāo)稱系統(tǒng)(10)的解.

Δf(t,x)滿足如下形式[15]：

F{Δf:P→Rn:Δf(t,x)=Gδ(t,x)δ(hδ(t,x)),

t∈[t0,tf],x∈Ω,δ(·)∈Δ}

式中，Δ={δ:Rpδ→Rmδ,δT(y)δ(y)≤mT(y)m(y),δ(0)=0,y∈Rpδ}，Gδ:Ρ→Rn×mδ,hδ:Ρ→Rpδ,δ:Rpδ→Rmδ是一個(gè)不確定的函數(shù)，m:Rpδ→Rmδ是一個(gè)給定的函數(shù).

ξ>0是引出的一個(gè)參數(shù).

證明.利用參考文獻(xiàn)[16]中引理3.2.4，易得類似結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)u(t)=φ(t,x)在區(qū)域Ρ內(nèi)有魯棒有界響應(yīng)，有u(t)=φ(t,x)∈RA(Ρ).因?yàn)閡(t)=φ(t,x)∈RA(Ρ),易得控制律u(t)=φ(t,x)在時(shí)間區(qū)域t∈[t0,tf]有一個(gè)魯棒有界響應(yīng).

由式(12)可得

在有限時(shí)間間隔內(nèi)積分，易知對于所有的容許不確定Δf∈F，

因此：

又

=-(φT(t)Qφ(t)+W(φ)+Γ(t,φ(t)))

積分可得

及J(t0,x0,φ)=V(t0,x0)，φ(t)及φ(t;t0,x0,φ)表示針對標(biāo)稱系統(tǒng)的解.

定理1證明完成.

2.2神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解控制約束的最優(yōu)魯棒問題

結(jié)合定理1，針對標(biāo)稱系統(tǒng)，定義修正的指標(biāo)函數(shù)

(15)

H(t,x,φ,Vx)=φT(t)Qφ(t)+W(φ)+

(16)

存在一個(gè)最優(yōu)控制φ*，并且φ*滿足標(biāo)稱系統(tǒng)的容許控制的定義，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)V*解析式為

(17)

最優(yōu)控制：

(18)

將式(18)代入式(17)中，可得修正的HJB方程：

(19)

可以看出，最優(yōu)魯棒控制問題的解需要依賴于求解修正的HJB方程(19)，只要得到V*(t,x)，就可以由式(18)求得最優(yōu)魯棒控制.但是HJB方程是非線性偏微分方程，很難求解，如引言所述，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以近似的逼近函數(shù)V*(t,x)，從而求解HJB方程.利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)VL(t,x)在區(qū)域Ρ內(nèi)近似逼近V*(t,x).

(20)

式中，σL(x)=[σ1(x) …σL(x)]T是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，wL(t)=[w1(t) …wL(t)]T是時(shí)變的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層權(quán)值.L是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的個(gè)數(shù)，隱含層到輸出層的權(quán)值為1.

由此，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近求解修正的HJB方程為

(21)

最優(yōu)魯棒控制量為

(22)

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是近似的逼近，存在殘差

ξL(t,x)=HJB(VL(t,x))

(23)

(24)

利用文獻(xiàn)[14]中加權(quán)殘差法的思想，可以得到權(quán)值的最小二乘解，加權(quán)殘差法有

〈σL(x),ξL(t,x)〉Ω=0

(25)

則有：

(26)

注1.利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似逼近函數(shù)V*(t,x)，則存在HJB方程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，近似函數(shù)以及最優(yōu)魯棒控制量收斂性證明.利用文獻(xiàn)[16]引理5.2.14、推論5.2.16、引理5.2.17，可以類似的證明，隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層個(gè)數(shù)的增加，HJB方程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，近似函數(shù)以及最優(yōu)魯棒控制量的收斂性可以得到保證.

3 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證第2節(jié)所提方法的有效性，在給出仿真參數(shù)后，用高斯偽譜法得到標(biāo)稱軌跡，然后利用最優(yōu)魯棒控制方法進(jìn)行標(biāo)稱軌跡的跟蹤.在系統(tǒng)中考慮不確定性，本文中

考慮控制約束，輸入懲罰函數(shù)為

(27)

輸入約束為|φ(t)|≤A=0.97.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的形式如下：

仿真中，進(jìn)入段初始狀態(tài)為：初始高度126 km，初始速度6 000 m/s,初始飛行路徑角-15.2°.針對多種正負(fù)初始誤差的組合，進(jìn)行了仿真校驗(yàn)，初始誤差范圍如下：初始高度誤差范圍[-1 500,1 500] m；初始速度誤差范圍[-150,150] (m/s)；初始飛行路徑角誤差范圍[-0.1,0.1] (°)；初始航程誤差范圍[-12 000,12 000] m.由圖1～4可以看出即使系統(tǒng)存在不確定性，跟蹤誤差亦有很好的抑制效果.在進(jìn)入段終端，高度誤差范圍在200 m以內(nèi)，速度誤差在15 m/s內(nèi)，飛行路徑角誤差在0.01°內(nèi)，航程誤差在2.5 km內(nèi)，滿足了終端誤差的要求.

本文考慮了控制約束的情況，由圖5可知，不管初始誤差多大，經(jīng)過多次仿真，傾斜角的余弦值都在0.97的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了所提控制約束方法的有效性.

為了驗(yàn)證本文所提方法的魯棒性，和文獻(xiàn)[13]中未考慮不確定性的最優(yōu)控制方法進(jìn)行對比，仿真初始條件均相同，結(jié)果表明4個(gè)狀態(tài)最終的誤差大小，本文所提方法都要更小，比如初始誤差[1 300,130,0.09,11 000]時(shí)，本文方法四個(gè)狀態(tài)最終誤差為[190,11,0.0048,1 779]，文獻(xiàn)[13]方法狀態(tài)最終誤差為[260,25,0.01,3 800].另外在各種誤差仿真中，本文方法的性能指標(biāo)都要更小，上述初始誤差下，本文方法性能指標(biāo)為143.1，文獻(xiàn)[13]方法性能指標(biāo)為164.5.

4 結(jié) 論

針對火星進(jìn)入段模型存在不確定和控制量受約束的情況，本文提出了火星進(jìn)入段控制量受約束的最優(yōu)魯棒制導(dǎo)方法.結(jié)合貝爾曼的最優(yōu)控制理論，并在性能指標(biāo)中引入飽和函數(shù)，得到修正的HJB方程，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似求解修正的HJB方程.仿真結(jié)果表明，該方法在系統(tǒng)存在不確定的情況下，可以很好的滿足火星進(jìn)入段的終端條件，控制量也在限制的范圍內(nèi)，為火星進(jìn)入段制導(dǎo)問題給出了一種有效的方法.

[1] 李爽， 彭玉明， 陸宇平. 火星EDL導(dǎo)航制導(dǎo)與控制技術(shù)綜述與展望[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2010, 31(3): 621-627.

LI S, PENG Y M, LU Y P. Review and prospect of mars EDL navigation guidance and control technologies[J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(3): 621-627.

[2] 王大軼， 郭敏文. 航天器大氣進(jìn)入過程制導(dǎo)方法綜述[J]. 宇航學(xué)報(bào)， 2015, 36(1)： 1-8.

WANG D Y, GUO M W. Review of spacecraft entry guidance[J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(1): 1-8.

[3] 黃飛， 呂俊明， 程曉麗， 等. 火星稀薄大氣參數(shù)對進(jìn)入器氣動(dòng)特性的影響[J]. 宇航學(xué)報(bào)， 2015, 36(10): 1093-1100.

HUANG F, LU J M, CHENG X L, et al. Impact of martian rarefied atmosphere parameters on entry vehicle aerodynamics under hypersonic conditions[J]. Journal of Astronautics, 2015, 36(10): 1093-1100.

[4] BRAUN R D, MANNING R M. Mars exploration entry, descent and landing challenges[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2007, 44(2)： 310-323.

[5] TOPCU U, CASOLIVA J, MEASE K D. Minimum-fuel powered descent for Mars pinpoint landing[J]. Journal of Spacecraft and Rocktes, 2007, 44(2): 324-331.

[6] SHEN H, SEYWALD H, POWELL R W. Desensitizing the minimum-fuel powered descent for Mars pinpoint landing[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2010, 33(1): 108-115.

[7] LEAVITT J A, MEASE K D. Feasible trajectory generation for atmospheric entry guidance[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2007, 30(2): 473-481.

[8] THORP N A, PIERSON B L. Robust roll modulation guidance for aeroassisted Mars mission[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1995, 18(2): 298-305.

[9] LU P. Regulation about time-varying trajectories: precision entry guidance illustrated[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1999, 22(6): 784-790.

[10] BENITO J, MEASE K D. Nonlinear predictive controller for drag tracking in entry guidance[C]//AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, Washington D.C, AIAA, 2008.

[11] RESTREPO C, VALASEK J. Structured adaptive model inversion controller for Mars atmospheric flight[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008, 31(4): 937-957.

[12] BEARD R W, SARIDIS G N, WEN J T. Approximate solutions to the time-invariant Hamilton-Jacobi-Bellman equation[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1998, 96(3): 589-626.

[13] CHENG T, LEWIS F L, ABU-KHALAF M. A neural network solution for fixed-final time optimal control of nonlinear systems[J]. Automatic, 2007, 43(3)： 482-490.

[14] CHENG T, LEWIS F L, ABU-KHALAF M. Fixed finaltime-constrained optimal control of nonlinear systems using neural network HJB approach[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 2007, 18(6)： 1725-1737.

[15] HADDAD W M, CHELLABOINA V, FAUSZ J L, et al. Optimal non-linear robust control for non-linear uncertain systems[J]. International Journal of Control, 2000, 73(4)： 329-342.

[16] BEARD R. W. Improving the closed-loop performance of nonlinear systems[D]. Troy: Rensselaer Polytechnic Institute， 1995.

MarsOptimalEntryGuidancewithConstrainedControlandUncertainty

LI Maomao

(BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190，China)

Aiming at the problem of Mars entry guidance, considering the constrained control and uncertainty of Mars atmosphere and detector’s parameters, the optimal robust guidance method with constrained control is proposed. Considering the parameter uncertainty of system, the optimal index of uncertain nonlinear system is transformed into an index of the nominal system. In consideration of the constrained control, a saturated function is introduced, and the guidance problem is transformed into solving the modified HJB equation. The neural network has the ability of approximation. The proposed HJB equation is solved with the neural network because the HJB equation is partial differential equation and there is a great deal of difficulty in solving it. The guidance method makes sure that the uncertain nonlinear systems have an optimal upper bound of performance index and that the method has robustness. Then, the method is applied to the Mars entry guidance. The simulation results show that the terminal conditions of Mars entry phase can be well guaranteed despite uncertainty of system, and that the control is in the constrained range, so the method is effective.

uncertain system; constrained control；HJB equation； Mars entry guidance

2017-02-06

V448

A

1674-1579(2017)05-0007-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.05.002

李毛毛(1989—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)楹教炱鲗?dǎo)航制導(dǎo)與控制，飛行器再入制導(dǎo)與控制.