楊飛

【摘 要】高中數(shù)列綜合問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)。在本文中，筆者從解題的方法入手分析，并用實(shí)際的例題來(lái)展示了數(shù)列綜合問(wèn)題的解決策略。希望這一論述能給大家的教學(xué)帶來(lái)一些啟示和思考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列問(wèn)題；研究分析

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)不僅是平時(shí)教學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)，也是高考的必考知識(shí)，而在考試中，數(shù)列知識(shí)并不單獨(dú)出現(xiàn)，而是結(jié)合其他知識(shí)一起考查。所以，在高中數(shù)學(xué)中由數(shù)列引起的知識(shí)交匯問(wèn)題有很多。要想解答這類(lèi)綜合問(wèn)題應(yīng)找到合適的切入點(diǎn)。

一、解答數(shù)列綜合問(wèn)題的方法指導(dǎo)

1.夯實(shí)基礎(chǔ)

要想建一座高樓大廈，必須把地基打牢。同樣要想解決數(shù)列的綜合的問(wèn)題，學(xué)生也必須從最基礎(chǔ)的知識(shí)著手。比如，在求和問(wèn)題中特別是一些既不是等差、等比數(shù)列，也不是等差乘等比的數(shù)列求和，就要利用不等式的放縮法。而放縮法就是學(xué)習(xí)數(shù)列中的基本方法，在平時(shí)的教學(xué)中教師要讓學(xué)生多加練習(xí)，只有這樣才能在解題時(shí)得心應(yīng)手。

2.學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化

解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題。比如，數(shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列綜合問(wèn)題研究分析

1.數(shù)列與新知識(shí)的綜合

理論分析：

該類(lèi)問(wèn)題出題背景廣、新穎，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，有效地將信息轉(zhuǎn)化。它主要考查的是學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力和知識(shí)的遷移能力。

例題展示：

已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S21=S4000，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，an），點(diǎn)Q（2011，a2 011），則·=（ ）.

A.2011 B.-2011 C.0 D.1

答案解析：

設(shè)：Sn=An2+Bn，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1

=（2n-1）A+B，由S21=S4000，知4021A+B=0，所以a2011=0，·=2011+an×a2011=2011，故選A.

方法指導(dǎo)：

解決數(shù)列與新問(wèn)題的綜合問(wèn)題，學(xué)生一般可通過(guò)對(duì)新數(shù)表、圖像、新定義的分析、探究，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的問(wèn)題。

2.數(shù)列與函數(shù)的綜合

理論分析：

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在平時(shí)的學(xué)習(xí)和考試中常常出現(xiàn)，在近幾年的考試中函數(shù)常常和數(shù)列聯(lián)系在一起，共同考查。這類(lèi)題目綜合性比較強(qiáng)，更多的是考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

解答這類(lèi)題目要全面兼顧，一方面要正確審題，看清題目到底在考查什么。當(dāng)然這類(lèi)題目的考查一般是考查的函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義等知識(shí)的綜合。另一方面，還要結(jié)合課本知識(shí)和所考查知識(shí)做出正確的判斷，找出合適的方法，突破問(wèn)題瓶頸。

3.數(shù)列與解析幾何的綜合

理論分析：

數(shù)列與解析幾何是數(shù)列綜合問(wèn)題中的難點(diǎn)，在這類(lèi)題目中主要側(cè)重的還是解析幾何的知識(shí)，而數(shù)列有時(shí)候可能是工具、是切入點(diǎn)。但是在解題時(shí)也不能忽略數(shù)列的作用，有時(shí)候一個(gè)小小的問(wèn)題就會(huì)導(dǎo)致全局的失敗。

例題展示：

如圖，從點(diǎn)P1（0，0）作x軸的垂線交曲線y=ex于點(diǎn)Q1（0，1），曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2.再?gòu)腜2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為（xk，0）（k=1，2，…，n）.

（1）試求xk與xk-1的關(guān)系（2≤k≤n）；

（2）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.

答案解析：

（1）首先要明白，Pk與Pk-1點(diǎn)之間的關(guān)系是什么？在分析試題后，可以過(guò)Pk-1點(diǎn)作x軸的垂線與曲線y=ex的交點(diǎn)為Qk-1，過(guò)Qk-1點(diǎn)作曲線y=ex的切線，切線與x軸的交點(diǎn)即為Pk。另外，還要知道如何求切線方程？這個(gè)比較簡(jiǎn)單，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求得。

（2）要想解答第二題，要知到線段PkQk的長(zhǎng)度如何求得？這個(gè)可以從PkQk的長(zhǎng)度得知，即點(diǎn)Qk的縱坐標(biāo)。同時(shí)要明白{|PnQn|}這一數(shù)列是哪種數(shù)列，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等比數(shù)列。當(dāng)明確了這些問(wèn)題后，本題也就迎刃而解了。

方法指導(dǎo)：

求解點(diǎn)列問(wèn)題的關(guān)鍵是尋求點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解，與曲線的切線相關(guān)時(shí)，注意充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

以上的論述從方法指導(dǎo)和例題展示中進(jìn)行了詳細(xì)的剖析，其實(shí)數(shù)列的綜合問(wèn)題還有很多，像數(shù)列與不等式、數(shù)列與實(shí)際問(wèn)題，在這就不贅述了，其實(shí)數(shù)列的綜合問(wèn)題萬(wàn)變不離其宗，只要掌握了幾種，其他的問(wèn)題也就不攻自破了。只要學(xué)生平時(shí)留意、多加練習(xí)必然能攻克。

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