范 林，李 艷

(寶應縣氾水高級中學，江蘇 寶應 225819)

常見最值問題與恒成立、存在性問題探究

范 林，李 艷

(寶應縣氾水高級中學，江蘇 寶應 225819)

高一函數(shù)值域后續(xù)內(nèi)容有最值問題，尤其是高二命題和導數(shù)中常見用參數(shù)分離求最值的題目。教學時要重點講清、講透這類問題的解題方法，讓學生從本質(zhì)上理解這類問題的知識根源和解決方法。

函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)最值；恒成立；存在性問題

求函數(shù)最值或不等式恒成立、存在性問題是高考的重點，也是高中學生感到有難度的內(nèi)容。教學時要重點講清、講透這類問題的解題方法，讓學生從本質(zhì)上理解這類問題的知識根源和解決方法。

1 第一類問題： 二次函數(shù)的最值問題

二次函數(shù)的解題基本規(guī)律：1) 確定函數(shù)的單調(diào)性。2) 確定函數(shù)的最值點。

例1求函數(shù)y=x2+4x+1的最小值。

例2求函數(shù)y=x2+4x+1，x∈[-1，0]的最小值[1]。

錯解： 由最值公式得

正解：y=x2+4x+1的對稱軸方程為x=-2，y=x2+4x+1在區(qū)間[-1，0]為單調(diào)增函數(shù)，所以

ymin=(-1)2+4×(-1)+1=1-4+1=-2。

求給定區(qū)間的函數(shù)最值，一般先判斷函數(shù)在這個區(qū)間上的單調(diào)性，再確定函數(shù)的最值點。求含參數(shù)的二次函數(shù)給定區(qū)間的最值的方法相同。

例3求函數(shù)y=x2-2ɑx+1，x∈[1，2]的最大值與最小值[2]。

解y=x2-2ɑx+1的對稱軸方程為x=ɑ。

當ɑ≤1時，y=f(x)在區(qū)間[1，2]為單調(diào)增函數(shù)，所以

f(x)min=f(1)=2-2ɑ，

f(x)max=f(2)=5-4ɑ。

當1<ɑ<2時，

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2。

f(x)max=f(2)=5-4ɑ；

f(x)max=f(1)=2-2ɑ。

當ɑ≥2時，y=f(x)在區(qū)間[1，2]為單調(diào)減函數(shù)，故

f(x)max=f(1)=2-2ɑ，

f(x)min=f(2)=5-4ɑ。

通過討論函數(shù)的單調(diào)性，可以將函數(shù)的圖象大致畫出來，進而直觀地判斷函數(shù)的最值點，利用對稱軸從左到右移動產(chǎn)生于區(qū)間的位置關系可以做到不遺不漏，解題思路條理分明。

例4求y=x2-2x+1在區(qū)間[m，m+1]的最大值與最小值[3]。

這屬于“定軸動區(qū)間”問題，方法與例3一樣，按照對稱軸與區(qū)間的位置關系依次考慮函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的最值。

解y=x2-2x+1的對稱軸方程為x=1。

當m≥1時，y=f(x)在區(qū)間[m，m+1]為單調(diào)增函數(shù)，所以

f(x)min=f(m)=m2-2m+1，

f(x)max=f(m+1)=m2。

當m<1

f(x)min=f(1)=0。

f(x)max=f(m+1)=m2；

f(x)max=f(m)=m2-2m+1。

當m+1≤1，即m≤0時，y=f(x)在區(qū)間[m，m+1]為單調(diào)減函數(shù)，所以

f(x)min=f(m+1)=m2，

f(x)max=f(m)=m2-2m+1。

綜上，

二次函數(shù)問題是初中和高中知識的連接點，也是初中知識在高中的拓深。

2 第二類問題： 恒成立問題和存在性問題

恒成立問題是求最值的一個運用。

例5對任意實數(shù)x，不等式x2-2ɑx+1>0恒成立，求實數(shù)ɑ的取值范圍[4]。

解1(最值法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，因為?x∈R，f(x)>0恒成立，所以

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2>0，

即-1<ɑ<1。

解2(圖象法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，因為?x∈R，f(x)>0恒成立，所以y=f(x)的圖象與x軸沒有交點，

△=4ɑ2-4<0，

即-1<ɑ<1。

最值法采用數(shù)學整體思想來解題。圖象法利用圖象與x軸交點個數(shù)來解題，但只限二次函數(shù)且定義域是全體實數(shù)，若不是二次函數(shù)，必須大致畫出圖象。圖象不好畫出的函數(shù)，圖象法不是首選。

解3(參數(shù)分離法) 因為x2-2ɑx+1>0，所以2ɑx

當x=0時，0<1，成立，所以ɑ∈R。

當x>0時，

記

所以ɑ

當x<0時，

記

所以ɑ>g(x)min=1，即ɑ>-1。

綜上，-1<ɑ<1。

可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)分離法是求給定區(qū)間恒成立問題和存在性問題的重要方法。

例6對任意x∈[1，2]，x2-2ɑx+1>0恒成立，求實數(shù)ɑ的取值范圍[5]。

記f(x)=x2-2ɑx+1，因為y=f(x)的定義域為[1，2]，這時選取參數(shù)分離法會簡單一些。

解因為x2-2ɑx>0，所以2ɑx

記

存在性問題究其解題根源也是最值問題。

例7存在實數(shù)x∈R，x2-2ɑx+1<0成立，求實數(shù)ɑ的取值范圍[6]。

解1(最值法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，因為

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2<0，

所以ɑ<-1或ɑ>1。

解2(圖象法) 記f(x)=x2-2ɑx+1，y=f(x)的圖象與x軸有2個交點，所以

△=4ɑ2-4>0，

即ɑ<-1或ɑ>1。

例8存在實數(shù)x∈[1，2]，x2-2ɑx+1<0成立，求實數(shù)ɑ的取值范圍。

解(參數(shù)分離法) 因為x∈[1，2]，x2-2ɑx+1<0，所以

記

綜上，對于恒成立問題和存在性問題，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為最值問題，可總結如下規(guī)律：

1) ?x∈[ɑ，b]，m>f(x)?m>f(x)max。

2) ?x∈[ɑ，b]，m

3) ?x∈[ɑ，b]，m>f(x)?m>f(x)min。

4) ?x∈[ɑ，b]，m

3 結束語

求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題或值域問題，要結合函數(shù)圖象和函數(shù)單調(diào)性，特別是動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間問題。對于恒成立問題和存在性問題可結合最值法、圖象法、參數(shù)分離法求解。

[1] 宋驗兵.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題[J].新課程(教研),2011(7):61.

[2] 史艷波.淺談二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法[J].中學生數(shù)理化(學習研究),2016(10):17.

[3] 王伯平.二次函數(shù)的最值[J].高中數(shù)學教與學,2013(13):22-24.

[4] 楊春梅.高中數(shù)學中恒成立問題的解析[J].高等函授學報(自然科學版),2010(6):80-82.

[5] 郭喜紅.高中數(shù)學不等式恒成立問題的解題思路研究[J].數(shù)理化解題研究(高中版),2013(12):22.

[6] 玄建.三種含參數(shù)不等式成立問題[J].數(shù)理化學習(高中版),2017(7):33-34.

〔責任編輯： 盧 蕊〕

Theresearchoncommonmaximum-and-minimumproblem,permanence,andexistence

FAN Lin , LI Yan

(Fan shui bao ying county senior high school, Baoying 225819, China)

Students in senior one start to learn Maximum-and Minimum after finishing the study of function value.Especially in senior two, after learning proposition and derivative, it is common for students to get maximum and minimum by using parameter separation. So teachers need to focus on the solution of this kind of problem, to make students understand the essence of this problem and the general approaches to this problem.

function monotonicity; maximum and minimum of function; permanence; existence

G633.62

B

1008-8148(2017)04-0122-03

2017-06-06

范 林(1982—)，男，江蘇揚州人，一級教師，主要從事高中數(shù)學教學研究；李 艷(1984—)，女，江蘇揚州人，二級教師，主要從事高中數(shù)學教學研究。