浦紹質(zhì)++馬愈++張留洋++黃金哲

摘要：非局域空間孤子具有低功率、類似粒子的彈性碰撞特性，因此在光信息處理和光連接領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用。為了獲得光束傳輸?shù)挠行Э刂品椒ǎ瑪?shù)值計(jì)算了亮孤子及亮孤子對(duì)由非局域介質(zhì)進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后的傳輸行為。發(fā)現(xiàn)，非局域亮孤子進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后以呼吸子的形式傳輸。非局域偶極孤子進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后分裂成兩個(gè)獨(dú)立傳輸?shù)牧凉伦印７次幌喾蔷钟蛄凉伦咏M成的震蕩束縛態(tài)進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后的傳輸行為與界面（非局域介質(zhì)與競爭非局域介質(zhì)的交界）位置有關(guān)。當(dāng)界面選到節(jié)點(diǎn)（非局域孤子間距離取最小值的點(diǎn)）附近時(shí)，震蕩束縛態(tài)分裂成兩個(gè)獨(dú)立的孤子；界面選到其它位置時(shí)，震蕩束縛態(tài)以準(zhǔn)束縛態(tài)形式傳輸。該發(fā)現(xiàn)為光的傳輸與控制提供了新的方法。

關(guān)鍵詞：非局域介質(zhì)；空間孤子；競爭非線性；光束調(diào)控；液晶

DOI：1015938/jjhust201705025

中圖分類號(hào)： O4375

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2017）05-0137-06

Beam Steering in Nonlocal Mediumwith Competing Nonlinearities

PU Shaozhi，MA Yu，ZHANG Liuyang，HUANG Jinzhe

（School of Applied Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Nonlocal spatial solitons have potential applications in alloptical signal processing and optical interconnects due to their low power and particlelike nature on interactions In order to obtain the effective method to beam steering， the propagation of bright solitons and soliton pairs from the nonlocal medium to the nonlocal medium with competing nonlinearities is investigated by the numerical simulations When propagate from nonlocal medium to the nonlocal medium with competing nonlinearities， the nonlocal bright solitons will propagate in the form of breather， the nonlocal dipole solitons will split into two individual solitons， however， the propagation of the nonlocal oscillating bound state which is composed by two outofphase solitons depends on the position of the interface （nonlocal medium and nonlocal media with competing nonlinearities interface） When the position of the interface is choose at the node （the minimum distance of the soliton pairs）， the nonlocal oscillating bound state will split into two individual solitons， otherwise， and the oscillating bound state will propagate in the form of bound state These results introduce a new way to beam propagation and steering

Keywords：nonlocal medium； spatial solitons； competing nonlinearities； beam steering； liquid crystal

收稿日期： 2016-01-12

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（61405049）；黑龍江省自然科學(xué)基金（QC2015086）

作者簡介：

浦紹質(zhì)（1981—），男，博士，講師，Email：shaozhipu@126com；

馬愈（1993—），男，碩士研究生；

張留洋（1981—），男，博士，副教授

0引言

非局域光孤子指在非局域材料中傳輸時(shí)空間（時(shí)間）形狀保持不變的光脈沖。當(dāng)色散（衍射）引起的展寬效應(yīng)和自聚焦效應(yīng)抵消時(shí)光束傳輸過程中形狀保持不變即形成光孤子。迄今，發(fā)現(xiàn)有很多材料具有非局域非線性，如向列相液晶[1]、等離子體[2]、玻色愛因斯坦凝聚[3]、熱非線性材料[4]等。在光學(xué)上非局域非線性指材料折射率的改變不僅與該點(diǎn)的光強(qiáng)有關(guān)，還與該點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)的所有光強(qiáng)有關(guān)；而局域非線性指材料折射率的改變僅僅與該點(diǎn)的光強(qiáng)有關(guān)。自1997年Snyder和Mitchell在強(qiáng)非局域情況下把光傳輸模型簡化為線性諧振子模型以來（稱為SM模型），非局域孤子成為了國內(nèi)外的一個(gè)研究熱點(diǎn)[5]。大量的研究發(fā)現(xiàn)與局域孤子相比，非局域孤子具有許多獨(dú)特的性質(zhì)：低功率光束可以形成孤子；存在穩(wěn)定的高維孤子[6]；反位相的非局域亮孤子間存在相互吸引力、非局域暗孤子間存在相互吸引力[7-8]；存在多種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的孤子，如多極孤子[9-10]、渦旋孤子[11]、厄米特高斯孤子[12]、因斯高斯孤子[13]、拉蓋爾高斯孤[14]、橢圓孤子、項(xiàng)鏈孤子[15]、矢量-項(xiàng)鏈-環(huán)孤子[16]、時(shí)空孤子等[17-18]；存在非相干孤子[19-21]；非局域空間孤子比局域空間孤子具有更大的相移[22-24]等。endprint

隨著理論和實(shí)驗(yàn)研究的深入，非局域孤子的傳輸和調(diào)控取得了豐碩的成果。胡巍等通過巧妙設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)通過外加電場(chǎng)可以改變液晶的非局域程度，從而有效的控制向列相液晶中孤子之間的相互作用[25]。葉芳偉等以向列相液晶材料為背景通過簡化模型給出改變光束傳輸路徑上的非局域程度和非線性系數(shù)可以操控（1+1）維和（2+1）維非局域孤子間的相互作用[26]。歐陽世根等人發(fā)現(xiàn)強(qiáng)非局域情況下反位相亮孤子對(duì)能形成相互吸引的振動(dòng)束縛態(tài)[27]。任標(biāo)等利用SM模型研究了多個(gè)（2+1）維孤子的相互作用，為非線性領(lǐng)域光控制光提供了理論指導(dǎo)[28]。M Kwasny等在固定非局域程度的情況下控制光傳輸路徑上材料的非線性系數(shù)有效的控制了向列子間的相互作用[29]。張華峰等數(shù)值計(jì)算了非局域操控方式控制孤子的相互作用[30]。2012年，浦紹質(zhì)等引入自散焦缺陷層控制亮孤子及其亮孤子間的相互作用[31]。同年，提出非局域和非線性控制方式控制亮孤子和暗孤子的傳輸，在此基礎(chǔ)上討論了基于孤子相互作用的分光器件[32]。

近年來，競爭非局域非線性介質(zhì)中孤子及其孤子間的相互作用已經(jīng)成為孤子領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)。2006年， D Mihalache等人研究了自聚焦三次和自散焦五次競爭非局域介質(zhì)中基態(tài)孤子和偶極孤子，發(fā)現(xiàn)基態(tài)孤子的穩(wěn)定性符合VakhitovKolokolov準(zhǔn)則[33]。2009年，Y V Kartashov等[34]發(fā)現(xiàn)自聚焦與自散焦非局域非線性效應(yīng)的競爭產(chǎn)生了許多獨(dú)特的現(xiàn)象，如存在穩(wěn)定的拓?fù)鋽?shù)大于2的渦旋孤子、存在峰值大于4的一維多極孤子。2011年， B K Esbensen等[35]研究了競爭非局域介質(zhì)中的調(diào)制不穩(wěn)定性及孤子特性，發(fā)現(xiàn)非線性和非局域程度改變了平面波的穩(wěn)定性。此外，還發(fā)現(xiàn)改變光束的強(qiáng)度自聚焦和自散焦競爭非局域介質(zhì)中能形成穩(wěn)定的暗孤子和亮孤子。同年，杜艷偉等[36]發(fā)現(xiàn)競爭非局域非線性改變了孤子間的相互作用，如特定參數(shù)下位相形同的孤子間存在相互排斥力。2012年，B K Esbensen等[37]研究了自聚焦與自散焦競爭非局域介質(zhì)中亮孤子及亮孤子間的相互作用。發(fā)現(xiàn)自聚焦與自散焦非局域非線性的相互作用導(dǎo)致孤子間的相互吸引和排斥與孤子間的距離有關(guān)。特別地，自聚焦與自散焦效應(yīng)競爭導(dǎo)致大間距孤子間存在排斥力。2013年，L Chen等[38]研究了三次自聚焦非局域非線性和五次局域自散焦（聚焦）競爭介質(zhì)中暗孤子特性，發(fā)現(xiàn)五次自散焦局域效應(yīng)和三次非局域效應(yīng)競爭介質(zhì)中的暗孤子寬度不隨非局域程度的變化而變化。2014年，孔茜等[39]研究了競爭非局域非線性介質(zhì)中暗孤子特性，給出任意非局域程度時(shí)孤子參數(shù)之間的關(guān)系。發(fā)現(xiàn)，競爭非局域介質(zhì)中暗孤子的寬度隨非局域程度增加單調(diào)遞減。同年，Chen Wei[40]研究了三五次競爭非局域介質(zhì)中暗孤子間的相互作用。發(fā)現(xiàn)五次自聚焦非線性會(huì)增強(qiáng)孤子間的相互作用，同時(shí)減小孤子間的相互距離。申明等[41-42]研究了三次自聚焦和五次自散焦競爭非線性介質(zhì)中的渦旋孤子，發(fā)現(xiàn)該類介質(zhì)中存在兩類渦旋孤子。此處僅僅列舉了部分競爭非局域非線性介質(zhì)中空間孤子的研究現(xiàn)狀，從這些研究中發(fā)現(xiàn)競爭非局域非線性賦予了非局域空間孤子許多新奇的特點(diǎn)。然而，競爭非局域介質(zhì)中孤子理論還有待進(jìn)一步完善，特別是競爭非局域介質(zhì)中空間孤子控制的研究還處于一片空白。本文利用數(shù)值研究了亮孤子及反位相亮孤子對(duì)由非局域材料進(jìn)入競爭非局域材料后的傳輸行為。提出通過調(diào)節(jié)界面（非局域介質(zhì)與競爭非局域介質(zhì)的界面）位置來控制孤子的傳出路徑。

1理論部分

11理論模型

考慮一束線偏振光在平面波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的液晶盒中傳輸。液晶盒結(jié)構(gòu)如圖1所示，圖中深色區(qū)域?yàn)镮TO電極，x軸為橫向方向，z為光傳輸方向，k為光的波矢方向，n為液晶分子長軸方向，θ液晶分子取向角。選用離散電極是為了通過外加電場(chǎng)控制液晶分子在xz平面的取向角。圖1中虛線（Z1處）把液晶盒分成兩個(gè)部分，在虛線兩側(cè)分別加上不同的電壓。眾所周知，向列相液晶具有分子取向自聚焦非線性效應(yīng)和熱自散焦非線性效應(yīng)，通過調(diào)節(jié)外加電場(chǎng)和入射光的偏振方向能控制熱效應(yīng)和分子取向效應(yīng)的強(qiáng)度。

圖1向列相液晶分子取向圖

線偏振光在該液晶盒中的傳輸由下列方程組描述：

iuz+122ux2+（n1+n2）u=0（1）

d12n1x2-n+σ1（z）u2=0（2）

d22n2x2-n+σ2（z）u2=0（3）

其中：u為歸一化的入射光的復(fù)振幅；z和x是歸一化的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；n1為分子取向自聚焦效應(yīng)引起的折射率改變；n2為熱效應(yīng)導(dǎo)致的折射率變化；參數(shù)d1和d2分別為分子取向效應(yīng)和熱效應(yīng)的非局域程度；σ1（z）和σ2（z）分別表示分子取向效應(yīng)和熱效應(yīng)的非線性系數(shù)。經(jīng)過計(jì)算方程（1）～（3）可以簡化為如下方程：

iuz+122ux2+σ1（z）u∫+

SymboleB@ -

SymboleB@ R1（x-ξ）u（x，z）2dξ+σ2（z）u∫+

SymboleB@ -

SymboleB@ R2（x-ξ）u（x，z）2dξ=0（4）

其中R1，2（x）=（2d1，2）-1exp（-x/d1，2）。為了得到方程（4）的穩(wěn)態(tài)孤子解，選用試探解u=w（x）exp（ibz），其中w和b分別表示強(qiáng)度分布和傳播常數(shù)。由于方程（4）沒有解析解，此處采用牛頓迭代法數(shù)值求解方程（4）獲得穩(wěn)態(tài)的孤子解。

12數(shù)值計(jì)算

微尺度光束控制技術(shù)有助于實(shí)現(xiàn)實(shí)用化的全光器件，此處通過調(diào)節(jié)分子取向效應(yīng)和熱效應(yīng)的競爭來控制光束的傳輸。數(shù)值計(jì)算時(shí)x軸方向取512個(gè)離散點(diǎn)、z軸方向步長001、初始輸入光束形狀由牛頓迭代法解方程（4）所得、孤子傳輸圖由分布傅里葉算法繪制，其它參數(shù)為：b=1、d1=2、d2=4、σ1（z）=2、σ2（z）=0zz1（該分段函數(shù)表示Z

首先，通過牛頓迭代法得b=1、d1=2、d2=4、σ1（z）=2、σ2（z）=0時(shí)的亮孤子解。然后，把該數(shù)值解作為光束傳輸過程的初始輸入。圖2（a）表示亮孤子在只有分子取向效應(yīng)的非局域介質(zhì)中的傳輸圖，從圖中可以看出亮孤子在傳輸過程中形狀保持不變，此時(shí)光束自身的衍射展寬效應(yīng)和分子取向自聚焦效應(yīng)相互抵消。當(dāng)光束由非局域非線性區(qū)域進(jìn)入具有自聚焦與自散焦競爭的非局域區(qū)域后，光束傳輸過程中束寬和峰值功率呈現(xiàn)周期性震蕩如圖2（b）所示。這是因?yàn)闊嶙陨⒔剐?yīng)的出現(xiàn)使得光束的自聚焦效應(yīng)小于光束自身的衍射展寬。隨著光束的展寬，光束自身的衍射展寬效應(yīng)小于自聚焦效應(yīng)此時(shí)光束寬度變小。當(dāng)光束寬度變小后，光束自身的衍射展寬效應(yīng)又大于自聚焦效應(yīng)，周而復(fù)始光束傳輸過程中表現(xiàn)出周期性震蕩。

圖2亮孤子傳輸圖

非局域非線性改變了孤子間的相互作用，位相相反的亮孤子間的相互作用與孤子間的距離有關(guān)。孤子間的距離較小時(shí)，孤子間的排斥力大于吸引力。反之，孤子間的吸引力大于排斥力。選擇參數(shù)為b=1、d1=2、d2=4、σ1（z）=2、σ2（z）=0時(shí)反位相亮孤子間的距離等于45時(shí)排斥力等于吸引力，此時(shí)反位相亮孤子間形成穩(wěn)定傳輸?shù)呐紭O孤子如圖3（a）所示。σ2（z>z1）=-05時(shí)自散焦效應(yīng)的出現(xiàn)打破了該平衡狀態(tài)，此時(shí)孤子間的吸引力小于排斥力，反位相亮孤子對(duì)在界面（圖中白虛線）處將分開并對(duì)稱的沿兩側(cè)傳輸如圖3（b）所示。進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)分開后的孤子與z軸的夾角α為一常數(shù)。因此改變界面（圖中虛線）位置可以控制孤子在輸出界面的輸出位置，如界面距離輸出端的距離為Δz，則孤子在輸出界面距離軸（z=0）的橫向距離為Δx=Δztanα。

圖3偶極孤子傳輸圖

當(dāng)反位相亮孤子間的距離為6時(shí)，孤子間的排斥力小于吸引力，在傳輸過程中孤子間的距離逐漸變小。隨著孤子間距離的變小，排斥力逐漸增加，當(dāng)排斥力大于吸引力后孤子間的距離又逐漸增加。因此，距離為6的反相位亮孤子傳輸過程中孤子間的距離呈周期性的震蕩，形成震蕩束縛態(tài)如圖4（a）所示。此處，定義孤子間距離最小位置為節(jié)點(diǎn)。自散焦效應(yīng)的出現(xiàn)改變了震蕩束縛態(tài)的傳輸行為。當(dāng)界面z1=30（非節(jié)點(diǎn)處）時(shí)，反位相孤子間的吸引力約等于排斥力，形成類偶極孤子的準(zhǔn)束縛態(tài)如圖4（c）所示。進(jìn)一步的數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)只要界面選到非節(jié)點(diǎn)處（或稍微原理節(jié)點(diǎn)），震動(dòng)束縛態(tài)經(jīng)過界面后的動(dòng)力學(xué)行為類似于圖4（c）。有趣的是界面選到節(jié)點(diǎn)處（或離節(jié)點(diǎn)較近區(qū)域）震蕩束縛態(tài)將分裂成兩個(gè)獨(dú)立的孤子，此時(shí)的逃逸角α見圖4（b）大于偶極孤子經(jīng)過界面后的逃逸角見圖3（b）。該發(fā)現(xiàn)可以用于對(duì)光束傳輸路徑的精確大角度控制，如通過界面位置的選擇實(shí)現(xiàn)對(duì)孤子輸出位置的控制。眾所周知，孤子及孤子間相互作用會(huì)在材料中寫入折射率波導(dǎo)，該波導(dǎo)對(duì)入射的弱光或其它波長的光具有導(dǎo)波作用。因此通過調(diào)節(jié)界面位置并利用孤子相互作用可以在材料中寫入特殊的波導(dǎo)，該波導(dǎo)能實(shí)現(xiàn)對(duì)其它波長的弱光傳輸路徑的大角度精確控制。

圖4間距為6的反位相亮孤子傳輸圖

2結(jié)論

本文以向列相液晶（分子取向效應(yīng)和熱效應(yīng)競爭）為背景，數(shù)值研究了亮孤子及反位相亮孤子對(duì)由非局域介質(zhì)進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)（自聚焦效應(yīng)與自散焦效應(yīng)競爭）后的傳輸行為，得出以下結(jié)論：①亮孤子由非局域介質(zhì)進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后光束自身的衍射效應(yīng)與自聚焦效應(yīng)不再平衡，亮孤子將以呼吸子的形式傳輸。②非局域偶極孤子進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后將分裂成兩個(gè)獨(dú)立的孤子，分裂后的孤子對(duì)稱的沿Z軸兩側(cè)傳輸。③震蕩束縛態(tài)由非局域介質(zhì)進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后的傳輸行為與非局域和競爭非局域介質(zhì)的界面位置選取有關(guān)。當(dāng)界面選到震蕩束縛態(tài)的節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)附近時(shí)，該束縛態(tài)分裂成兩個(gè)獨(dú)立的孤子，分裂后孤子的逃逸角大于非局域偶極孤子分裂后的逃逸角；當(dāng)界面遠(yuǎn)離震蕩束縛態(tài)的節(jié)點(diǎn)時(shí)，震蕩束縛態(tài)變?yōu)闇?zhǔn)束縛態(tài)（類偶極孤子）。

競爭非局域非線性的引入為光束的傳輸與調(diào)控提供了可行的方法。若沒有競爭非局域非線性，亮孤子及孤子對(duì)由非局域程度（非線性系數(shù)）高（低）的介質(zhì)進(jìn)入非局域程度（非線性系數(shù)）低（高）的介質(zhì)后將不能穩(wěn)定的傳輸（光束束寬會(huì)出現(xiàn)劇烈變化甚至光束坍塌）。因此，通過調(diào)節(jié)非局域程度或非線性來操控孤子及孤子對(duì)的傳輸需要一個(gè)緩沖區(qū)域（在該區(qū)域中非局域程度和非線性系數(shù)是緩慢變化的）。然而，由于競爭非局域非線性的出現(xiàn)亮孤子及孤子對(duì)由非局域介質(zhì)進(jìn)入競爭非局域介質(zhì)后依然能穩(wěn)定的傳輸，所以在非局域介質(zhì)中引入競爭非局域非線性效應(yīng)在光束的傳輸與控制領(lǐng)域具有巨大的潛在應(yīng)用。

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（編輯：溫澤宇）endprint