劉 程， 史文庫， 陳志勇， 何 偉， 榮如松， 宋懷蘭

(1.吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國家重點實驗室, 長春 130022；2．南京依維柯汽車有限公司車橋分公司，南京 210028)

汽車驅(qū)動橋準(zhǔn)雙曲面齒輪時變嚙合剛度計算

劉 程1， 史文庫1， 陳志勇1， 何 偉1， 榮如松2， 宋懷蘭2

(1.吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國家重點實驗室, 長春 130022；2．南京依維柯汽車有限公司車橋分公司，南京 210028)

針對汽車準(zhǔn)雙曲面齒輪動力學(xué)系統(tǒng)建模中齒輪時變嚙合剛度計算困難的問題，提出一種完整的基于有限元法計算準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度的計算方法。詳細(xì)描述利用有限元方法計算齒輪嚙合剛度理論模型，并利用此模型計算直齒漸開線齒輪嚙合剛度，結(jié)果表明此方法計算結(jié)果與KUANG模型計算結(jié)果一致。利用MATALAB和CATIA建立了準(zhǔn)雙曲面齒輪三維幾何模型，并在ABAQUS中建立此齒輪準(zhǔn)靜態(tài)嚙合有限元模型。詳細(xì)論述了由準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合有限元分析結(jié)果后處理得到嚙合剛度計算過程，并對不同載荷下齒輪嚙合剛度的變化趨勢進(jìn)行討論。結(jié)果表明，準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合過程中嚙合剛度隨齒輪旋轉(zhuǎn)位置和所加載力矩周期性變化，其變化周期等于齒輪嚙合周期；當(dāng)齒輪加載力增大齒輪嚙合剛度平均值增大，同時嚙合剛度的波動減小。

準(zhǔn)雙曲面齒輪；時變嚙合剛度；三維模型；有限元分析

齒輪的運動傳遞誤差是齒輪振動能量的主要激勵，在大多數(shù)齒輪設(shè)備中會引起其它部件振動并以噪聲的形式向外輻射，使人產(chǎn)生煩躁的感受[1]。對于汽車驅(qū)動橋主減速器中準(zhǔn)雙曲面齒輪系統(tǒng)，以前的研究主要集中在模擬齒輪的加工過程從而得到高精度的齒輪外輪廓，通過齒輪幾何接觸分析來優(yōu)化齒輪幾何參數(shù)以及機床加工參數(shù)，然后對準(zhǔn)雙曲面齒輪靜態(tài)有限元計算齒輪齒根應(yīng)力，載荷分布，運動傳遞誤差等[2]，但是這些計算結(jié)果并不能全面的反映齒輪嚙合過程中齒輪系統(tǒng)的振動噪聲響應(yīng)，許多反感的齒輪嚙合噪聲問題在車輛驅(qū)動橋中依然存在。為此有很多研究者建立了主減速器齒輪系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型，研究齒輪系統(tǒng)中各部件剛度，阻尼、慣性質(zhì)量對齒輪動力學(xué)系統(tǒng)的影響，通過嚙合剛度建立齒輪靜態(tài)分析與系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)之間關(guān)聯(lián)[3-7]。在建立齒輪動力學(xué)系統(tǒng)時這三類參數(shù)中準(zhǔn)雙曲面齒輪與直齒齒輪最大的區(qū)別是齒輪嚙合剛度，主要由于直齒漸開線齒輪嚙合時嚙合力的方向基本保持不變，已有較為成熟的計算方法和經(jīng)驗公式[8]，但是準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何外形和嚙合過程復(fù)雜，齒輪嚙合過程中嚙合力的方向和嚙合點位置隨齒輪旋轉(zhuǎn)角度和加載力大小改變而改變[9]，與直齒齒輪相比在此類齒輪嚙合剛度的研究較少。

在國外，Teik等建立了準(zhǔn)雙面齒輪嚙合的多自由度模型，利用一個恒定常量和三角級數(shù)來對齒輪嚙合剛度近似處理。Mohammadpour等[9-10]通過專業(yè)有限元軟件calyx得到準(zhǔn)雙曲面齒輪時變嚙合剛度，并將齒輪嚙合剛度簡化三角級數(shù)形式，最后得到齒輪嚙合剛度經(jīng)驗公式。在國內(nèi)，方宗德[11]根據(jù)齒輪嚙合時靜態(tài)受力狀態(tài)建立準(zhǔn)雙曲面齒輪動態(tài)嚙合模型，但是此模型并沒有考慮到齒輪嚙合過程中嚙合剛度的時變特點。唐進(jìn)元等[12]從齒輪剛度的基本理論出發(fā)計算得到單個輪齒的嚙合剛度，再由單個輪齒疊加得到多個輪齒同時嚙合時的嚙合剛度，此模型忽略了準(zhǔn)雙曲面嚙合過程齒輪嚙合力的方向隨齒輪嚙合位置改變而變化的影響。

以上分析可得，準(zhǔn)雙曲面齒輪時變嚙合剛度在國外已經(jīng)提出相應(yīng)的計算方法，并將嚙合剛度進(jìn)行傅里葉級數(shù)近似處理，通過軟件直接輸出齒輪嚙合剛度表達(dá)式，而實際傅里葉級數(shù)并不能完全表征齒輪的嚙合剛度特性，并且具體的計算細(xì)節(jié)并未公開，而當(dāng)前基于應(yīng)用較多的ABAQUS或ANSYS有限元的計算準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度研究很少。在國內(nèi)，真實反映準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合特征的研究較少，同時軟件calyx應(yīng)用較少，在建立精確的準(zhǔn)雙曲面幾何模型以及有限元模型還存在困難，為此本文提出一種完整的準(zhǔn)雙曲面齒輪時變剛度計算方法，利用當(dāng)前成熟的數(shù)值計算軟件MATLAB得到齒輪的齒面坐標(biāo)點，然后導(dǎo)入到CATIA中建立準(zhǔn)雙曲面齒輪三維模型，接著利用ABAQUS軟件詳細(xì)說明準(zhǔn)雙曲面齒輪有限元模型建模過程，并對有限元計算結(jié)果進(jìn)行后處理得到準(zhǔn)雙曲面齒輪時變嚙合剛度。此齒輪嚙合剛度可以應(yīng)用在齒輪系統(tǒng)動力學(xué)分析過程中，而不需要任何其它假設(shè)，因此可以為更好預(yù)測汽車驅(qū)動橋準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)提供基礎(chǔ)。

1 齒輪嚙合剛度計算模型

1.1 齒輪嚙合剛度模型數(shù)學(xué)描述

以前的齒輪嚙合模型基于經(jīng)驗設(shè)計公式或者齒輪幾何嚙合分析，隨著齒輪設(shè)計和分析的要求提高，對齒輪接觸分析提出更高要求，因此需要對齒輪接觸進(jìn)行更深入研究。本文基于有限元方法建立準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合模型，來模擬齒輪的真實運行過程。下面詳細(xì)介紹齒輪嚙合剛度計算基本原理。

如圖1所示為基于有限元模型建立的齒輪嚙合耦合模型，從嚙合簡圖可以看出，在任意嚙合時刻，大小齒輪之間有很多相互作用點。每個相互作用點之間包含了齒側(cè)間隙和摩擦非線性因素的影響，模型不需要更多的假設(shè)條件限制，可以較精確的模擬齒輪的接觸。

圖1 準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合模型Fig.1 Hypoid gear pair mesh model

圖2 齒輪嚙合時接觸點位置及受力關(guān)系Fig.2 The relationship for location and force of gears contact point

為獲得嚙合剛度，做如下參數(shù)定義：

將齒輪的接觸區(qū)域離散為較小的網(wǎng)格單元，嚙合剛度kij是齒輪的空間形狀、嚙合位置以及所施加力矩的函數(shù)

(1)

令Wt=ktδt，則：

(2)

(3)

定義等效嚙合點位置

(4)

任意時刻等效嚙合位置作用力矩

(5)

(6)

對于理想的剛性齒輪對，被驅(qū)動齒輪的位置可以通過驅(qū)動齒輪的位置除以傳動比得到，即：

(7)

式中：θ2為大齒輪旋轉(zhuǎn)角度；θ1為小齒輪旋轉(zhuǎn)角度；N1為小齒輪齒數(shù)；N2為大齒輪齒數(shù)。

然而由于齒輪對總不是剛性，在接觸過程中會產(chǎn)生變形，例如齒面彎曲，Hertzian接觸變形以及齒胚變形等，被驅(qū)動齒輪的實際旋轉(zhuǎn)位置和理論旋轉(zhuǎn)位置的差值即為傳遞誤差

(8)

齒輪無加載的傳遞誤差為Δθ0t，加載后傳遞誤差ΔθLt。因此嚙合剛度可定義為法向的接觸力與線性變形的比值

(9)

式中：δt定義為由于嚙合力使得嚙合齒輪面產(chǎn)生的等效變形。

(10)

由于此齒輪旋轉(zhuǎn)軸線為x軸，繞其它軸的旋轉(zhuǎn)角度接近為零，則

(11)

可以得到t時刻嚙合剛度為

(12)

1.2 齒輪嚙合剛度模型驗證

選擇直齒齒輪為對象對模型進(jìn)行驗證，這主要是由于當(dāng)前直齒齒輪嚙合剛度計算方法已經(jīng)有廣泛應(yīng)用的經(jīng)驗公式，可以對比計算結(jié)果，而且上述嚙合剛度計算方法同樣適用于直齒齒輪，因此可以通過直齒齒輪剛度計算來驗證上述計算方法的準(zhǔn)確性。直齒漸開線齒輪參數(shù)，如表1所示。

表1 直齒齒輪參數(shù)Tab.1 Straight involute gear parameters

根據(jù)齒輪參數(shù)建立有限元模型，并利用1.1節(jié)中齒輪嚙合剛度計算方法獲得齒輪嚙合剛度，有限元計算結(jié)果和齒輪嚙合剛度結(jié)果如圖3，從圖中可得通過本

(a) 有限元計算結(jié)果

(b) 齒輪嚙合剛度圖3 直齒齒輪Fig.3 Straight involute gear

方法計算的齒輪嚙合剛度與文獻(xiàn)[8]中Kuang方法計算結(jié)果基本相同，有限元方法中由于考慮了齒輪接觸非線性，以及摩擦非線性的影響，使得計算結(jié)果存在波動，齒輪從雙齒嚙合到單齒嚙合出現(xiàn)突變使得此齒輪嚙合剛度突變，導(dǎo)致直齒齒輪在嚙合過程中會出現(xiàn)較大嚙合沖擊噪聲。

2 準(zhǔn)雙曲面齒輪三維模型和有限元模型建立

2.1 準(zhǔn)雙曲面齒輪三維幾何模型的建立

當(dāng)前汽車用準(zhǔn)雙曲面齒輪加工方法中，一般當(dāng)大輪錐角較大時即可以采用成形法加工(HFT)，也可以采用展成法加工(HGT)，當(dāng)大輪錐角較小時必須采用展成法加工，小輪采用展成法加工。準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面建模方法應(yīng)用最多的是基于Litvin提出的共軛曲面法，Litvin通過研究準(zhǔn)雙曲面齒輪的生產(chǎn)過程，將齒輪加工過程中刀具旋轉(zhuǎn)運動產(chǎn)生的點通過空間變換得到齒輪面上的點，對齒輪面上的離散數(shù)據(jù)點進(jìn)行插值，即可生成高精度的輪齒面。齒輪面建模方法的具體流程見圖4，圖中u,θ為刀具旋轉(zhuǎn)所形成齒面參數(shù)，ψ為齒胚旋轉(zhuǎn)角度。建模過程描述如下：首先根據(jù)刀具參數(shù)得到刀具坐標(biāo)矢量，然后對上述矢量進(jìn)行坐標(biāo)變換得到刀具所形成曲面，接著根據(jù)機床參數(shù)將刀具曲面變換到齒輪坐標(biāo)系中，由準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合原理得到嚙合方程，再根據(jù)輪齒面上點必須在輪齒齒胚上，得到輪齒齒面離散點，最后對這些離散點利用非均勻B樣條曲線(NURBS)進(jìn)行重構(gòu)，得到準(zhǔn)雙曲面大小齒輪三維數(shù)字模型。

本文以HFT準(zhǔn)雙曲面齒輪進(jìn)行分析，即小齒輪采用展成法加工，大齒輪采用成形法加工，齒輪的齒胚參數(shù)和機床加工參數(shù)如表2、3所示，最后得到齒輪的三維CATIA模型如圖5所示。

圖4 準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面建模流程Fig.4 Flowchart of hypoid gear tooth surfaces constructed表2 齒輪齒胚參數(shù)Tab.2 Gear pair bank parameters

小齒輪大齒輪模數(shù)6.861偏置距/mm-25.4旋向左旋右旋齒數(shù)843齒寬/mm44.841平均壓力角22D30M22D30M外錐距/mm150.69151.26中點錐距/mm128.32130.75齒頂高/mm91.59齒根高/mm3.1710.45法向齒頂寬/mm2.743.63分錐頂點超過交叉點距離/mm0.071.08面錐頂點超過交叉點距離/mm-0.441根錐頂點超過交叉點距離/mm-6.670.05根錐角11D56M73D33M面錐角16D4M77D51M分錐角12D33M77D13M中點螺旋角45D3M33D49M

表3 齒輪機床參數(shù)Tab.3 Gear pair machine parameters

圖5 準(zhǔn)雙曲面齒輪三維數(shù)字模型Fig.5 3D digital model of hypoid gear

2.2 準(zhǔn)雙曲面齒輪有限元模型建立

將上節(jié)建立的齒輪三維模型保存為*.stp格式，并導(dǎo)入到軟件Hypermesh中進(jìn)行網(wǎng)格劃分，為了提高準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合過程計算精度，減小齒輪幾何簡化對齒輪嚙合的影響，本文對整個齒輪建立有限元模型，選用六面體網(wǎng)格，對應(yīng)單元數(shù)為276 722個,節(jié)數(shù)點237 804個，最后得到此齒輪有限元網(wǎng)格如圖6所示。

圖6 準(zhǔn)雙曲面齒輪網(wǎng)格劃分Fig.6 Hypoid gear meshing grid

先進(jìn)的有限元分析軟件ABAQUS在求解齒輪嚙合等非線性模型上具有獨特的優(yōu)勢，本文選取Standard/static,general求解器，對齒輪嚙合過程進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)有限元分析。以汽車在勻速行駛工況時驅(qū)動橋齒輪嚙合過程為研究對象，根據(jù)汽車行駛工況確定小齒輪輸入端轉(zhuǎn)速及大齒輪輸出端阻力矩。

齒輪有限元求解模型的建立注意以下要點：齒輪材料的定義如表4所示，六面體網(wǎng)格選用具有沙漏和自鎖控制的線性減縮積分單元C3D8R。為保證求解過程收斂，定義兩個分析步：①載荷加載，時間長度設(shè)置為1，打開幾何非線性，其它參數(shù)值為默認(rèn)值；②齒輪嚙合旋轉(zhuǎn)，時間長度根據(jù)齒輪旋轉(zhuǎn)速度及齒輪的轉(zhuǎn)過角度設(shè)定，同樣打開幾何非線性，其它參數(shù)同上一分析步。大小齒輪之間建立面面接觸輪齒對，接觸屬性中切向行為摩擦系數(shù)為0.1，法向行為為‘硬’接觸，其它參數(shù)為默認(rèn)設(shè)置。載荷加載分析步中，固定小齒輪的輸入端，在大齒輪輸出端上約束除繞自身軸線旋轉(zhuǎn)外的所有自由度，并在輸出端以斜坡線性加載行駛阻力矩。在齒輪嚙合旋轉(zhuǎn)分析步中，約束大小齒輪端除繞自身軸線外的所有自由度，小齒輪輸入轉(zhuǎn)角位移，同樣以斜坡線性加載，大齒輪加載大小與前一步相同的瞬態(tài)阻力矩。為增加嚙合過程的穩(wěn)定性，在初始條件中定義主被動齒輪初始速度，在邊界條件模塊中，利用‘預(yù)定義場’對齒輪的初始嚙合速度進(jìn)行定義。

表4 驅(qū)動橋部件材料屬性Tab.4 Material properties of drive axle components

這里先模擬汽車在40 km/h勻速行駛工況，在小齒輪輸入端輸入轉(zhuǎn)速為9.6 rad/s，大齒輸出端9 500 N·m阻力矩，如圖7所示，得到大小齒輪對應(yīng)的最大主應(yīng)力，可以看出在齒面部位由于接觸擠壓出現(xiàn)較大壓應(yīng)力，接觸部位近似為橢圓，在齒部位由于受到拉伸出現(xiàn)較大拉應(yīng)力，此時齒輪有三個齒處于嚙合，中間部位的齒輪齒面出現(xiàn)最大壓應(yīng)力，相應(yīng)齒根部位出現(xiàn)最大拉應(yīng)力，由有限元分析結(jié)果可知，準(zhǔn)雙曲面嚙合過程中齒輪的接觸始終由一端向另一端過渡，因此不會像直齒齒輪那樣嚙合剛度出現(xiàn)突變。

(a) 大齒輪

(b) 小齒輪圖7 準(zhǔn)雙曲面齒輪有限元分析結(jié)果Fig.7 Hypoid gear FEM results

3 準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度計算

3.1 較小載荷下齒輪傳遞誤差

由齒輪嚙合剛度計算模型可知，在計算加載狀態(tài)齒輪嚙合剛度之前，首先計算無載荷下的齒輪的傳遞誤差，本文以小載荷代替無載荷。這里施加小的旋轉(zhuǎn)力矩載荷主要是由于，當(dāng)前的嚙合分析模型大多是基于齒輪幾何嚙合關(guān)系得到，此時并沒有考慮齒輪加載力矩，為了對比分析結(jié)果，齒輪接觸分析時應(yīng)不施加任何力，但是在齒輪進(jìn)行有限元接觸分析時為了使輪齒對保持接觸需要施加一個力，這個力矩可以非常小，這里可以取齒輪最大工作力矩的百分之一。在這個小力矩作用下，有限元接觸分析基本上可以模擬齒輪無載荷作用下接觸過程，可以確保在有限元分析過程中始終只有一個輪齒接觸，并可以近似得到齒輪在無載荷狀態(tài)下齒輪傳遞誤差。

本文在大齒輪輸出端施加10 N·m阻力矩，如圖8所示為齒輪旋轉(zhuǎn)過程中，三對嚙合輪齒接觸面等效嚙合點處法向方向嚙合力變化歷程，接觸面表示為SUF_i,其中i=1,3,5表示為大齒輪齒面，i=2,4,6表示為小齒輪齒面，大齒輪的SUF_1與小齒輪的SUF_2為嚙合齒輪對，依次類推，大小齒輪的齒面法向力為作用力和反作用力，因此本文只給出大齒輪齒面的作用力，從圖上可以看出每個輪齒的法向嚙合力不存在重疊，齒輪始終處于單齒嚙合狀態(tài)，并且此時嚙合力值較小。對大小齒輪嚙合分析結(jié)果進(jìn)行后處理可以得到齒輪嚙合過程中傳遞誤差，如圖9所示，從圖中可以看出，在較小載荷下齒輪的傳遞誤差近似為拋物線，這與文獻(xiàn)[13]實驗測量的準(zhǔn)雙曲面齒輪在小載荷作用下齒輪實際傳遞誤差一致，這是為了減小齒輪的在嚙合過程中的接觸沖擊，齒輪設(shè)計時把齒輪無載荷時的傳遞誤差設(shè)計為拋物線形狀。

圖8 小載荷作用下單個輪齒嚙合力Fig.8 Gear meshing force under small loads of single teeth

圖9 小載荷作用下齒輪傳遞誤差Fig.9 Gear transmission error under small loads

準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合仿真方法應(yīng)用最多的是齒輪幾何接觸分析(TCA)，他可以求得齒面的瞬時嚙合點，通過齒輪接觸分析可以快速得到齒輪嚙合中點位置以及嚙合中點的法向向量，對比TCA分析結(jié)果和在較小載荷下有限元計算結(jié)果如表5所示，有限元分析結(jié)果和TCA分析結(jié)果基本一致，表明此有限元模擬具有較高的計算精度。

表5 嚙合中點坐標(biāo)與嚙合點法向向量Tab.5 Mean point coordinates and normal vector

3.2 齒輪加載嚙合剛度

接著對齒輪進(jìn)行加載狀態(tài)下接觸分析，在大齒輪輸出端施加的阻力矩為9 000 N·m，施加轉(zhuǎn)速為9.6 rad/s，如圖10所示為單齒輪嚙合力變化過程，SURF_i定義與圖8相同，在位置1嚙合位置，從圖中對應(yīng)位置的點劃線可以看出，SURF_1對應(yīng)輪齒退出嚙合，SURF_5對應(yīng)輪齒進(jìn)入嚙合，此時有三個輪齒處于嚙合，同樣可得位置2處，SURF_3只有兩個齒輪處于嚙合。與直齒齒輪不同，由于準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合力的方向隨齒輪的旋轉(zhuǎn)角度變化而變化，不同時刻處于嚙合的相鄰輪齒嚙合力方向不同，任意時刻所有齒輪的嚙合力并不能由處于嚙合齒輪的法向嚙合力簡單數(shù)值相加。對處于同一時刻齒輪嚙合力需進(jìn)行矢量相加，最后可得如圖11所示任意嚙合時刻對應(yīng)的齒輪法向嚙合力，從圖中可以看出嚙合力的大小隨齒輪旋轉(zhuǎn)周期性變化。

圖10 大載荷作用下單個嚙合齒輪嚙合力Fig.10 Gear meshing force under large loads of single teeth

圖11 大載荷作用下齒輪等效嚙合力Fig.11 Gear equivalent meshing force under large loads

大齒傳遞誤差如圖12所示，可以看出齒輪的傳遞誤差表現(xiàn)為周期性變化，同樣保持為拋物線形狀，與小載荷時齒輪傳遞誤差相比，大載荷對應(yīng)的齒輪傳遞誤差相應(yīng)向下平移，而且大載荷對應(yīng)齒輪傳遞誤差波動要比小載荷要小。因為大載荷作用下齒輪齒胚以及齒面接觸產(chǎn)生加大變形，使得傳遞誤差均值增大，而且由于所加載的力增大，齒輪的接觸更為平穩(wěn)使得大載荷作用下齒輪的嚙合誤差波動減小。

圖12 大載荷作用下大齒輪傳遞誤差Fig.12 Gear transmission error under large loads

由齒輪力、靜態(tài)傳遞誤差、加載傳遞誤差等數(shù)據(jù)代入式(12)中即可齒輪嚙合剛度，圖13為嚙合剛度計算結(jié)果，從圖中可以看出齒輪的嚙合剛度周期性變化，嚙合剛度變化周期與齒輪嚙合力以及齒輪傳遞誤差變化周期相同，此周期等于齒輪嚙合周期。選用齒輪嚙合剛度最大時作為嚙合剛度起始點，兩紅色點劃線之間部分為一個嚙合周期，在這個周期內(nèi)齒輪的嚙合剛度先變小，然后基本保持恒定大小，再緩慢減小，最后快速上升，接著進(jìn)入下一個齒輪嚙合周期。與直齒齒輪嚙合過程中剛度變化趨勢不同，準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度不會發(fā)生突變，這樣可以使齒輪平穩(wěn)接觸，減小嚙合沖擊。

圖13 大載荷作用下齒輪嚙合剛度Fig.13 Gear meshing stiffness under large loads

3.3 不同載荷下準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度對比

下面對比當(dāng)齒輪的受到的載荷不同時，齒輪嚙合剛度變化規(guī)律。這里大齒輪分別加載1 000 N·m、3 000 N·m、5 000 N·m、7 000 N·m阻力矩與上節(jié)輸入的9 000 N·m阻力矩進(jìn)行對比，剛度計算結(jié)果對比如圖14，從圖中可以看出隨著齒輪所加載力矩增加，齒輪的嚙合剛度增加，同時齒輪嚙合剛度波動幅值減小。主要是由于齒輪加載力增加，齒輪的嚙合重合度增加，使得齒輪嚙合時嚙合沖擊減小。同時嚙合力增加使得齒輪齒胚變形增大，嚙合剛度平均值增大。

圖14 不同載荷齒輪嚙合剛度Fig.14 Gear meshing stiffness under different loads

4 結(jié) 論

針對準(zhǔn)雙曲面齒輪時變嚙合剛度計算中遇到的困難，本文提出了完整的真實反映齒輪嚙合狀態(tài)的通用建模方法，并得到準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度：

(1)詳細(xì)描述了通過有限元法計算齒輪嚙合剛度通用計算模型，并通過直齒漸開線齒輪驗證此方法的有效性。

(2)詳細(xì)描述了準(zhǔn)雙曲面齒輪三維幾何模型建模過程，并建立了準(zhǔn)雙曲面齒輪準(zhǔn)靜態(tài)嚙合ABAQUS有限元模型。

(3)對有限元計算結(jié)果進(jìn)行處理得到準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合剛度，結(jié)果表明此齒輪嚙合剛度周期性變化，變化周期為齒輪嚙合周期。不同載荷的嚙合剛度對比結(jié)果表明，齒輪嚙合剛度隨載荷增加，平均值增大，波動減小。計算所得剛度可直接應(yīng)用于此準(zhǔn)雙曲面齒輪動力學(xué)系統(tǒng)建模分析中。

[1] KARAGIANNIS I, THEODOSSIADES S. An alternative formulation of the dynamic transmission error to study the oscillations of automotive hypoid gears[J].AMSE Journal of Vibration and Acoustics,2014, 136 (2)： 011001(1-11).

[2] LITVIN F L, FUENTES A.Gear geometry and applied theory[M]. New York: Cambridge University Press, 2004.

[3] WANG H B, LIM T C. Analysis of the mesh characteristics of hypoid gear pair dynamics[C]// ASME 2003 Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Chicago, IL：DETC2003-48053，2003.

[4] WANG Y W, LIM T C.Torque load effects on mesh and dynamic characteristics of hypoid geared system[C]// ASME 2013 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE 2013. Portland, OR： DETC2013-13594，2013.

[5] 王立華. 汽車螺旋錐齒輪傳動耦合非線性振動研究[D]. 重慶: 重慶大學(xué), 2003.

[6] 楊宏斌,高建平,方宗德,等. 準(zhǔn)雙曲面齒輪非線性振動分析[J]. 汽車工程,2000,22(1)： 51-54.

YANG Hongbin,GAO Jianping,FANG Zongde,et al.Non-linear dynamics of hypoid gears[J].Automobile Engineering, 2000,22(1)： 51-54.

[7] 馮治恒. 螺旋錐齒輪多體多自由度非線性動力學(xué)研究[D].重慶：重慶大學(xué),2010.

[8] KUANG J H, LIN A D. The effect of tooth wear on the vibration spectrum of a spur gear pair[J]. Journal of Vibration and Acoustics,2001,123(7): 311-317.

[9] MOHAMMADPOUR M, THEODOSSIADES S, RAHNEJAT H. Multiphysics investigations on the dynamics of differential hypoid gears[J]. Journal of Vibration and Acoustics,2014,136(8): 041007(1-15).

[10] KARAGIANNIS I, THEODOSSIADES S, RAHNEJAT H. On the dynamics of lubricated hypoid gears[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012,48 (1) : 94-120.

[11] 方宗德. 準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動的動載荷計算[J]. 汽車工程,1994,16(2): 92-97.

FANG Zongde. Dynamic load calculation of hypoid gear [J].Automobile Engineering, 1994,16(2): 92-97.

[12] 唐進(jìn)元, 浦太平.基于有限元法的螺旋錐齒輪嚙合剛度計算[J]. 機械工程學(xué)報,2011,47(11): 23-29.

TTANG Jinyuan，PU Taiping. Spiral bevel gear meshing stiffness calculations based on the finite element method [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011,47(11): 23-29.

[13] GOSSELIN C, GUERTIN T, REMOND D, et al. Simulation and experimental measurement of the transmission error of real hypoid gears under load[J]. AMSE Journal of Mechanical Design,2000, 122 (3): 109-122.

Acalculationmethodforthehypoidtimevaryingstiffnessoftheautomobiledriveaxle

LIU Cheng1, SHI Wenku1, CHEN Zhiyong1, HE Wei1, RONG Rusong2, SONG Huailan2

(1. State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control, Jilin University, Changchun 130022, China;2. Axle Branch of Naveco Company Ltd.，Nanjing 210028，China)

In the automotive driver axle hypoid gear meshing process, it is difficult to calculate the time varying mesh stiffness. To solve this problem, a complete calculation method was proposed, which is based on the finite element method. Firstly, a detailed process was described for the gear mesh stiffness calculation mathematical model, by the finite element method, and the meshing stiffness of the straight involute gear was calculated using this model. The results indicate that this method is consistent with the results of the Kuang model. Secondly, a three-dimensional model of hypoid gears was built by MATALAB and CATIA, and a quasi static engagement finite element model was established in ABAQUS software for that. Finally, the calculation process has been discussed for the gear mesh stiffness, and the gear mesh stiffness variations were analyzed under different loads. The results show that the gear mesh stiffness cycle varies with the gear rotating and the load torque changing, and the period of gear meshing stiffness is equal to the period of gear meshing. The average value of the gear meshing stiffness increases and the fluctuation reduces when the gear load torque increases.

hypoid gear; time varying mesh stiffness; three-dimensional model; finite element analysis

國家自然科學(xué)基金資助項目(51205158)；中國博士后科學(xué)基金面上資助項目(2013M541294)

2016-06-27 修改稿收到日期： 2016-08-15

劉程 男， 博士生， 1985年生

史文庫 男， 博士， 博士生導(dǎo)師，1960年生

U463.218+.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.036