劉光磊，常 凱

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安 710072）

0 引言

弧齒錐齒輪齒面的分為間接法[1-9]和直接法[10-17]。在判斷加工參數(shù)的合理性時(shí)，一般采用基于間接法對(duì)齒面進(jìn)行嚙合分析；在檢驗(yàn)齒面的嚙合性能時(shí)，除了已知的滾檢機(jī)外，采用齒面直接法進(jìn)行輪齒嚙合分析有望成為1個(gè)額外的選擇。相對(duì)于比較成熟的間接法分析，直接法輪齒嚙合分析尚在發(fā)展和完善中。Zhang Y[10]將理論齒面與誤差齒面疊加，采用5元3次非線性方程組間接表示真實(shí)齒面，與實(shí)際存在較大誤差；李左章[11]采用了5元3次非線性方程組，建立求解齒面接觸點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用復(fù)合形法，使計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定；孫殿柱、蘇智劍和張軍輝都采用3次非均勻有理B樣條，擬合螺旋錐齒輪齒面測(cè)量點(diǎn)。其中，孫殿柱[12]提出了不斷減小齒面間距，從而逐步逼近齒面接觸點(diǎn)的方法，幾何意義清楚；蘇智劍[13]提出用齒面計(jì)算點(diǎn)的連線與其中1個(gè)計(jì)算點(diǎn)的法線之間的夾角作為目標(biāo)函數(shù)，并用復(fù)合形法求解齒面接觸點(diǎn)；張軍輝[14]對(duì)比了離散數(shù)值齒面嚙合分析與傳統(tǒng)輪齒嚙合分析技術(shù)；劉光磊[15-17]采用雙3次樣條擬合理論齒面離散點(diǎn)。上述直接法輪齒嚙合分析技術(shù)，有一些往往沒(méi)有給出令人信服的結(jié)果，而無(wú)法證明其方法的有效性。

本文基于雙3次樣條法，系統(tǒng)分析弧齒錐齒輪高精度離散數(shù)值齒面嚙合技術(shù)，為評(píng)價(jià)弧齒錐齒輪真實(shí)齒面的嚙合質(zhì)量以及弧齒錐齒輪加工參數(shù)反求和齒面重構(gòu)提供手段和理論依據(jù)。

1 基本坐標(biāo)變換

1.1 齒面3坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)描述

采用3坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量齒面時(shí)，得到9×5個(gè)點(diǎn)，虛線交點(diǎn)如圖1所示。其中，齒長(zhǎng)方向9個(gè)，齒高方向5個(gè)，全部位于齒面邊界之內(nèi)。測(cè)量坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于錐頂；x軸沿齒輪徑向指向齒面；z軸與齒輪軸線重合，從大端指向小端；y軸按右手規(guī)則確定，指向齒面離散點(diǎn)的中心點(diǎn)。

圖1 齒面離散數(shù)據(jù)測(cè)量區(qū)域

1.2 從測(cè)量坐標(biāo)系到加工坐標(biāo)系

為了便于與加工時(shí)的結(jié)果相比較，需要將測(cè)量的齒面離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換到加工時(shí)的齒輪坐標(biāo)系中。在加工時(shí)，與齒輪固結(jié)的坐標(biāo)系的原點(diǎn)與錐頂重合；x軸與齒輪軸線重合，從小端指向大端；z軸沿齒輪徑向指向齒面；y軸按右手規(guī)則確定。

從測(cè)量坐標(biāo)系到加工坐標(biāo)系的矢量變換為

式中：ri和ric、ni和nic分別為加工坐標(biāo)系Si和測(cè)量坐標(biāo)系Sic中齒面離散點(diǎn)的位置矢量和法線矢量；角標(biāo)i=1，2，分別表示小輪和大輪；PSi_Sic和 MSi_Sic分別為位置矢量和法向量變換矩陣，即

而法線矢量變換矩陣MSi_Sic取PSi_Sic中的前3行和前3列。

1.3 從加工坐標(biāo)系到嚙合坐標(biāo)系

離散齒面嚙合分析在嚙合坐標(biāo)系中進(jìn)行。令小輪坐標(biāo)系S1的初始位置S10與嚙合坐標(biāo)系Sh重合，那么，從小輪和大輪加工坐標(biāo)系到嚙合坐標(biāo)系的變換關(guān)系為

式中：φ1、φ2分別為 Si0與 Si之間的夾角；MSih_Si0、MSi0_Si做法同式（1）。

2 齒面嚙合點(diǎn)求解技術(shù)

2.1 離散點(diǎn)插值與加密的雙3次樣條法

測(cè)量得到的齒面離散點(diǎn)過(guò)于稀疏，需要加密。采用3次樣條先沿齒長(zhǎng)方向分段光順，然后在樣條曲線上插入離散點(diǎn)；再沿齒高方向用3次樣條光順，同樣插入離散點(diǎn)。這種分別沿齒長(zhǎng)和齒高方向插值和加密的方法稱為雙3次樣條法[11]。

2.2 齒面間距求解的局部坐標(biāo)法

為了計(jì)算齒面間距，以靠近小端齒頂、小端齒根和大端齒根的3個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)建齒面局部坐標(biāo)系。將小輪和大輪齒面離散點(diǎn)從加工坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到該坐標(biāo)系中，從一齒面上的離散點(diǎn)沿該處法線方向作直線，與另一齒面上3個(gè)相鄰點(diǎn)構(gòu)成的三角形平面相交。當(dāng)交點(diǎn)位于三角形內(nèi)時(shí)，與三角形頂點(diǎn)連線之間的夾角之和等于360°，否則，交點(diǎn)位于三角形之外。一般交點(diǎn)不會(huì)落在離散點(diǎn)上，為此，用相鄰離散點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的1個(gè)角點(diǎn)來(lái)代表求解結(jié)果。當(dāng)離散點(diǎn)間距足夠小時(shí)，可以將角點(diǎn)看作交點(diǎn)。齒面距離采用有向直線表示。當(dāng)齒面有間隙時(shí)，距離為正；當(dāng)齒面干涉時(shí)，距離為負(fù)。

2.3 搜索齒面最小間距的流水法

計(jì)算齒面最小間距采用全齒面搜索需要很長(zhǎng)時(shí)間。為此，當(dāng)從一齒面發(fā)出的直線與另一齒面相交后，即以該點(diǎn)為中心，與包圍它的8個(gè)相鄰離散點(diǎn)一起組成1個(gè)包含9個(gè)離散點(diǎn)的小網(wǎng)格。分別計(jì)算這些點(diǎn)上發(fā)出的直線到另一齒面的有向距離，從中找出距離最小的點(diǎn)。當(dāng)距離最小的點(diǎn)位于小網(wǎng)格的中心時(shí)，即停止計(jì)算。上述過(guò)程稱為流水法。

2.4 齒面最小間距調(diào)整的無(wú)約束優(yōu)化法

輪齒嚙合分析，就是在一齒面保持不動(dòng)時(shí)，讓另一齒面靠上去，直到2者相切。當(dāng)齒面間的最小間距滿足預(yù)定的收斂條件而接近于零時(shí)，即認(rèn)為找到齒面嚙合點(diǎn)，不作齒面法線重合的判斷。當(dāng)齒面網(wǎng)格足夠小時(shí)，嚙合點(diǎn)齒面法線誤差可以忽略。在調(diào)整齒面間距時(shí)，因無(wú)法判斷齒輪轉(zhuǎn)角需要調(diào)整的范圍，故采用無(wú)約束優(yōu)化方法，建立齒面最小間距為目標(biāo)函數(shù)，齒輪轉(zhuǎn)角為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型。

2.5 齒面逐級(jí)加密

為了保證計(jì)算精度，齒面網(wǎng)格需要加密。但采用很密的網(wǎng)格，勢(shì)必花費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間。為此，先用較粗的網(wǎng)格計(jì)算齒面間距最小點(diǎn)；然后以該點(diǎn)為中心，選擇與其相鄰的若干點(diǎn)，組成1個(gè)小齒面；再次采用雙3次樣條插值和加密，計(jì)算齒面最小間距。此過(guò)程可以一直進(jìn)行下去，直到達(dá)到滿意的計(jì)算精度。

3 數(shù)值齒面嚙合分析

3.1 傳動(dòng)誤差曲線與齒面接觸印痕

在嚙合分析時(shí)，小輪轉(zhuǎn)角等距變動(dòng)，調(diào)整大輪轉(zhuǎn)角至小輪齒面與大輪齒面相切，大輪轉(zhuǎn)角的變動(dòng)量為

式中：φ1、φ2分別為小輪和大輪的當(dāng)前角位置；φ10、φ20分別為小輪和大輪的初始角位置；z1、z2分別為小輪和大輪的齒數(shù)。

按照格里森公司經(jīng)驗(yàn)，取齒面壓限量為0.00635 mm，計(jì)算齒面干涉區(qū)域，由此獲得齒面接觸印痕。

3.2 嚙合分析流程

綜合運(yùn)用上述數(shù)值嚙合分析技術(shù)，模擬齒輪嚙合過(guò)程，如圖2所示。

4 實(shí)例

以某型發(fā)動(dòng)機(jī)附件傳動(dòng)中弧齒錐齒輪副的小輪凹面和大輪凸面為例，采用Matlab編程，進(jìn)行離散數(shù)值齒面嚙合的具體應(yīng)用分析。

齒輪副基本參數(shù)見表1。

經(jīng)三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x得到齒面離散點(diǎn)數(shù)據(jù)。齒面測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)和光順后的結(jié)果如圖3所示。齒長(zhǎng)方向結(jié)點(diǎn)最大間距0.831mm，齒高方向結(jié)點(diǎn)最大間距0.591mm。

表1 齒輪副基本參數(shù)

將圖3中的數(shù)據(jù)經(jīng)式（1）和式（2）變換至嚙合坐標(biāo)系中，如圖4所示。其中，圖4（a）為加密前齒面副；圖4（b）為齒面網(wǎng)格加密后尚未接觸；圖4（c）為小輪不動(dòng)、大輪齒面與小輪齒面剛剛接觸。

圖4 嚙合坐標(biāo)系中的齒面副

數(shù)值齒面輪齒嚙合分析過(guò)程和結(jié)果如圖5所示。圖 5中（a）、（b）、（c）為嚙合分析開始、中間和結(jié)束的瞬時(shí)接觸區(qū)，其中的虛線部分為測(cè)量數(shù)據(jù)的邊界；圖5（d）為單齒嚙合的接觸印痕；圖5（e）為相鄰3對(duì)齒的傳動(dòng)誤差曲線。因齒面測(cè)量數(shù)據(jù)限于齒面邊界內(nèi)，在旋轉(zhuǎn)軸截面內(nèi)，測(cè)量數(shù)據(jù)只有部分重合，如圖6中四邊形ABCD所示，所以相鄰傳動(dòng)誤差曲線沒(méi)有相交，也無(wú)法得到多齒嚙合的接觸印痕。

5 結(jié)論

（1）提出基于3坐標(biāo)齒面測(cè)量數(shù)據(jù)的弧齒錐齒輪離散數(shù)值齒面嚙合分析的一系列方法，經(jīng)對(duì)航空弧齒錐齒輪的嚙合分析，證明了這些方法的有效性。

（2）為了獲得光滑的齒面接觸跡和傳動(dòng)誤差曲線，網(wǎng)格間距的最大值不應(yīng)大于0.01mm，嚙合分析時(shí)的小輪轉(zhuǎn)角步進(jìn)量不應(yīng)大于0.01 rad。

（3）由于3坐標(biāo)測(cè)量齒面測(cè)量數(shù)據(jù)比實(shí)際齒面要小，基于此的嚙合分析一般無(wú)法獲得完整傳動(dòng)誤差曲線和嚙合印痕。為了全面評(píng)價(jià)真實(shí)齒面的嚙合性能，需要以齒面測(cè)量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，反求真實(shí)齒面加工參數(shù)，重構(gòu)和拓展齒面，并經(jīng)輪齒嚙合分析，再現(xiàn)完整的嚙合性能。

[1]Gleason Works.Understanding tooth contactanalysis[M].New York：University of Rochester Press,1981：58-71.

[2]Litvin F L.Gear geometry and applied theory[M].New Jersey：Prentice Hall PTR,1994:107-281.

[3]Litvin F L,Wang A G,Handschuh R F.Computerized generation and simulation of meshing and contact of spiral bevel gears with improved geometry[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1998,158（1-2）:35-64.

[4]Sheveleva G I,Volkov A E,Medyedev V I.Algorithms for analysis of meshing and contact of spiral bevel gear[J].Mechanism and Machine Theory,2007,42（2）:198-215.

[5]鄭昌啟.弧齒錐齒輪及準(zhǔn)雙曲面齒輪[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1988：312-373.

ZHENG Changqi.Spiral bevel gears and hypoid gears[M].Beijing:Mechanical Industry Press,1988:312-373.(in Chinese)

[6]曾韜.螺旋錐齒輪設(shè)計(jì)與加工[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989：237-259.

ZENG Tao.Design and manufacture for spiral bevel gears[M].Harbin：Harbin Institute of Technology Press,1989:237-259.(in Chinese)

[7]方宗德,劉濤,鄧效忠.基于傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪嚙合分析[J].航空學(xué)報(bào),2002,23（3）:226-230.

FANG Zongde,LIU Tao,DENG Xiaozhong.Tooth contact analysis of spiral bevel gears based on design of transmission[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2002,23（3）:226-230.(in Chinese)

[8]曹雪梅,方宗德,張金良，等.弧齒錐齒輪的齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2007,43（8）：155-158,164.

CAO Xuemei,FANG Zongde,ZHANG Jinliang,et al.Function-oriented active tooth surface design of spiral bevel gears[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2007,43（8）:155-158,164.(in Chinese)

[9]曹雪梅,方宗德,許浩，等.弧齒錐齒輪的齒面主動(dòng)設(shè)計(jì)及試驗(yàn)驗(yàn)證[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2008,44（7）:209-214.

CAO Xuemei,FANG Zongde,XU Hao,et al.Function-oriented active tooth surface design of spiral bevel gears and experimental tests[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008.44（7）:209-214.(in Chinese)

[10]Zhang Y.Computerized analysis of meshing and contact of gear real tooth surfaces[J].Journal of Mechanical Design,1994,116（1）:677－682.

[11]李左章,王延忠,周云飛,等.螺旋錐齒輪擬合齒面接觸點(diǎn)求解算法研究 [J].華中理工大學(xué)學(xué)報(bào).2000,28（6）:101-103.

LIZuozhang,WANG Yanzhong,ZHOU Yunfei,et al.Getting contacting points of bevel gear tooth fitting surfaces[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology,2000,28（6）：101-103.(in Chinese)

[12]孫殿柱,董學(xué)朱.真實(shí)齒面嚙合分析 [J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2000,36（8）:98-100.

SUN Dianzhu,DONG Xuezhu.Meshing analysis of real tooth surface[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2000,36（8）：98-100.(in Chinese)

[13]蘇智劍,吳序堂,毛世民,等.基于齒面參數(shù)化表示的準(zhǔn)雙曲面齒輪的設(shè)計(jì) [J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2005,39（1）:17-20.

SU Zhijian,WU Xutang,MAO Shimin,et al.Design of hypoid gear tooth surface represented by non-uniform rational B-spline polynomial[J].Journal of Xi'an Jiaotong University,2005,39（1）:17-20.(in Chinese)

[14]張軍輝,方宗德,王成.基于NURBS的弧齒錐齒輪真實(shí)齒面的數(shù)字化仿真 [J].航空動(dòng)力學(xué)報(bào),2009,24（7）:1672-1676.

ZHANG Junhui,FANG Zongde,WANG Cheng.Digital simulation of spiral bevel gears'real tooth surfaces based on Non-Uniform Rational B-Spline[J].Journal of Aerospace Power,2009,24（7）:1672-1676.(in Chinese)

[15]劉光磊,沈允文,王三民.弧齒錐齒輪齒面網(wǎng)格加密的雙三次樣條法 [J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2000,19（增刊1）:128-129.

LIU Guanglei,SHEN Yunwen,WANG Sanmin.Double Third-power spline used to add more nodes to the surface mesh of a spiral bevel gear[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering,2000,19（Suppl 1）:128-129.(in Chinese)

[16]劉光磊,沈允文,王三民.剛支時(shí)弧齒錐齒輪齒面嚙合跡的確定[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2001,20（3）:392-394.

LIU Guanglei,SHEN Yunwen,WANG Sanmin.Determination of contacting path of spiral bevel gears on rigid support[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering 2001,20（3）:392-394.(in Chinese)

[17]劉光磊,王三民,孫智民,等.確定弧齒錐齒輪齒面嚙合跡的改進(jìn)算法[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2000（9）:13-15.

LIU Guanglei,WANG Sanming,SUN Zhimin,et al.An improved method for ascertaining the contacting path of spiral bevel gears[J].Journal of Machine Design,2000（9）:13-15.(in Chinese)

[18]朱心雄.自由曲線曲面造型技術(shù) [M].北京:科學(xué)出版社,2001：138-169.

ZHU Xinxiong.Free curves and surfacesmodeling technology[M].Beijing:Science Press,2001：138-169.(in Chinese)