，,2，

(1.蘭州理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用教育部重點實驗室，蘭州 730050)

輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的設(shè)計

王猛1，靳伍銀1,2，王安1

(1.蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院，蘭州730050；2.蘭州理工大學(xué)數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用教育部重點實驗室，蘭州730050)

針對輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)誤差收斂速率低、精度和實時性差的問題，采用反演控制算法并結(jié)合李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法對輪式機器人的軌跡跟蹤系統(tǒng)進行了優(yōu)化設(shè)計;建立了輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的運動學(xué)模型，并對該模型進行位置偏差分析；在反演控制算法中引入了分部虛擬控制量，并分析和設(shè)計了其他間接受控量，提高了算法運行的效率；采用李雅普諾夫收斂定理對系統(tǒng)的收斂性進行分析，根據(jù)分析的結(jié)果提出了算法更加簡單的控制律;利用Matlab軟件的Simulink庫對設(shè)計的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)試驗研究;結(jié)果表明，與基于李雅普諾夫直接法或者迭代學(xué)習(xí)算法設(shè)計的輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)相比較，設(shè)計的控制系統(tǒng)具有跟蹤精度高、收斂速度快、實時性好的優(yōu)點。

軌跡跟蹤；誤差分析；反演控制算法；李雅普諾夫收斂定理；分部虛擬控制量

0 引言

智能輪式機器人是一種在復(fù)雜的環(huán)境下工作的具有自規(guī)劃、自組織、自適應(yīng)能力的機器人[1-4]。在移動機器人相關(guān)技術(shù)研究中，控制技術(shù)是其核心技術(shù)，也是其實現(xiàn)真正智能化和完全自主移動的關(guān)鍵技術(shù)[1]。輪式機器人具有時變、強耦合和非線性特性，由于測量和建模的不精確，加上負載的變化以及外部擾動的影響，傳統(tǒng)的基于經(jīng)典控制理論的控制算法很難實現(xiàn)對輪式機器人的實時、精確控制[5-9]。目前，在輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的設(shè)計中，常采用的算法有模糊PID控制算法、迭代學(xué)習(xí)控制算法和李雅普諾夫(Lyapunov)直接算法[10-14]，但是，模糊PID控制算法需要大量的專家經(jīng)驗才能設(shè)計精確地控制規(guī)則，這在現(xiàn)實中是很難實現(xiàn)的；雖然采用迭代學(xué)習(xí)控制算法和李雅普諾夫直接法設(shè)計的機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)基本上能夠滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準確性要求，但是，由于迭代學(xué)習(xí)算法在控制過程中需要反復(fù)迭代，且迭代的次數(shù)與精度均沒有合理、系統(tǒng)的理論體系支撐，需要通過試驗反復(fù)迭代驗證，這嚴重影響了機器人控制系統(tǒng)的實時性要求；而Lyapunov直接法仍然沒有系統(tǒng)的、普遍適用的構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法，且收斂速度慢的缺陷。

本文采用反演(Backstepping)控制算法對輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計，建立了輪式機器人的運動學(xué)模型，對該模型進行誤差分析并引入分部虛擬控制量，并利用Lyapunov收斂定理分析了系統(tǒng)的收斂性，根據(jù)分析結(jié)果提出了一套算法簡單的控制律。最后采用Matlab/Simulink對控制系統(tǒng)進行試驗，結(jié)果表明本文采取的控制策略提高了系統(tǒng)的實時性、收斂精度和速率。

1 輪式機器人運動學(xué)模型

本文的研究對象為同軸雙電機差速轉(zhuǎn)向的輪式機器人，其位姿如圖1所示。

圖1 移動機器人位姿誤差坐標圖

圖1中，以機器人的兩驅(qū)動輪軸線中點為參考點對機器人位姿變化進行研究，其中p(x,y,δ)為機器人當前位姿，pd(xd,yd,δd) 為期望位姿，(x,y)為機器人的當前位置坐標，δ為機器人的當前行駛方向角，vl、vr分別為機器人的左、右輪線速度，v為機器人當前的速度，三者之間的近似關(guān)系如式(1)所示：

(1)

機器人在X、Y方向的位移變化以及角度變化如式(2)所示：

(2)

其中：w是機器人的角速度。

由式(2)可以看出，機器人的位姿狀態(tài)是由線速度v和角速度w決定的。

通過對圖1進行分析可得：

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)可得：

(vdcos(δd)-vcos(δ))cos(δ)-(xd-x)wsin(δ)+

(vdsin(δd-vsin(δ))sin(δ)+(yd-y)wcos(δ)=

vdcos(δd)cos(δ)+vdsin(δd)sin(δ)-vcos2(δ)-vsin2(δ)+

w((yd-y)cos(δ)-(xd-x)sin(δ))=vdcos(δd-δ)-v+

yew=vdcos(δe)-v+yew

(yd-y)wsin(δ)-(vdcos(δd)-vcos(δ))sin(δ)-

(xd-x)wcos(δ)=vdsin(δd)cos(δ)-vdcos(δd)sin(δ)-

vsin(δ)cos(δ)+vsin(δ)cos(δ)-w((xd-x)cos(δ)+

(yd-y)sin(δ)=vdsin(δd-δ)-xew=vdsin(δe)-xew

即：

(4)

由式(4)可知，求解輪式機器人的尋跡問題就是設(shè)計適當?shù)挠薪缈刂屏縬=(vw)T，使得機器人在任意初始條件下跟蹤參考軌跡pd=(xd,yd,δd)和參考控制量qd=(vdwd),使得xe,ye,δe,最終收斂于0。

2 反演控制算法設(shè)計

反演(Backstepping)控制算法設(shè)計的基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后為每個子系統(tǒng)分別設(shè)計Lyapunov函數(shù)和中間虛擬控制量，一直“后退”到整個系統(tǒng)，直到完成整個控制律的設(shè)計[1,15-16]。Backstepping控制算法具有以下幾點優(yōu)點：一是反向遞推設(shè)計，使系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)和控制器設(shè)計具有了相對系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的過程；二是可以不受制于經(jīng)典無源設(shè)計中相對階只能為1的要求，而對相對階為n的非線性系統(tǒng)也適用[17]。

2.1 反演控制算法設(shè)計

針對機器人位姿誤差變化中X方向的誤差分量構(gòu)造虛擬控制量：

(5)

(6)

2.2 控制律設(shè)計與Lyapunov穩(wěn)定性分析

設(shè)計系統(tǒng)的部分Lyapunov函數(shù)為：

(7)

b2>0，于是：

(8)

綜合以上對系統(tǒng)的分析設(shè)計控制系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為：

(9)

于是得：

b1vdsin(δe)arctan(w) +b1xewarctan(w)]-

(10)

其中:h>0，b3>0。

(11)

將式(11)代入式(10)可得：

(12)

由于?t∈[0,+∞)，xe，ye，δe有界，因此V函數(shù)是正定連續(xù)可微分的有界函數(shù)，于是系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

3 仿真試驗與分析

利用Matlab軟件的Simulink庫對本文設(shè)計的輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)進行仿真試驗，利用式(2)、(4)、(6)和(12)設(shè)計控制系統(tǒng)的Matlab/Simulink仿真系統(tǒng)，如圖2所示。設(shè)定xd=cos(πt)，yd=sin(πt)，vd=0.2 m/s，wd=0.2 rad/s并取b1=0.08。即預(yù)定軌跡為一個單位圓。假設(shè)輪式機器人的初始位姿為(1.2 -0.3 2π/3)。

圖2 控制系統(tǒng)的Matlab/Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖

圖3 控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果

控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖3所示，其中圖3(a)為本文設(shè)計的控制系統(tǒng)仿真結(jié)果，圖3(b)為采用迭代學(xué)習(xí)算法設(shè)計輪式機器人軌跡跟蹤系統(tǒng)在迭代學(xué)習(xí)800次仿真結(jié)果；圖3(c)為基于Lyapunov直接法設(shè)計的控制系統(tǒng)仿真結(jié)果，由圖3(d)可為采用迭代學(xué)習(xí)算法設(shè)計輪式機器人軌跡跟蹤系統(tǒng)在迭代學(xué)習(xí)1200次的仿真結(jié)果。對比圖3(a)，(b)和圖3(c)可知，與基于Lyapunov直接法設(shè)計的控制系統(tǒng)和基于迭代學(xué)習(xí)算法設(shè)計的控制系統(tǒng)相比，本文優(yōu)化設(shè)計的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)具有更好的跟蹤精度和收斂速率。對比圖3(b)和圖3(d)可知，采用迭代學(xué)習(xí)算法設(shè)計的控制系統(tǒng)的跟蹤精度與迭代的次數(shù)有關(guān)。對仿真試驗的結(jié)果進行分析，結(jié)果表明：本文優(yōu)化設(shè)計的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)跟蹤預(yù)定軌跡的效率和精度要高于基于Lyapunov直接法和基于迭代學(xué)習(xí)控制算法設(shè)計的控制系統(tǒng)，同時也證明了本文引入的虛擬控制量以及設(shè)計的控制律具有很好的收斂效果，實現(xiàn)了輪式機器人軌跡跟蹤控制的目標。

4 結(jié)論

本文基于反演算法對輪式機器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)進行了優(yōu)化設(shè)計，建立了輪式機器人的運動學(xué)模型，對模型進行位置偏差分析，為了提高算法的效率，在反演控制算法中引入了分部虛擬控制量，利用分部虛擬控制量來分析和設(shè)計其他間接受控量，采用李雅普諾夫收斂定理對系統(tǒng)的收斂性進行分析，并根據(jù)分析的結(jié)果提出了算法更加簡單的控制律。最后對優(yōu)化設(shè)計的控制系統(tǒng)進行了仿真試驗，結(jié)果表明：與采用李雅普諾夫直接法或者迭代學(xué)習(xí)算法設(shè)計的控制系統(tǒng)相比較，本文優(yōu)化設(shè)計的控制系統(tǒng)具有跟高的跟蹤精度、更高的收斂速率，更好的實時控制性能。

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DesignofTrajectoryTrackingControlSystemforWheeledRobots

Wang Meng1，JIN Wuyin1,2， Wang An1

(1.School of Mechanical and Electrical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China；2.Key Laboratory of Digital Manufacturing Technology and Applications(Lanzhou University of Technology), Ministry of Education, Lanzhou 730050, China)

Aim at the shortages of slow error convergence speed, low accuracy, and poor real-time ability of trajectory tracking control system for wheeled robots, a novel control system is proposed based on Backsteping control algorithm and Lyapunov stability analysis method. In order to study the position deviation of the wheeled robots, the kinematic model is designed. In addition, the Backstepping control algorithm employ a new control strategy for segment virtual control to study and design other indirectly controlled parameters, which greatly improves the efficiency of the algorithm. The Lyapunov law is adopted to analyze the convergence of the system, and in the light of the results of stability analysis to propose a new and simple control law. Finally, Matlab/Simulink is employed to test trajectory tracking control system. The results show that the new control strategy proposed in this paper has higher accuracy, faster convergence speed and better real-time performance than the control strategy based on direct Lyapunov algorithm or iterative learning algorithm.

trajectory tracking; error analysis; backstepping algorithm; lyapunov convergence law; segment virtual control

2017-03-19；

2017-04-23。

2016年度省自然基金B(yǎng)類項目：刀具熱變形因素對切削系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

王 猛(1992-)，男，河南商丘人，碩士研究生，主要從事嵌入式智能系統(tǒng)方向的研究。

靳伍銀(1969-)，男，甘肅秦安人，博士，研究員，博導(dǎo)，主要從事機器視覺與嵌入式系統(tǒng)方向的研究。

王 安(1981-)，男，甘肅靖遠人，博士研究生，講師，主要從事非線性系統(tǒng)方向的研究。

1671-4598(2017)10-0102-03

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.10.027

TP391

A