哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

好玩的速成的“亞幻方”

哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

本文推出了好玩的速成的“亞幻方”，比傳統(tǒng)幻方容易推廣普及，從而成為素質(zhì)教育的好教材，彰顯數(shù)學(xué)文化的正能量。

亞幻方；平分；斜線；泛對(duì)角線；素質(zhì)教育

幻方屬于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，古典《易經(jīng)》就有記載。然而，由于編制幻方的程序比較復(fù)雜，很不利于推廣普及。簡(jiǎn)單是真理的標(biāo)志。因此，筆者采取變通的措施，創(chuàng)造出一種“亞幻方”，好玩速成，有利于推廣普及。“亞幻方”不完全符合傳統(tǒng)幻方的定義，而是其中一部分符合幻方的定義。以往編制N階幻方，N的取值不同，所采用的方法也不同。然而“亞幻方”就沒(méi)有取值的約束了，不論N取值多少，都通用一種方法，速成快捷，精準(zhǔn)無(wú)誤，從而使得亞幻方各行各列以及2N條泛對(duì)角線之中的數(shù)字連加之和存在許多相等的情況，尤其是四階的亞幻方更為顯著。所謂N階幻方是指該幻方每行每列都是幾個(gè)格子，是幾個(gè)格子就稱(chēng)幾階幻方。如圖1所示，N階幻方有2N條泛對(duì)角線。

圖1

“1、6、11、16”和“4、7、10、13”這樣兩條主對(duì)角線，其他次對(duì)角線（如同被折斷的主對(duì)角線）分別是“13、2、7、12”、“9、14、3、8”、“5、10、15、4”、“1、8、11、14”、“2、5、12、15”、“3、6、9、16”，這樣共六條次對(duì)角線，主次對(duì)角線統(tǒng)稱(chēng)泛對(duì)角線。N階幻方都如此這般體現(xiàn)泛對(duì)角線。

例1 編制一個(gè)三階亞幻方。因?yàn)槿A之“3”是奇數(shù)，首先寫(xiě)出（3×3+1）個(gè)連續(xù)的自然數(shù)（不要求非從1開(kāi)始寫(xiě)，不過(guò)從1開(kāi)始數(shù)字較小，作為例題尤顯簡(jiǎn)明），并且平分成兩列來(lái)表示：

如斜線所示，從左至右每四個(gè)數(shù)字為一組，對(duì)斜線兩端的數(shù)字進(jìn)行交換，從而形成如下?tīng)顩r：

7、2、9、4、5

6、1、8、3、10

進(jìn)而把交換之后形成的前九個(gè)數(shù)字從左至右、從上至下依次安排在三階方陣所需要的九個(gè)格子內(nèi)（從左至右、從上至下各就其位），如圖2所示：

圖2

兩條主對(duì)角線：7+5+3=9+5+1=15；中間的一行一列：2+5+8=4+5+6=15；兩邊的兩行兩列：9+6+3=7+2+9=18，7+4+1=1+8+3=12；其他泛對(duì)角線：1+2+6=2+4+3=9，4+8+9=7+6+8=21。

例2 編制一個(gè)四階亞幻方。因?yàn)樗碾A之“4”是偶數(shù)，首先寫(xiě)出（4×4）個(gè)連續(xù)自然數(shù)，并且平分成兩列：

如斜線及例1所示，數(shù)字交換之后形成：

10、2、12、4、14、6、16、8

9、1、11、3、13、5、15、7

進(jìn)而把交換之后的十六個(gè)數(shù)字如例1所示安排在四階方陣的十六個(gè)格子內(nèi)，如圖3所示：

圖3

八條泛對(duì)角線上的數(shù)字：10+6+11+7=4+16+1+13=34，其他六條泛對(duì)角線上的數(shù)字也都等于34（13+2+16+3=9+5+12+8=14+1+15+4=10+8+11+5=2+14+3+15=12+6+9+7）。

例3 編制一個(gè)五階亞幻方，因?yàn)槲咫A之“5”是奇數(shù)，首先寫(xiě)出（5×5+1）個(gè)連續(xù)自然數(shù)，并且平分成兩列：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13

14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26

如例1和例2所示，數(shù)字交換之后形成：

15、2、17、4、19、6、21、8、23、10、25、12、13

14、1、16、3、18、5、20、7、22、9、24、11、26

進(jìn)而把交換之后的前二十五個(gè)數(shù)字（26除外）如例1和例2所示安排在五階方陣的二十五個(gè)格子內(nèi)，如圖4所示：

圖4

中間一行一列的數(shù)字和兩條主對(duì)角線上的數(shù)字都等于65：17+8+13+18+9=25+12+13+14+1=7+3+13+23+19=15+21+13+5+11=65；其他六條泛對(duì)角線的數(shù)字：7+2+8+14+20=25+3+9+4+10=4+8+12+16+11=51；16+22+17+23+1=6+12+18+24+19=15+10+14+18+22=79。

數(shù)學(xué)大師陳省身說(shuō)“數(shù)學(xué)好玩”。數(shù)學(xué)具備獨(dú)特的深刻性和哲理性。亞幻方數(shù)形結(jié)合，具有一定的游藝性，取用多少階亞幻方可任意選定，少則三階，多不封頂，并且自然數(shù)是無(wú)窮的，如此這般，張力無(wú)限，產(chǎn)生出乎意料的戲劇性和多變性，十分有助于培養(yǎng)觀察、分析、想象、計(jì)算、探索等能力，不失進(jìn)行素質(zhì)教育的好教材，彰顯數(shù)學(xué)文化的正能量。

數(shù)學(xué)大世界，景點(diǎn)千萬(wàn)個(gè)。勸君多游玩，此生不白活！