李汝雁 郭要紅

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 (241000)

一道IMO試題的推廣

李汝雁 郭要紅

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 (241000)

2014年第55屆IMO試題4如下：

題目點(diǎn)P和Q在銳角△ABC的邊BC上，滿足∠PAB=∠BCA，且∠CAQ=∠ABC，點(diǎn)M、N分別在直線AP、AQ上，使得P為AM的中點(diǎn)，且Q為AN的中點(diǎn).證明：直線BM與CN的交點(diǎn)在△ABC的外接圓上.

文[1]刊登了試題的一個(gè)證明，本文用三角法給出該試題的一個(gè)推廣.

圖1

如圖1，設(shè)∠NCQ=α，∠MBP=β，直線NC與直線MB相交于T.則∠QNC=∠AQC-α=∠A-α,∠BMP=∠APB-β=∠A-β.

故α+β=A，所以∠BTC=180°-(α+β)=180°-∠A，即點(diǎn)T在△ABC的外接圓上.

當(dāng)k=1時(shí)，即AP=PM時(shí)，AQ=QN，點(diǎn)P、Q分別為AM、AN的中點(diǎn)，本文定理即為試題，所以定理是試題的推廣.

[1]姚一雋.第55屆IMO試題解答[J].中等數(shù)學(xué)，2014(9)：20-24.