嚴(yán)婷婷 陳少春

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

利用函數(shù)零點(diǎn)式妙解一類函數(shù)題

嚴(yán)婷婷 陳少春

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的核心知識(shí)，二次函數(shù)作為眾多函數(shù)里的“明星”備受考試命題者的青睞.最近浙江的?？季怼⒏?jìng)賽卷里頻頻出現(xiàn)一類函數(shù)問題，筆者發(fā)現(xiàn)如果用二次函數(shù)的零點(diǎn)式去處理，簡(jiǎn)潔明了，事半功倍.

例1 (2017年浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)f(x)=x2+ax+b在[0,1]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2-2b的取值范圍為_________.

例2 (2014年浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知b,c∈R，二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,1)上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求c2+(1+b)c的取值范圍.

例3 (2017年浙江高考調(diào)測(cè)卷17題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b在(0,1)有兩個(gè)零點(diǎn)，3a+b的取值范圍是_________.

解：設(shè)f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，則0

例4 (2017年浙江模擬題)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在(0,1)有兩個(gè)零點(diǎn)，f(0)·f(1)是正整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值．

例7 (2015年浙江高考文數(shù)21題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)．

(2)若函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

解：(1)略；

-3≤b<0．

例8 (2011年北大保送生試題)設(shè)p、q為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+px+q，如果f(f(x))=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：p，q≥0．

解：由題意知，f(x)=0必有實(shí)數(shù)根，設(shè)f(x)=(x-x1)(x-x2)，故f(f(x))=(f(x)-x1)(f(x)-x2)．下面用反證法證明x1≤0，x2≤0．不妨設(shè)x1>0，則由二次函數(shù)f(x)=x2+px+q開口向上及f(x)=0有實(shí)根知，方程f(x)-x1=0有兩個(gè)不相等實(shí)根t1，t2，即f(x)-x1=(x-t1)(x-t2)，所以f(f(x))=(f(x)-x1)(f(x)-x2)=(x-t1)(x-t2)(f(x)-x2)至少有兩個(gè)不相等的實(shí)根，與題設(shè)矛盾．從而p=-(x1+x2)≥0，q=x1x2≥0．