袁奮明

摘 要：認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的起始課，學(xué)生從自然數(shù)的認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一次拓展和飛躍。有的小學(xué)生表面上很容易就認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，但他們真正的理解分?jǐn)?shù)嗎？學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)過(guò)程的障礙是什么？通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)這個(gè)課題的研究，我終于找到了幫助小學(xué)生理解分?jǐn)?shù)意義的途徑—借助多種直觀模型，幫助學(xué)生體驗(yàn)分?jǐn)?shù)含義的多重性，體驗(yàn)分?jǐn)?shù)含義的復(fù)雜性，逐步提升兒童在抽象的水平上理解分?jǐn)?shù)。

關(guān)鍵詞：直觀模型；體驗(yàn)；分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)

一、要厘清分?jǐn)?shù)是“行為的分?jǐn)?shù)”還是“定義的分?jǐn)?shù)”

一對(duì)對(duì)的數(shù)字，例如1/2，2/5等，或者短語(yǔ)。“二分之一，五分之二”等并不是“分?jǐn)?shù)”它只是代表分?jǐn)?shù)概念的符號(hào)或者語(yǔ)言。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)不能直接從這些符號(hào)入手，而是從分?jǐn)?shù)的“產(chǎn)生”入手。即理解分?jǐn)?shù)首先從“行為”（平均分物體）入手，而不是從“定義”（形如b/a，a≠0）入手。只有學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)了把一個(gè)“整體”平均分為各個(gè)部分，所“關(guān)注”的部分與整體之間的關(guān)系可以用一個(gè)新的數(shù)來(lái)表示之后，才可以給出分?jǐn)?shù)的“符號(hào)”表示，并建立“行為”與“符號(hào)”之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。只有經(jīng)歷這樣的過(guò)程，學(xué)生才能逐步理解分?jǐn)?shù)的概念。即學(xué)生理解分?jǐn)?shù)是從“行為”開(kāi)始的，這是從“率”的角度來(lái)理解分?jǐn)?shù)。

二、借助于多種直觀模型理解分?jǐn)?shù)的含義

在小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)“行為的分?jǐn)?shù)”，教材中往往以學(xué)生熟悉的日常事物與活動(dòng)模型，建立分?jǐn)?shù)的概念。例如把一個(gè)月餅平均分成兩份，其中的一份兒是1/2個(gè)；把一張紙平均分為四份，其中的一份是1/4。這僅僅是從“面積模型”的角度來(lái)理解分?jǐn)?shù)，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以借助于多種“模型”。

1.分?jǐn)?shù)的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)

學(xué)生最早接觸分?jǐn)?shù)概念及其術(shù)語(yǔ)可能與“空間”有關(guān)，而且更多的是“3—維”的，而不是“2—維”的，例如，半杯牛奶，半個(gè)蘋(píng)果……

學(xué)生最早是通過(guò)“部分—整體”來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，因此在教材中分?jǐn)?shù)概念的引入是通過(guò)“平均分”某個(gè)“正方形”或者“圓”，取其中的一份兒或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。

對(duì)于“平均分”，兒童有豐富的經(jīng)驗(yàn)。為他們認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的面積模型，或者從“部分—整體”的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是對(duì)于分?jǐn)?shù)的“面積模型”，在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生經(jīng)常遇到一些困難。如：

（1）能否認(rèn)識(shí)到圖形“面積相等”的必要性，即“整體1”是否一樣大。

（2）是否習(xí)慣于由圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的轉(zhuǎn)換，初步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)的特有表示方法不能立即掌握，需要有熟悉、習(xí)慣的過(guò)程。

（3）理解大于“整體1”的分?jǐn)?shù)。

（4）從表示多余一個(gè)“單位”的圖形中確定誰(shuí)作為“單位”。

例如，對(duì)于有兩個(gè)同樣大小的正方形都被平均分成四份，其中四份都涂了顏色，另一幅其中涂了兩份，對(duì)于這樣的圖形，學(xué)生的回答是6/8，而不是6/4。這時(shí)用“面積模型”認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)就帶來(lái)了困難。分?jǐn)?shù)被理解為表示“單位面積”（關(guān)鍵是哪部分是“單位面積”）的子面積，被理解為“整數(shù)的部分”，這就為兒童理解假分?jǐn)?shù)帶來(lái)了困難。

2.分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集—全集”來(lái)表示分?jǐn)?shù)

這也是“部分—整體”的一種形式。與分?jǐn)?shù)的面積模型聯(lián)系密切，甚至幾乎沒(méi)有區(qū)別。但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是“單位1”不再真正是“1個(gè)整體”了，而是把幾個(gè)物體看作“1個(gè)整體”，作為一個(gè)“單位”，所取的“一份”也不是“一個(gè)”，可能是“幾個(gè)”作為“一份”。例如，在一個(gè)集合圈內(nèi)，有涂色長(zhǎng)條3個(gè)，白色圖形2個(gè)，那么圖中，“涂色長(zhǎng)條”占全部“長(zhǎng)條”的3/5。分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個(gè)”看作“整體1”。

分?jǐn)?shù)的集合模型的優(yōu)點(diǎn)是有利于用比較抽象的數(shù)值形式表示“比”與“百分比”。例如又一幅圖：有5個(gè)同樣的長(zhǎng)方形條，其中3個(gè)是涂色，2個(gè)是白色的，這是一個(gè)離散的量，這時(shí)我們把分?jǐn)?shù)看作是“算子”，即把分?jǐn)?shù)看作是一個(gè)“映射”。例如“涂色長(zhǎng)條”與“白色長(zhǎng)條”之比為3∶2，或者寫(xiě)為3/2。

3.分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”就是用“數(shù)線”上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)。它把分?jǐn)?shù)化歸為抽象的數(shù)，而不是具體的事物。對(duì)這個(gè)模型的理解需要學(xué)生更高的抽象水平的抽象能力，甚至有的初中生對(duì)用“分?jǐn)?shù)”表示點(diǎn)仍然感到困難。分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”與分?jǐn)?shù)的“面積模型”有著密切的聯(lián)系：一個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示“單位面積”的“一部分”，也可表示“單位長(zhǎng)度”的“一部分”。前者是2維的，后者是線性的，是1維的。

“數(shù)線模型”是“數(shù)軸”的前身，是數(shù)軸的“局部放大”和“特殊化”，是用“點(diǎn)”來(lái)刻畫(huà)“分?jǐn)?shù)”。

三、結(jié)論

根據(jù)上述分析可以看出，我們對(duì)分?jǐn)?shù)的理解可以從多個(gè)角度，借助多個(gè)直觀模型，其抽象水平越來(lái)越高，因此在分?jǐn)?shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要注意：

1.提供多樣的模型

提供多種不同的“實(shí)物模型”，在“分割”中使兒童逐步體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的解釋的多樣性與表示法的多樣性。

2.把握抽象水平

精心設(shè)計(jì)，精心控制，逐步提升學(xué)生在抽象的水平上理解分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的每一種解釋都與某一種特殊的認(rèn)知有關(guān)，如果忽略了其中某一必要的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可能導(dǎo)致學(xué)生缺乏關(guān)于分?jǐn)?shù)某些方面的理解。有的學(xué)生可能對(duì)于日常生活中分?jǐn)?shù)的某些應(yīng)用有很好的理解，但換一種情境就感到困難。例如，一方面他們能把3米長(zhǎng)的木條等分成5段，并取其中的三段，每段為60厘米。但他們卻不理解：3÷5=0.6。

3.學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的抽象理解過(guò)早或過(guò)晚都不利于學(xué)生的發(fā)展

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的不同理解存在顯著的個(gè)體差異，有些學(xué)生很早就能在抽象水平上理解分?jǐn)?shù)，而另一些則需要等待很長(zhǎng)的時(shí)間。

為此，一開(kāi)始就要利用不同的實(shí)物模型，從平均分中幫助學(xué)生體驗(yàn)分?jǐn)?shù)含義的多重性，體驗(yàn)分?jǐn)?shù)含義的復(fù)雜性。

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