陳 銘， 王立社

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院， 浙江 湖州 313000)

Fuzzy測(cè)度差的偽零可加與偽自連續(xù)性

陳 銘， 王立社

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院， 浙江 湖州 313000)

運(yùn)用Fuzzy測(cè)度的概念，引入模糊測(cè)度差μ=μ1-μ2，在一定條件下證明μ仍是Fuzzy測(cè)度,并討論Fuzzy測(cè)度差的偽零可加性以及偽下自連續(xù)性,最后探討Fuzzy測(cè)度差的一致偽自連續(xù)性.

Fuzzy測(cè)度; Fuzzy測(cè)度的差; 偽零可加; 偽自連續(xù); 一致偽自連續(xù)

MSC2010:94D05

1 基本知識(shí)

定義1.1[1-2]設(shè)X是一個(gè)非空集合,F是X上的σ-代數(shù),一個(gè)非負(fù)廣義實(shí)值集函數(shù)μ：F→[0,+∞]滿(mǎn)足以下條件：

(1)μ(?)=0；

(2)A?B?μ(A)≤μ(B)；

則稱(chēng)μ是一個(gè)Fuzzy測(cè)度,并稱(chēng)(X,F,μ)是一個(gè)Fuzzy測(cè)度空間.

定義1.2[3]對(duì)任意A∈F，μ(A)<∞,μ稱(chēng)為偽零可加的，如果對(duì)任意B∈A∩F，C∈A∩F,且μ(A-B)=μ(A),有：

μ(B∪C)=μ(C).

定義1.3[4]對(duì)任意A∈F,μ(A)<,μ稱(chēng)為偽上自連續(xù)的,如果

?{Bn}?F,μ(Bn∩A)→μ(A),

則?C∈A∩F,有:

μ((A-Bn)∪C)→μ(C).

定義1.4[5]對(duì)任意A∈F,μ(A)<,μ稱(chēng)為偽下自連續(xù)的,如果

?{Bn}?F,μ(Bn∩A)→μ(A),

則?C∈A∩F,有:

μ(Bn∩C)→μ(C).

如果μ既是偽上自連續(xù)的,又是偽下自連續(xù)的,則稱(chēng)μ是偽自連續(xù)的.

定義1.5[6-7]對(duì)任意?A∈F,B∈A∩F,C∈A∩F,稱(chēng)μ是一致偽自連續(xù)的，如果對(duì)任意ε>0，存在δ=δ(ε)>0，當(dāng)μ(A)≤μ(B)+δ時(shí)，有:

μ(C)≤μ(C∩B)+ε.

2 Fuzzy測(cè)度差

定理2.1 設(shè)μ1,μ2均為F上的有窮Fuzzy測(cè)度且?A,B∈F，且滿(mǎn)足B?A時(shí)，有：

μ2(A)-μ2(B)≤μ1(A)-μ1(B)，

令μ=μ1-μ2，其中:

?E∈F,μ(E)=μ1(E)-μ2(E)，

則μ是一個(gè)Fuzzy測(cè)度.

證明

(1)μ(?)=μ1(?)-μ2(?)=0；

(2)B?A，由條件μ2(A)-μ2(B)≤μ1(A)-μ1(B)，有：

μ1(B)-μ2(B)≤μ1(A)-μ2(A)，

即μ(B)≤μ(A)；

(3)B1?B2?…,Bn∈F，注意到μ1，μ2均為有窮Fuzzy測(cè)度，則有：

(4)B1?B2?…,Bn∈F，注意到μ1,μ2均為有窮測(cè)度，則有:

定義2.2 滿(mǎn)足定理2.1條件的Fuzzy測(cè)度μ=μ1-μ2稱(chēng)為Fuzzy測(cè)度μ1與μ2的差.

3 Fuzzy測(cè)度差的性質(zhì)

定理3.1 如果Fuzzy測(cè)度μ1，μ2都是偽零可加的,則Fuzzy測(cè)度差μ=μ1-μ2也是偽零可加的.

證明?A∈F,B∈A∩F,C∈A∩F，因?yàn)棣?，μ2都是偽零可加的，所以當(dāng)

μ1(A-B)=μ1(A)，μ2(A-B)=μ2(A)

時(shí)，有：

μ(A-B)=μ1(A-B)-μ2(A-B)=μ1(A)-μ2(A)=μ(A).

再由

μ1(B∪C)=μ1(C),μ2(B∪C)=μ2C,

得:

μ(B∪C)=μ1(B∪C)-μ2(B∪C)=μ1(C)-μ2(C)=μ(C).

根據(jù)定義1.2得，μ=μ1-μ2是偽零可加的[8].

定理3.2 如果Fuzzy測(cè)度μ1，μ2都是偽上自連續(xù)的，則Fuzzy測(cè)度差μ=μ1-μ2也是偽上自連續(xù)的.

證明對(duì)任意A∈F，?{Bn}?F，?C∈A∩F,因?yàn)棣?，μ2都是偽上自連續(xù)的，所以當(dāng)

μ1(Bn∩A)→μ1(A),μ2(Bn∩A)→μ2(A)

時(shí)，其中μ1(A)<∞，μ2(A)<∞,有:

μ(Bn∩C)=μ1(Bn∩A)-μ2(Bn∩A)→μ1(A)-μ2(A)=μ(A).

又由

μ1((A-Bn)∪C)→μ1(C),μ2((A-Bn)∪C)→μ2(C),

得:

μ((A-Bn)∪C)=μ1((A-Bn)∪C)-μ2((A-Bn)∪C)→μ1(C)-μ2(C)=μ(C).

根據(jù)定義1.3知，μ=μ1-μ2是偽上自連續(xù)的.

定理3.3 如果Fuzzy測(cè)度μ1，μ2都是偽下自連續(xù)的，則Fuzzy測(cè)度μ=μ1-μ2也是偽下自連續(xù)的.

證明對(duì)任意A∈F，?{Bn}?F,?C∈A∩F,因?yàn)棣?，μ2都是偽下自連續(xù)的，所以當(dāng)

μ1(Bn∩A)→μ1(A),μ2(Bn∩A)→μ2(A)

時(shí)，其中μ1(A)<∞，μ2(A)<∞,有:

μ(Bn∩A)=μ1(Bn∩A)-μ2(Bn∩A)→μ1(A)-μ2(A)=μ(A).

又由

μ1((A-Bn)∪C)→μ1(C),μ2((A-Bn)∪C)→μ2(C),

得:

μ(Bn∩C)=μ1(Bn∩C)-μ2(Bn∩C)→μ1(C)-μ2(C)=μ(C).

根據(jù)定義1.4知，μ=μ1-μ2是偽下自連續(xù)的.

定理3.4 如果Fuzzy測(cè)度μ1，μ2都是一致偽自連續(xù)的，則Fuzzy測(cè)度差μ=μ1-μ2也是一致偽自連續(xù)的.

證明對(duì)任意?A∈F,B∈A∩F,C∈A∩F，因?yàn)棣?，μ2都是一致偽自連續(xù)的，所以對(duì)任意ε1,ε2>0時(shí)，存在δ1=δ1(ε1)>0,δ2=δ2(ε2)>0,當(dāng)

μ1(A)≤μ1(B)+δ1,μ2(A)≤μ2(B)+δ2

時(shí)，有:

μ1(C)≤μ1(C∩B)+ε1,μ2(C)≤μ2(C∩B)+ε2,

而

μ(A)=μ1(A)-μ2(A)≤μ1(B)+δ1-μ1(B)=μ(B)+δ1,

取δ=δ1,則當(dāng)μ(A)≤μ(B)+δ時(shí),有:

μ(C)=μ1(C)-μ2(C)≤μ1(C∩B)+ε1-μ2(C∩B)=μ(C∩B)+ε1.

由于ε1是任取的,由定義1.5知Fuzzy測(cè)度差μ=μ1-μ2是一致偽自連續(xù)的.

[1] LIU Y K,ZHANG G Q.On the completeness of fuzzy measure-space[J].Elsevier North-Holland Inc,1999,102(2):345-351.

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MSC2010:94D05

FuzzyMeasureDifference'sPseudo-null-additivityandPseudo-autocontinuity

CHEN Ming, WANG Lishe

(School of Science, Huzhou University, Huzhou 313000, China)

This paper introduces the fuzzy measure differenceμ=μ1-μ2and proves thatμis still fuzzy measure in certain conditions. Then the pseudo-null-addictive, pseudo-auto-continuity and the uniform pseudo-auto-continuity of the fuzzy measure differenceμare investigated.

fuzzy measure; difference of fuzzy measures; pseudo-null-addictive; pseudo-autocontinuity; uniform pseudo-auto-continuit

2017-06-05

王立社，教授，研究方向:模糊數(shù)學(xué).E-mail：wls12@zjhu.edu.cn

O159

A

1009-1734(2017)08-0006-03

[責(zé)任編輯高俊娥]