徐章耀

【摘要】新形勢(shì)下水庫(kù)在灌溉、供水等調(diào)度中，水庫(kù)的經(jīng)濟(jì)效益呈現(xiàn)出不同的特征。隨著供水量的增加，“邊際效用遞減”為水庫(kù)經(jīng)濟(jì)效益的主要特征。為了獲得兩階段水庫(kù)調(diào)度中本時(shí)段泄水量、下一時(shí)段余留水量與最初水庫(kù)蓄水量間的單調(diào)增加關(guān)系，本文主要采用“邊際效應(yīng)遞減”的假設(shè)進(jìn)行分析。根據(jù)這一單調(diào)關(guān)系，進(jìn)一步推廣到多階段水庫(kù)調(diào)度過(guò)程中，最終提出動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的改進(jìn)，主要包括鄰域搜索算法和搜索域縮減算法。在新形勢(shì)下水庫(kù)供水調(diào)度研究案例中，兩種動(dòng)態(tài)規(guī)劃的改進(jìn)算法能夠明顯地縮短規(guī)劃計(jì)算時(shí)間。

【關(guān)鍵詞】水庫(kù)調(diào)度決策；邊際效用遞減；單調(diào)性；動(dòng)態(tài)規(guī)劃改進(jìn)算法

1、研究背景

我國(guó)是一個(gè)水資源相當(dāng)匱乏的國(guó)家，水資源的分布在時(shí)空上也不同，呈現(xiàn)出汛多枯少，南多北少的特點(diǎn)。以至于在各地出現(xiàn)水資源的利用率不足，浪費(fèi)現(xiàn)象嚴(yán)重的現(xiàn)象。水庫(kù)的修建在一定程度上改變了這種現(xiàn)象，并能減少洪澇災(zāi)害，有效地利用水資源。同時(shí)，水庫(kù)調(diào)度的重要性也顯現(xiàn)了出來(lái)，水庫(kù)調(diào)度即對(duì)水庫(kù)的控制運(yùn)用，通過(guò)合理的調(diào)度控制，應(yīng)用有效的調(diào)度決策，達(dá)到興利效益的一種技術(shù)措施。通過(guò)對(duì)水庫(kù)調(diào)度的改進(jìn)，可以提升水庫(kù)的水資源利用效率。

2、邊際效用遞減與調(diào)度決策單調(diào)性

水庫(kù)調(diào)度問(wèn)題采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行求解的基本思路是多階段水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題，主要考慮到它可以簡(jiǎn)化為一系列兩階段優(yōu)化問(wèn)題，并且這些優(yōu)化問(wèn)題有遞歸方程相互聯(lián)系。為了更清晰的研究，我們將動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞歸方程用相應(yīng)的變量予以表示，其中，F(xiàn)t（）表示為時(shí)段T至t的最大累計(jì)效用函數(shù)，ft（）表示時(shí)段t的水庫(kù)效用函數(shù)；將st看作水庫(kù)調(diào)度狀態(tài)變量，相應(yīng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞歸方程用以下公式表示：

其中：表示在時(shí)段t初的水庫(kù)蓄水量（也即時(shí)段t-1末的水庫(kù)蓄水量）；表示在時(shí)段t內(nèi)的進(jìn)入水庫(kù)的入水量；表示在時(shí)段t內(nèi)水庫(kù)的泄水量。

相應(yīng)地，用水量平衡方程可以表示、與剩余留水量之間的關(guān)系：

水庫(kù)效用函數(shù)的凹凸性不同，決定了優(yōu)化模型的不同性質(zhì)。其中，當(dāng)ft（）表現(xiàn)為凹函數(shù)時(shí)，在公式（2）所表示的兩階段優(yōu)化模型呈現(xiàn)凹性和單調(diào)性?xún)蓚€(gè)重要性質(zhì)，對(duì)于凹性，即最大累積效用函數(shù)Ft（）也表現(xiàn)為凹函數(shù)，對(duì)于單調(diào)性，發(fā)生在時(shí)段t內(nèi)的最優(yōu)泄水量以及在時(shí)段t+1的最優(yōu)余留水量都與時(shí)段t出的水庫(kù)蓄水量呈現(xiàn)出單調(diào)非減關(guān)系。其中，可以根據(jù)定理1推出其凹凸性，根據(jù)定理1和定理2推導(dǎo)出單調(diào)性。

定理1：設(shè)定兩個(gè)凹函數(shù)即和，定義為

則稱(chēng)為凹函數(shù)。

定理2：設(shè)定兩個(gè)凹函數(shù)即和，定義為

則和x呈現(xiàn)單調(diào)增加的關(guān)系。

根據(jù)定理2可以說(shuō)明，在總資源x增加的情況下，若想取得最大值，即分配方案達(dá)到最優(yōu)，必須保證分配給和的資源量都將得到增加。在水庫(kù)的調(diào)度中，可將公式（3）中的看作為x（式5），對(duì)于公式（2）中的假設(shè)其為凹函數(shù)，又由定理1中知也為凹函數(shù)，再考慮定理2可得，在水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度中，本時(shí)段的用水量和下一時(shí)段的余留水量將隨著水庫(kù)蓄水量的增加而逐漸增加。對(duì)于效用函數(shù)為線性函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù)的情況都可以應(yīng)用于定理1中，在定理2推導(dǎo)得出結(jié)論的過(guò)程中，由于忽略了水庫(kù)調(diào)度中庫(kù)容量以及下泄水量的約束條件，因此考慮兩個(gè)約束條件，即：（1）在以及都不起約束作用的情況下，增加，相應(yīng)的本時(shí)段的用水量和下一時(shí)段的余留水量也隨之增大；（2）在和其中任意一個(gè)起約束作用時(shí)，增加不能改變其對(duì)應(yīng)的決策變量，但是另一個(gè)決策變量將會(huì)增長(zhǎng)；（3）當(dāng)這兩個(gè)約束都起作用時(shí)，模型（2）將會(huì)隨著的增加而沒(méi)有可行解。

3、基于調(diào)度決策單調(diào)性的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法改進(jìn)

3.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法及其改進(jìn)。通過(guò)對(duì)定理1和定理2的闡述，即可以確定在水庫(kù)調(diào)度過(guò)程中，時(shí)段初的水庫(kù)蓄水量與發(fā)生在時(shí)段初的最優(yōu)下泄水量、時(shí)段末的最優(yōu)余留水量存在的單調(diào)關(guān)系。相應(yīng)的在供應(yīng)鏈管理中，為了提高優(yōu)化算法的效率，常將這樣的單調(diào)關(guān)系應(yīng)用于縮減搜索域算法中；但在水庫(kù)的調(diào)度當(dāng)中，優(yōu)化解的單調(diào)性并沒(méi)有被考慮在動(dòng)態(tài)規(guī)劃的算法中。因此我們做出以下假設(shè)，將分離為個(gè)取值，被分離為個(gè)取值，我們需要對(duì)剩余留水量的個(gè)離散值進(jìn)行比較選取其中最大的，進(jìn)而確定出每個(gè)離散值所對(duì)應(yīng)的最大累積效用函數(shù)，如圖1（a）所示。

當(dāng)單時(shí)段效用函數(shù)表現(xiàn)為凹函數(shù)時(shí)，利用單調(diào)性條件，可以將動(dòng)態(tài)規(guī)劃進(jìn)行簡(jiǎn)化，即將以經(jīng)得到的優(yōu)化解信息設(shè)計(jì)出兩種策略進(jìn)而的得到簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃的計(jì)算。策略1，僅基于時(shí)段t初水庫(kù)蓄水量與時(shí)段t+1最優(yōu)余留水量間的單調(diào)關(guān)系，若滿足s1

3.2 在考慮策略1為基礎(chǔ)的情況下設(shè)計(jì)搜索域縮減算法，具體如圖3所示：第一步，通過(guò)將時(shí)段t水庫(kù)蓄水量離散成個(gè)取值，且取值的間隔相等，然后將其進(jìn)行從小到大依次排序，由1到進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)離散時(shí)刻t+1時(shí)段的書(shū)庫(kù)蓄水量為個(gè)取值，其間隔等于，并由1到進(jìn)行依次排序標(biāo)記；第二步，使q=1，q=，該設(shè)定在初始階段進(jìn)行；第三步，考慮剩余在q和q間的最小最大離散值，并在其中搜索出最優(yōu)余留水量，然后用其更新q和q；第四步，重復(fù)進(jìn)行第三步，當(dāng)個(gè)的離散值被搜索到后即可終止。

如圖2（a）所示，根據(jù)單調(diào)性原理，可以清晰的理解其提高動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的計(jì)算效率，即在第三步的反復(fù)計(jì)算中，搜索范圍隨著q的增加以及q的減小而逐漸縮小，最終提升其計(jì)算效率，進(jìn)而改進(jìn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。

3.3 在考慮策略2為基礎(chǔ)的情況下設(shè)計(jì)鄰域搜索算法，具體如圖4所示：第一步，令k=1，即的最小值，然后在q=[1，]范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，找出最優(yōu)值；第二步，令k=k+1，將q=、進(jìn)行比較，找出最優(yōu)值并更新；第三步，將第二步反復(fù)進(jìn)行，直到k=時(shí)結(jié)束。將圖1和圖2進(jìn)行對(duì)比，假設(shè)n==，并在動(dòng)態(tài)規(guī)劃中將公式計(jì)算次，以便確定出的值，對(duì)應(yīng)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的計(jì)算量，搜索域縮減法的計(jì)算量是其的一半，即n+（n-1）+…+1=，鄰域搜索域算法大約是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的3/n，即為n+2（n-1）=3n-2。

4、結(jié)語(yǔ)

在求解水庫(kù)調(diào)度問(wèn)題時(shí)，引入動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法簡(jiǎn)化問(wèn)題，其主要原理是將多階段調(diào)度決策簡(jiǎn)化處理為一系列的兩階段決策，再由遞歸方程進(jìn)行相互聯(lián)系，從而又將兩階段決策聯(lián)系組成為多階段決策。本文在求解水庫(kù)調(diào)度邊際效用遞減問(wèn)題時(shí)，正是以?xún)呻A段優(yōu)化為主要框架進(jìn)行討論，進(jìn)而確定時(shí)段初水庫(kù)蓄水量與最優(yōu)泄水量、最優(yōu)余流水量之間的單調(diào)關(guān)系，以此為基礎(chǔ)提出了鄰域搜索算法和搜索域縮減算法來(lái)改進(jìn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。在實(shí)際供水調(diào)度研究案例中，利用這兩種算法均可以搜索最終得到優(yōu)化解，在減少計(jì)算時(shí)間的作用上顯著提高。

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