王德榮,蘇 杭,程怡豪,馮淑芳

(1.中國人民解放軍陸軍工程大學(xué)爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點(diǎn)實驗室，江蘇 南京 210007; 2.北部戰(zhàn)區(qū)陸軍第二工程科研設(shè)計所，遼寧 沈陽 110162)

運(yùn)用極限荷載法研究鋼筋混凝土板低速侵徹效應(yīng)*

王德榮1,蘇 杭1,程怡豪1,馮淑芳2

(1.中國人民解放軍陸軍工程大學(xué)爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點(diǎn)實驗室，江蘇 南京 210007; 2.北部戰(zhàn)區(qū)陸軍第二工程科研設(shè)計所，遼寧 沈陽 110162)

基于不可壓縮剛塑性材料模型和滑移線場理論，獲得了單一容許速度場條件下剛性彈低速侵徹半無限介質(zhì)的阻力函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，基于多速度容許場得到了剛性彈侵徹有限厚度靶的三階段阻力曲線，并提出了震塌與貫穿的臨界條件，通過與實驗結(jié)果、UMIST公式及古比雪夫的對比，驗證了本文方法在鋼筋混凝土板低速撞擊問題中的適用性，分析了彈頭形狀、沖擊因子和鋼筋阻力系數(shù)等參數(shù)對臨界震塌(貫穿)厚度的影響。

剛塑性極限分析；低速侵徹；混凝土；震塌；貫穿

研究撞擊和侵徹問題時，需要確定物體間的相互作用力，其中極限荷載法是研究低速侵徹阻力的重要方法。R.Hill[1]、M.Ravid等[2]、A.Amini等[3]、J.Tirosh等[4]、陳士林等[5]、王明洋等[6]、馮淑芳等[7]、咸玉席等[8]均開展過這方面的研究，利用剛塑性不可壓縮介質(zhì)模型，用基于機(jī)動容許速度場的極限分析法的上限定理求解了彈體低速侵徹的阻力上限。一般認(rèn)為低速撞擊條件下結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)的貢獻(xiàn)顯著，但Q.M.Li等[9]的研究顯示，當(dāng)結(jié)構(gòu)厚度為沖擊體直徑2倍以上時仍以局部效應(yīng)為主。

本文中，主要考慮平頭彈和錐形頭彈兩種彈頭形式，假設(shè)混凝土介質(zhì)滿足剛塑性、不可壓縮性和彈靶間無摩擦假定，將極限震塌(貫穿)厚度計算公式進(jìn)行簡化，通過與Y.S.Tai[10]和A.N.Dancygier等[11-12]實驗結(jié)果及UMIST公式、古比雪夫公式的對比和參數(shù)分析來驗證公式的可靠性，分析沖擊因子、鋼筋阻力系數(shù)和彈頭形狀之間的關(guān)系。

1 低速撞擊條件下半無限介質(zhì)阻力的上限解

先考慮錐角2β、直徑2a的剛性彈體以單位初速度v0侵徹半無限靶的情形。彈體頭部尚未完全沒入靶體的情形，已經(jīng)由R.Hill[1]和L.M.卡恰諾夫[13]進(jìn)行了分析，這里主要考慮彈頭已經(jīng)完全沒入靶體之后的過程。

如圖1所示，BB′=2a=d，∠BAB′=2β，彈體變截面點(diǎn)至靶體初始自由面的距離為y。假定的速度場如下：(1)剛體ABC以速度v1沿著AC運(yùn)動，且令∠BAC=π/4，∠ACB=γ；運(yùn)動至BC后，改變方向沿著弧CD運(yùn)動，而v1在B處分解為v2和v3。(2)在圓心角為β而半徑為z的扇形CBD中，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡沿著弧CD且都具有速度v3；運(yùn)動至BD后，剛體BDEF則以速度v4沿著DE運(yùn)動，且BD⊥DE，v3=v4，∠DEG=δ。ABC和BDEF均為剛性，因而能量全部耗散在各區(qū)域的相互錯動和扇形CBD的內(nèi)變形上，據(jù)此得到上限阻力：

(1)

(2)

(3)

將式(2)～(3)代入式(1)，得：

(4)

(5)

當(dāng)頂角為90°(β=π/4)，此時：

(6a)

咸玉席等[8]根據(jù)實驗結(jié)果，假定平頭彈侵徹過程中彈頭前部存在一個頂角90°的剛性死區(qū)，從而將平頭彈的侵徹問題轉(zhuǎn)化為頂角90°的錐形彈侵徹問題，其中靜阻力項表達(dá)式(忽略重力)為：

(6b)

2 低速撞擊條件下混凝土板的臨界震塌和貫穿條件

采用與構(gòu)造半無限靶速度場相似的方法，馮淑芳等[7]利用構(gòu)造容許速度場的方法，得到不同條件下的阻力上限曲線(見圖3)，曲線1、2、3分別對應(yīng)無限厚度、有限厚度第一速度場和有限厚度第二速度場。點(diǎn)A1處彈體同時滿足半無限靶和震塌條件下的速度場；點(diǎn)B1處彈體同時滿足震塌和貫穿條件下的速度場。由于各個速度場所對應(yīng)的阻力均為真實阻力的上限值，可在各個交點(diǎn)所劃分的區(qū)域內(nèi)的阻力上限值通過比較，取到O→A1→B1→F1(見圖3中實線)。沿著O→A1→B1→F1，即表征了侵徹阻力上限隨著侵徹深度變化和背部自由面參與侵徹過程而變化的過程。

對于平頭彈，在板厚和彈體直徑之比滿足一定條件時，則會出現(xiàn)圖3(b)中的情形，即曲線1整個位于曲線2和3上面，使A1實際上不存在，侵徹阻力曲線為O→B1→F1，這意味著開始時靶體背部的自由面效應(yīng)(震塌)就影響著侵徹過程，直至在B1貫穿發(fā)生。計算表明，這個現(xiàn)象發(fā)生的條件為[14]：L/2a≤1.82，其中L為靶板厚度。結(jié)合文獻(xiàn)[7]，進(jìn)一步得到有限厚度板在平頭和錐形兩種彈頭局部沖擊下的臨界震塌與貫穿厚度計算公式。

對平頭彈，有：

(7)

對錐形彈，有：

(8)

式中：hs和hp分別為臨界震塌厚度和臨界貫穿厚度，I為沖擊因子，μ為量綱一的鋼筋抗力系數(shù)。I和μ的表達(dá)式分別為：

式中：Mp為彈體質(zhì)量，fs為鋼筋的抗拉強(qiáng)度，As為直徑dr的鋼筋截面積，s為平行鋼筋的軸線間距，τs為混凝土的抗剪強(qiáng)度。

本文計算結(jié)果與文獻(xiàn)[10-12]的比較見表1～3。由于震塌的臨界狀態(tài)很難判斷，這里只比較臨界貫穿速度，即彈道極限vBL。在文獻(xiàn)[10]中：Mp= 0.3 kg，2a=25 mm，L=50 mm。在普通混凝土侵徹實驗[11]中：Mp= 120 g，2a=25 mm，β=20°，采用兩種厚度的混凝土靶(L=5 cm和L=6 cm)。在高性能混凝土侵徹實驗[12]中：Mp=1.5 kg，2a=25 mm，β=20°，L=0.2 m。其他參數(shù)(混凝土軸壓強(qiáng)度fc、混凝土抗拉強(qiáng)度ft、混凝土抗剪強(qiáng)度τs、鋼筋抗拉強(qiáng)度fs、配筋情況、與彈道極限對應(yīng)的沖擊因子IBL、鋼筋抗力系數(shù)μ等)和vBL的實驗結(jié)果和預(yù)測結(jié)果見表1～3。

低速撞擊下混凝土介質(zhì)中靜水壓水平較低，因此將τs近似地取為Mohr-Coulomb準(zhǔn)則下的黏聚力c，并采用以下公式[15]：

(9)

對于未給出ft的情況，將ft近似取為0.1fc。從表1～3可見，本文中對T1～4和D-1-3～4的預(yù)測較準(zhǔn)確，對D-2-1～8 的彈道極限的預(yù)測稍有低估，但誤差在20%之內(nèi)，誤差較大的情況主要體現(xiàn)在D-1-1～3，這可能與鋼筋作用機(jī)理的復(fù)雜性有關(guān)。

表1 本文計算結(jié)果與實驗[10]的比較Table 1 Comparison between experimental results[10] and present method

表2 本文計算結(jié)果與普通混凝土實驗[11]的比較Table 2 Comparison between experimental results [11] of normal strength concrete and present method

表3 本文計算結(jié)果與高性能混凝土實驗[12]的比較Table 3 Comparison between experimental results [12] of high performance concrete and present method

為了進(jìn)一步評價本文計算方法的預(yù)測效果，圖4還給出了式(7)～(8)與UMIST公式[16]和古比雪夫公式[7]關(guān)于臨界震塌貫穿速度的對比結(jié)果。其中fc=25 MPa，Mp=500 kg，2a=400 mm。通過比較發(fā)現(xiàn)：(1)對于素混凝土而言(圖4(a)～(b))，本文中對臨界速度的預(yù)測總體上稍高于UMIST公式和古比雪夫公式，而古比雪夫公式稍高于UMIST公式；(2)當(dāng)考慮鋼筋((圖4(c)～(d))時，配布fs=300 MPa的?20 mm@100 mm鋼筋)，本文的預(yù)測數(shù)值要顯著高于UMIST公式。這在很大程度上歸因于，本文中建議的鋼筋阻力系數(shù)μ既考慮了fs的影響又考慮了dr和s的影響，而UMIST公式在形式上只考慮了dr和s的影響。

綜上，對于素混凝土而言，式(7)～(8)和實驗結(jié)果及經(jīng)典公式的吻合程度較高；當(dāng)考慮鋼筋時，式(7)～(8)與實驗結(jié)果及UMIST公式的吻合程度下降。由于鋼筋混凝土材料的復(fù)雜性，鋼筋阻力的作用模式可能不是單一的，它對侵徹阻力的貢獻(xiàn)仍需要開展更多研究。

為了進(jìn)一步觀察因子I和μ的影響，分別繪制兩種彈頭形式下hs/2a和hp/2a相對I和μ的參數(shù)曲線。在圖5(a)中，μ=0.2，I=10～50；在圖5(b)中，I=30，μ=0～1.0。結(jié)果顯示：(1)在上述參數(shù)范圍內(nèi)，hs/2a和hp/2a分別伴隨著I和μ的增加而單調(diào)遞增和單調(diào)減小；(2)在相同參數(shù)條件下，錐形彈的hs/2a和hp/2a大體高于平頭彈，但hp/2a的差值較小；(3)當(dāng)沖擊因子較小而鋼筋阻力系數(shù)較大時，還可能出現(xiàn)錐形彈的臨界貫穿厚度小于平頭彈的情況，這和平頭彈條件下的動力沖塞規(guī)律基本符合。

可見，式(7)～(8)基本正確地反映了薄板低速侵徹下的主要規(guī)律，也把握了控制震塌和貫穿的關(guān)鍵因素。

3 結(jié) 論

利用極限分析理論和滑移線場理論，獲得了錐形頭彈和平頭彈低速侵徹混凝土靶和鋼筋混凝土靶的阻力上限計算方法。結(jié)果表明，低速撞擊條件下混凝土板的歸一化臨界震塌與貫穿厚度可以歸結(jié)為沖擊因子、鋼筋抗力系數(shù)和彈頭形狀等3個量綱一參數(shù)的函數(shù)。當(dāng)不考慮鋼筋時，理論方法與實驗結(jié)果、UMIST公式、古比雪夫公式的結(jié)果吻合較好；當(dāng)考慮鋼筋時，吻合程度下降，這可能與侵徹過程中彈體-混凝土-鋼筋三者相互作用的復(fù)雜性有關(guān)。但從參數(shù)分析的結(jié)果看，本文方法基本正確地歸納了控制震塌和貫穿機(jī)制的量綱一參數(shù)，可以為進(jìn)一步的實驗研究提供參考。

[1] Hill R. The mathematical theory of plasticity[M]. Oxford: Clarendon Press, 1950.

[2] Ravid M, Bodner S R. Dynamic perforation of visco-plastic plates by rigid projectiles[J]. International Journal of Engineering Science, 1983,21(6):577-591.

[3] Amini A, Anderson J. Modeling of projectile penetration into geologic targets based on energy tracking and momentum impulse principles[C]∥Proceedings of the Sixth International Symposium on Interaction of Nonnuclear Munitions with Structures. Germany, 1993.

[4] Tirosh J, Tylis A, Davidi G. Foreign object damage: Penetration of rigid projectiles into solids[J]. Mechanics of Materials, 2009,41(5):535-544.

[5] 陳士林,王明洋,潘越峰.錐形端部彈體在巖石(混凝土)介質(zhì)層中侵徹實用計算方法[J].爆炸與沖擊,2004,24(1):7-15.

Chen Shilin, Wang Mingyang, Pan Yuefeng. The method of calculation for penetration of conical nosed projectile in rock (concrete) layers[J]. Explosion and Shock Waves, 2004,24(1):7-15.

[6] 王明洋,施翠英,陳士林.事故型撞擊混凝土板的臨界震塌與貫穿厚度計算方法[J].工程力學(xué),2009,26(11):238-246.

Wang Mingyang, Shi Cuiying, Chen Shilin. Method of calculating critical spalling and penetration thickness of concrete slab of block under accident impact[J]. Engineering Mechanics, 2009,26(11):238-246.

[7] 馮淑芳,王明洋,任廣昊,等.深地下坑道襯砌結(jié)構(gòu)抗局部沖擊計算方法研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2011,30(6):1150-1156.

Feng Shufang, Wang Mingyang, Ren Guanghao, et al. Research on calculation method for local impact of deep tunnel lining structure[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011,30(6):1150-1156.

[8] 咸玉席,文鶴鳴.平頭彈侵徹半無限混凝土靶的工程模型[J].防護(hù)工程,2012,34(2):35-38.

Xian Yuxi, Wen Heming. An engineering model for the penetration of flat-nosed projectiles into semi-infinite concrete targets[J]. Protective Engineering, 2012,34(2):35-38.

[9] Li Q M, Ye Z Q, Ma G W, et al. Influence of overall structural response on perforation of concrete targets[J]. International Journal of Impact Engineering, 2007,34(5):926-941.

[10] Tai Y S. Flat ended projectile penetrating ultra-high strength concrete plate target[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2009,51(2):117-128.

[11] Dancygier A N. Effect of reinforcement ratio on the resistance of reinforced concrete to hard projectile impact[J]. Nuclear Engineering and Design, 1997,172(1):233-245.

[12] Dancygier A N, Yankelevsky D Z, Jaegermann C. Response of high performance concrete plates to impact of non-deforming projectiles[J]. International Journal of Impact Engineering, 2007,34(11):1768-1779.

[13] 卡恰諾夫 L M.塑性理論基礎(chǔ)(第二版)[M].周承倜,譯.北京:人民教育出版社,1982:332-385.

[14] 馮淑芳.深埋地下結(jié)構(gòu)抗爆動力計算方法研究[D].南京:解放軍理工大學(xué),2011.

[15] 徐秉業(yè),劉信聲.應(yīng)用彈塑性力學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,1995:510-512.

[16] Wen H M, Xian Y U. A unified approach for concrete impact[J]. International Journal of Impact Engineering, 2015,77:84-96.

Abstract: Based on the incompressible-rigid-plastic material assumption and the slip line field theory, the resistance function of a rigid projectile penetrating a semi-infinite target at a low velocity was obtained with a single admissible velocity field. A three-stage resistance curve of a rigid projectile impacting on a thin target was analyzed under multiple velocity fields, where the critical conditions for scabbing or perforation were calculated. The methods and formulae for local effects on reinforced concrete slab under low-velocity impact were further verified using comparative analysis of the results from the experiments, the UMIST formulae, the Kuibyshev formulae, and the present paper’s calculations. The relationships between the normalized critical scabbing/perforation thickness, and the nose-shape factor, the impact factor and the reinforcement factor were examined to present potential guide to experimental studies.

Keywords: rigid-plasticity limit analysis; low velocity penetration; concrete; scabbing; perforation

(責(zé)任編輯 丁 峰)

Responseofreinforcedconcreteslabstolow-velocityprojectileimpactinvestigatedusingupperboundmethod

Wang Derong1, Su Hang1, Cheng Yihao1, Feng Shufang2

(1.StateKeyLaboratoryofDisasterPreventionandMitigationofExplosiveandImpact,
TheArmyEngineeringUniversityofPLA,Nanjing210007,Jiangsu,China; 2.TheSecondInstituteofEngineeringResearchandDesign,NorthernTheaterArmy,Shenyang110162,Liaoning,China)

O347國標(biāo)學(xué)科代碼1303530

A

10.11883/1001-1455(2017)05-0837-07

2016-01-11；

2016-08-08

國家自然科學(xué)基金項目(51409258);長江學(xué)者與創(chuàng)新團(tuán)隊發(fā)展計劃項目(IRT13071)

王德榮(1968— )，男，博士，副教授,wdrjb@163.com。