李立群

（山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，山東 濟(jì)南250100）

正定矩陣及其應(yīng)用

李立群

（山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，山東 濟(jì)南250100）

正定矩陣是矩陣?yán)碚撝蟹浅Ｖ匾膬?nèi)容，可以有效地解決代數(shù)問題和分析問題.本文結(jié)合二次型和正定矩陣的關(guān)系，給出了正定矩陣的性質(zhì)，通過例題闡述了判定矩陣為正定矩陣的常用方法，總結(jié)了正定矩陣在分析問題中的若干應(yīng)用。

對(duì)稱矩陣；正定矩陣；二次型

Abstract:Positive definite matrix plays a very important role in matrix theory and can be used to solve a lot of algebraic and analytic problems.Based on the relationship between positive definite matrix and quadratic form,this paper gives the necessary and sufficiency conditions of positive definite matrix.Two methods of the decision of positive definite matrix are given and illustrated by examples.Applications of positive definite matrix in analytic problems are also summarized.

Key words:Positive definite matrix；Symmetric matrix；Quadratic forms

1 引言

代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)分支，不論在實(shí)際應(yīng)用還是在數(shù)學(xué)理論的發(fā)展中，都有重要的地位.正定矩陣一直是矩陣分析領(lǐng)域非常熱門的課題，它的研究最早出現(xiàn)在 Hermite（埃米爾特）型與二次型中，正定矩陣在物理學(xué)、幾何學(xué)、概率論等學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用.為了滿足應(yīng)用矩陣的學(xué)科如數(shù)學(xué)規(guī)劃、投入產(chǎn)出的矩陣?yán)碚摗⒂?jì)算機(jī)圖像處理、現(xiàn)代控制等學(xué)科的需要，大量學(xué)者已開始致力于研究廣義的正定矩陣 （不一定是實(shí)對(duì)稱或不一定是Hermite型）[5].作為基礎(chǔ)理論的實(shí)對(duì)稱正定矩陣仍有著不可替代的作用，特別是它的判定和性質(zhì)是進(jìn)一步推廣、應(yīng)用正定矩陣?yán)碚摰墓ぞ?本文從正定矩陣的定義和性質(zhì)出發(fā)，總結(jié)了正定矩陣的判定條件和在分析問題中的應(yīng)用.

2 正定矩陣的概念與性質(zhì)

定義1[1]設(shè)

是n元實(shí)二次型（A為實(shí)對(duì)稱矩陣），如果對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù) c1，c2，L，cn都有

則稱f為正定二次型，A為正定矩陣.

下面給出正定矩陣的一些性質(zhì).

性質(zhì)1若A、B都是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且B是正定矩陣，則存在一n階實(shí)可逆矩陣P使PTAP與PTBP同時(shí)為對(duì)角形.

性質(zhì)2若A是實(shí)對(duì)稱正定矩陣，則存在a>0，b>0使

均是正定矩陣.

性質(zhì) 3 若 A 是 n 階正定矩陣，則｜A＋2E｜＞2n.

3 正定矩陣的判別方法

3.1 利用定義進(jìn)行判定

對(duì)于由已知的正定矩陣證明給定的矩陣正定的問題，應(yīng)用定義法最方便快捷.

例 1 設(shè) A=（aij）n×n，B＝（aij）n×n均是正定矩陣，則 C＝aijbij稱為 A 與 B 的 hadamard 乘積[5]，證明 C＝（aijbij）n×n也是正定矩陣.

證明顯然矩陣C是實(shí)對(duì)稱矩陣.任取X＝（x1，…xn）T≠0，由于矩陣A,B正定，所以同時(shí)有：

那么我們現(xiàn)在只需證明

由于B是正定矩陣，故存在一個(gè)可逆矩陣Q＝（qij），使得 B＝QTQ,即

所以

對(duì)任何

因?yàn)镼可逆，所以總存在一個(gè)l,使得

（因?yàn)椴环猎O(shè)x1≠0，由Q可逆知Q的第一列中必有一個(gè)元素不為零，設(shè)為q11,則x1q11≠0），又因A是正定矩陣，所以總有

所以

即 C＝（aijbij）n×n也是正定矩陣.

3.2 運(yùn)用順序主子式或主子式進(jìn)行判定

利用順序主子式判定正定矩陣的方法：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的所有順序主子式

利用主子式判定正定矩陣的方法是[8]：若A是正定矩陣，那么A的主子式全大于零。其中，主子式就是行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的子式.

解f的矩陣為

任取A的一個(gè)k級(jí)順序主子式Ak，

即A的一切順序主子式都大于零，故f為正定二次型.

4 正定矩陣在分析中的應(yīng)用

4.1 正定矩陣在凸函數(shù)判定中的應(yīng)用[9]

解 f（x）的 Hesse 矩陣

由于一階和二階順序主子式都大于零，故f（x）的Hesse矩陣正定的，從而f（x）是嚴(yán)格凸函數(shù).

4.2 正定矩陣在求解函數(shù)極值點(diǎn)中的應(yīng)用[10]

定義 2 二元函數(shù) f在點(diǎn) p0（x0，y0）取得極值點(diǎn)的充要條件，假定f二階連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)，并記

它稱為f在p0的Hesse矩陣，很顯然Hesse矩陣為對(duì)稱矩陣.

定理2（極值的充分條件）設(shè)二元函數(shù)f在點(diǎn)p0（x0，y0）的某鄰域 U（p0）內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，且 p0是 f的穩(wěn)定點(diǎn)，則當(dāng) H（p0）是正定矩陣時(shí)，f在p0點(diǎn)取得極小值；H（p0）當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)，f在 p0點(diǎn)取得極大值；當(dāng)是不定矩陣時(shí)，在點(diǎn)不取極值.

例 4 求函數(shù) f＝3axy－x3－y3（a＞0）的極值點(diǎn).

解方程組

得到f的穩(wěn)定點(diǎn)

由于

所以

因?yàn)?/p>

所以H（p0）是不定矩陣，由定理2知f在p0不取極值；由于

所以

因?yàn)?/p>

所以 H（p1）是負(fù)定矩陣，故 f在 p1取極大值，即（0，0）的極值點(diǎn)，（a，a）是 f的極大值點(diǎn).

4.3 正定矩陣與柯西不等式[11]

定義3形如

的不等式就是柯西不等式.我們將其用內(nèi)積的形式來(lái)表示

下面我們用正定矩陣來(lái)表示柯西不等式.A＝（aij）設(shè)是一個(gè) n 階正定矩陣， 則對(duì)任意向量 a＝（x1，x2，L，xn）與β＝（y1，y2，L，yn），定義

則可以證明由(2)定義的一定是n維向量間的內(nèi)積，反之，對(duì)于n維向量間的任意一種內(nèi)積，一定存在一個(gè)n階正定矩陣

使得對(duì)任何向量

（α，β）可由(2)式來(lái)定義，因此給定一個(gè)n階正定矩陣，在n維向量間就可以由該矩陣定義一個(gè)內(nèi)積，從而得到相應(yīng)的柯西不等式：

當(dāng)A＝E時(shí)，(3)就變成了(1).

5 小結(jié)

正定矩陣在矩陣?yán)碚撃酥琳麄€(gè)代數(shù)學(xué)中都有著非常重要的地位，對(duì)矩陣正定性的研究，在理論和應(yīng)用上都有意義.本文從正定矩陣的定義和性質(zhì)出發(fā)，給出了正定矩陣的兩種判定方法，總結(jié)了正定矩陣在分析中的若干應(yīng)用.

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社,2003.

[2]徐仲、陸全等.高等代數(shù)考研教案[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[3]李桂榮.高等代數(shù)的方法研究[M].香港：香港亞太經(jīng)濟(jì)出版社，2001.

[4]Horn，R.A.and Johnson，C.R，Matrix Analysis.[M].Cambridge University Press.1985.

[5]周雙.廣義正定矩陣的進(jìn)一步研究[J].北京交通大學(xué)碩士畢業(yè)論文，2011.

[6]姜國(guó).正定矩陣的判定與性質(zhì)[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006，26（1）:97-100.

[7]張奎、楊俠.正定矩陣的若干等價(jià)條件[J].阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,22(1):19-20.

[8]朱堯辰.高等代數(shù)例選通過范例學(xué)技巧[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2014.

[9]張文瑜、徐成賢、朱德通，最優(yōu)化方法[M].北京：高等教育出版社,2005.

[10]朱堯辰.高等代數(shù)范例選解[M].安徽:中國(guó)科技大學(xué)出版社,2015.

[11]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2004.

編輯：董剛

Positive Definite Matrix and Its Application

LI Liqun
（Shandong Agriculture And Engineering University，Jinan Shandong 250100）

O151.21

A

2095-7327（2017）-07-0028-07

李立群（1964-），男，山東菏澤人，山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)。