王振華，張為元，閆麗宏

(咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000)

【現(xiàn)代應(yīng)用技術(shù)研究】

嵌入式模型在周期性生長(zhǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用

王振華，張為元，閆麗宏

(咸陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000)

研究了野生小麥在發(fā)芽、成長(zhǎng)、成熟的整個(gè)過(guò)程中數(shù)量的變化規(guī)律，并利用嵌入式方法把描述短期內(nèi)連續(xù)變化的微分方程，嵌入到描述長(zhǎng)期變化的差分方程中建立了小麥數(shù)量的嵌入式模型。在模型求解過(guò)程中，把貝努利方程的解離散化，利用差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性定理，揭示了小麥數(shù)量周期性變化的規(guī)律，討論了平衡點(diǎn)趨于穩(wěn)定、分岔和混沌的條件。

嵌入式模型；周期收斂；平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

0 引言

生活中許多東西都是按一定規(guī)律呈周期變化的，比如海洋中魚(yú)的數(shù)量、再生資源的周期性收獲、周期性排放污染物對(duì)環(huán)境的影響等。本文以秦嶺中的野生小麥為例，研究了植物的周期性生長(zhǎng)問(wèn)題。由于野生小麥種子生長(zhǎng)在山中，溫度、水分、日照時(shí)間以及土壤質(zhì)量完全由環(huán)境決定，所以它們沒(méi)有優(yōu)越的生長(zhǎng)條件，一部分麥種無(wú)法長(zhǎng)出來(lái)，隨著時(shí)間的推移，一部分長(zhǎng)出來(lái)的小麥也會(huì)因?yàn)閻毫拥纳鏃l件而被淘汰，剩下的則會(huì)生產(chǎn)出新的種子。在新種子成熟的過(guò)程中，有一部分會(huì)被動(dòng)物吃掉，幸存下來(lái)的種子成熟之后會(huì)掉在土里，于是第二個(gè)周期又開(kāi)始了。

表1 模型符號(hào)說(shuō)明

在本文中我們用到嵌入式模型(模型符號(hào)見(jiàn)表1)，它把一個(gè)個(gè)短期內(nèi)描述連續(xù)變化過(guò)程的微分方程，嵌入到一個(gè)長(zhǎng)期的描述離散變化規(guī)律的差分方程中，而那些描述短期演變過(guò)程的微分方程在定性上是相同的，只是在定量上參數(shù)與初始條件有所改變，這個(gè)模型正好能描述小麥變化的全過(guò)程。嵌入式模型的一般式[1-3]為

為了把生產(chǎn)種子這個(gè)過(guò)程和種子被利用及被環(huán)境淘汰的過(guò)程分離出來(lái)，我們?cè)O(shè)n

1 嵌入式模型的建立與求解

模型1 假設(shè):(1)y(ta)與xn成正比；(2)單位時(shí)間內(nèi)y(t)減少的比例與xn成正比；(3)xn+1與y(tb)成正比。根據(jù)假設(shè)條件可以列出如下方程

y(ta)=αxn,

(1)

其中：n

y=ce-(β+θ)xnt。

令t=ta,y=y(ta), 則y(ta)=ce-(β+θ)xnta, 解得c=y(ta)e(β+θ)xnta, 從而

y(t)=y(ta)e(β+θ)xntae-(β+θ)xnt=y(ta)e(β+θ)xn(ta-t)，

(4)

從而

y(tb)=y(ta)e(β+θ)xn(ta-tb)=y(ta)e-(β+θ)xn(tb-ta)。

將(1)(4)式代入(3)式得

xn+1=γαxne-(β+θ)xn(tb-ta)。

令p=γα,q=(β+θ)(tb-ta),則

xn+1=pxne-qxn,(n=0,1,2,…)

(5)

我們用遞推的方法求方程(5)的數(shù)值解。

y(tb)=y(ta)e-(β+θ)xn(tb-ta),

q=(β+θ)(tb-ta)=ln5≈1.6。

若γ分別取0.3×10-1，0.6×10-1，0.9×10-1，1.2×10-1，1.5×10-1代入(5)式可以得到p=γα=3,6,9,12,15，將p,q,x0代入(5)式用遞推的方法可以得到xn。

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)我們可以看出，對(duì)于p=3,xn趨向穩(wěn)態(tài)值0.682，即初始值的68%；對(duì)于p=6，xn趨向穩(wěn)態(tài)值1.113，即初始值的111%；對(duì)于p=9，xn交替地趨向0.683和2.047；對(duì)于p=12和p=15,則沒(méi)有規(guī)律。

模型2 假設(shè):(1)y(tα)與xn成正比；(2)單位時(shí)間內(nèi)y(t)減少的比例與xn+θy成正比；(3)xn+1與y(tb)成正比。根據(jù)上述假設(shè)條件則可以列出如下方程

表2 小麥數(shù)量的周期變化規(guī)律

續(xù)表2

y(ta)=αxn,

(6)

再令P(t)=βxn,Q(t)=βθ, 于是當(dāng)t=ta時(shí)，

解得

(9)

將(6)式代入(9)式得到

于是

(10)

將(10)式代入(8)式得到

(11)

令p=γα，q=β(tb-ta)，則(11)式簡(jiǎn)化為

xn+1=。 (12)

我們用遞推的方法求方程(12)的數(shù)值解。

于是

-αθ+(1+αθ)eβxn(tb-ta)=10。

把α,θ代入得eq≈1.1,q≈0.1, 若γ分別取0.3×10-2，0.6×10-2，1.2×10-2，1.5×10-2，1.8×10-2，那么p=αγ=3,6,9,15,18，將p,q,x0代入(12)式可以遞推地計(jì)算出xn。

由表3中的數(shù)據(jù)可知，對(duì)于p=3，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值0.218，即初始值的21%；對(duì)于p=6，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值0.535，即初始值的53%；對(duì)于p=9，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值0.843，即初始值的84%；對(duì)于p=15，xn趨向于穩(wěn)態(tài)值1.431，即初始值的143%；對(duì)于p=18,xn趨向于穩(wěn)態(tài)值1.713，即初始值的171%。

2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析

定義1 如果對(duì)于某x0，有f(n)(x0)=x0，但對(duì)于小于n的自然數(shù)k，有f(k)(x0)≠x0，則稱x0為f的一個(gè)n倍周期點(diǎn)。[4]

定義2 如果一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的，則任意小的適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)都會(huì)使系統(tǒng)的拓?fù)浒l(fā)生突然的變化，這種變化稱為分岔。[5]

定義3 對(duì)一個(gè)確定性動(dòng)力系統(tǒng)施加確定性的輸入，則該系統(tǒng)的輸出一定是確定的，但對(duì)于非線性系統(tǒng)，則可能出現(xiàn)一種貌似隨機(jī)、無(wú)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，人們稱之為混沌?；煦绗F(xiàn)象不存在n倍周期點(diǎn)。[6]

差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的概念與微分方程的有關(guān)概念是一致的，例如:一階線性常系數(shù)差分方程[7]

xk+1+axk=b,(k=0,1, …)

(13)

可以用變量代換將方程(12)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為

xk+1+axk=0

(14)

的平衡點(diǎn)x*=0的穩(wěn)定性問(wèn)題，而對(duì)于方程(14)，因?yàn)槠浣饪杀硎緸?/p>

xk=(-a)kx0,(k=1,2,…)

(15)

所以當(dāng)且僅當(dāng)

|a|<1

(16)

時(shí)方程(14)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，從而方程(13)的平衡點(diǎn)也是穩(wěn)定的。

一階非線性差分方程

xk+1=f(xk)

(17)

的平衡點(diǎn)x*由代數(shù)方程x=f(x)解出。為分析x*的穩(wěn)定性，將方程(17)的右端在x*點(diǎn)作Taylor展開(kāi)，只取一次項(xiàng)，(17)式近似為

xk+1=f′(x*)(xk-x*)+f(x*) 。

(18)

(18)式是(17)式的近似線性方程，x*也是(18)式的平衡點(diǎn)。[8]關(guān)于線性方程(18)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的討論已由(13)-(16)式給出，而當(dāng)|f′(x*)|≠1時(shí)方程(17)與(18)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。于是當(dāng)|f′(x*)|<1時(shí)，對(duì)于(17)式，x*是穩(wěn)定的；當(dāng)|f′(x*)|>1時(shí)，對(duì)于(17)式，x*是不穩(wěn)定的。

現(xiàn)在，根據(jù)差分方程平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的定義，差分方程(5)的平衡點(diǎn)x*滿足x*=px*e-qx*, 解得

(19)

差分方程(5)的平衡點(diǎn)x*穩(wěn)定的條件為

|f′(x*)|<1，f(x*)=px*e-qx*,

|f′(x*)|=|pe-qx*+px*e-qx*(-q)|=|1-lnp|。

所以當(dāng)-1<1-lnp<1，即1e2時(shí)，x*不穩(wěn)定。由以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)xn是否穩(wěn)定只取決于p而與q無(wú)關(guān)，根據(jù)以上分析，當(dāng)p=3和p=6 時(shí)，xn最終會(huì)穩(wěn)定下來(lái)，當(dāng)p=9時(shí)，xn是2倍周期穩(wěn)定的，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象。當(dāng)p=12和p=15時(shí)，xn很難找出什么規(guī)律，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。這個(gè)結(jié)果與我們前面的數(shù)值計(jì)算結(jié)果是一致的。

為了進(jìn)一步研究p>7.389時(shí)xn的變化情況，應(yīng)該考察方程

xn+2=f(xn+1)=f(2)(xn)。

(20)

其中：f的具體形式由方程(5)給定。所以x1*，x2*是方程(20)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的必要條件為|(f(2)(x))′|x=x1*,x2*<1。即當(dāng)2<λ<2.526 5時(shí)上面條件成立。由λ=lnp知2

現(xiàn)在，我們來(lái)討論差分方程(12)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性。

解得

(21)

將(21)式代入(22)式得

3 結(jié)語(yǔ)

嵌入式模型還適用于將各個(gè)周期內(nèi)用微分方程描述的、性質(zhì)上相同的連續(xù)變化規(guī)律，嵌入到長(zhǎng)期的用差分方程描述的離散變化過(guò)程的問(wèn)題。除了生物的周期性繁殖現(xiàn)象以外，再生資源的周期性收獲，人們對(duì)周期性注入藥物的反應(yīng)、周期性排放污染物的環(huán)境變化等都可以用這種模型研究。

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社，1993：398-402.

[2] 陳蘭蓀，宋新宇，陸征一.數(shù)學(xué)生態(tài)模型與研究方法[M].北京:科學(xué)出版社，1988：180-200.

[3] 馬知恩.種族生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社，1996：27-33.

[4] 付景超.一類單種群差分模型的混沌控制[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2009，(5)：1280-1281.

[5] 張琪昌，王洪禮，竺致文.分岔與混沌理論及應(yīng)用[M].天津：天津大學(xué)出版社,2005：223-240.

[6]CanutoE,MontenegroCP，ColangeloL，etal.ComparisonofActiveDisturbanceRejectionControlandembeddedModelControl:acasestudy[C].Proceedingsofthe33rdChineseControlConference,2014：3697-3702.

[7] 周粉菊.一階線性差分方程的周期解及其符號(hào)性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010,(3)：49-50.

[8] 楊清霞.淺談差分方程的應(yīng)用[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006,(3)：282-285.

【責(zé)任編輯牛懷崗】

Abstract: This paper discusses the number change rule of wild wheat in the process of germination, growth and maturity. Furthermore, and it establishes the embedded model of wheat number by putting the differential equation, which describes a continuous change in a short term, into the discrete difference equations with a long-term variation. Finally, the stability of the equilibrium points are discussed. In the process of solving the embedded model, this paper discretizes the solution of the Bernoulli equation using the stability theorem of Equilibrium points for the difference equation, and reveals the periodic variation of wheat quantity, and also the conditions of equilibrium, bifurcation and chaos are discussed

Keywords:embedded model; periodic convergence; equilibrium points stability

TheApplicationofEmbeddedModelforCyclicalGrowthProblems

WANG Zhen-hua, ZHANG Wei-yuan, YAN Li-hong

(School of Mathematics and Information Science, Xianyang Normal University, Xianyang 712000, China)

O175.08

A

1009-5128(2017)20-0047-07

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：Cayley-Klein幾何及相應(yīng)的相似幾何中的曲線運(yùn)動(dòng)(11526174)；陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目：分布參數(shù)時(shí)滯復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步控制研究(2015JM1015)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研項(xiàng)目：基于脈沖控制的分部參數(shù)復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步分析(17JK0824)

2017-03-02

王振華(1974—)，男，陜西咸陽(yáng)人，咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，理學(xué)碩士，主要從事系統(tǒng)分析與控制研究。