王立，高崇，王小藝，劉載文

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藍藻生長時變系統(tǒng)非線性動力學分析及水華預測方法

王立，高崇，王小藝，劉載文

（北京工商大學計算機與信息工程學院，北京 100048）

為解決現(xiàn)有藍藻生長動力學模型難以有效描述實際水體中藍藻生長時變系統(tǒng)的非線性動力學特性，導致水華預測準確性不高的問題，構(gòu)建藍藻攝食和營養(yǎng)鹽循環(huán)模型，并考慮水溫、光照等主要影響因素隨時間變化對藍藻生長的影響，進一步建立藍藻生長時變系統(tǒng)非線性動力學模型，對其常值參數(shù)采用遺傳算法與數(shù)值算法結(jié)合的方法進行優(yōu)化率定，對其時變參數(shù)采用多元時序方法進行建模預測，根據(jù)分岔理論及時變系統(tǒng)理論分析水華暴發(fā)行為的非線性動力學機理，實現(xiàn)對藍藻生長時變系統(tǒng)的水華預測。通過太湖流域監(jiān)測實例表明，與現(xiàn)有研究相比，引入時變參數(shù)的藍藻生長動力學模型更能反映藍藻生長時變系統(tǒng)下水華暴發(fā)行為的非線性動力學特性，其水華預測結(jié)果更為準確。

藍藻；時變系統(tǒng)；水華；非線性動力學；預測；模型

引 言

由于我國工業(yè)化、城鎮(zhèn)化進程快速推進，導致河湖水體富營養(yǎng)化程度日益嚴重，帶來的一個突出的問題是藍藻水華的暴發(fā)[1]。大規(guī)模的藍藻水華降低了水資源利用效能，引起嚴重的生態(tài)破壞及巨大的經(jīng)濟損失，給公眾健康帶來極大隱患[2-4]，已經(jīng)成為我國水環(huán)境污染的主要問題之一。國家環(huán)境保護部發(fā)布的《水污染防治行動計劃》（簡稱“水十條”）提出“以改善水環(huán)境質(zhì)量為核心，全力保障水生態(tài)環(huán)境安全”作為國家環(huán)境保護重點工程。

在藍藻水華污染防治工作中，水華預測一直是個難點。目前的藍藻水華預測模型主要分為數(shù)據(jù)驅(qū)動模型和機理驅(qū)動模型。其中，數(shù)據(jù)驅(qū)動模型又包括人工智能模型[5-12]和數(shù)理統(tǒng)計模型[13-16]，能夠從大量數(shù)據(jù)信息中挖掘隱藏于系統(tǒng)中的內(nèi)在規(guī)律，但無法解釋藍藻的暴發(fā)性生長即水華暴發(fā)行為的本質(zhì)機理。機理驅(qū)動模型是對藍藻生長過程進行生態(tài)動力學模擬，目前已從考察單一的總磷濃度發(fā)展到模擬水體中整個磷系統(tǒng)的循環(huán)[17-19]；從單純考慮水體本身的營養(yǎng)鹽循環(huán)發(fā)展到考慮底泥和水體界面的營養(yǎng)鹽交換過程[20-22]；從對藍藻生長過程的線性動力學模擬發(fā)展到非線性動力學模擬[23-24]。

然而，現(xiàn)有機理驅(qū)動模型大多將藍藻生長動力學系統(tǒng)視為時不變系統(tǒng)[25-30]，其參數(shù)均為不隨時間變化的常值，忽略了實際水體中水溫、光照等影響因素隨時間變化對藍藻生長率和死亡率參數(shù)的影響，無法有效描述實際藍藻生長時變系統(tǒng)的非線性動力學特征，從而難以實現(xiàn)藍藻水華的準確預測。

本文將機理驅(qū)動建模與數(shù)據(jù)驅(qū)動建模方法結(jié)合，在藍藻攝食和營養(yǎng)鹽循環(huán)模型基礎上，考慮水溫和光照兩類主要影響因素的時變特性，進一步提出藍藻生長時變系統(tǒng)非線性動力學模型，采用智能優(yōu)化算法和多元時序方法確定其常值參數(shù)和時變參數(shù)，分析藍藻生長時變系統(tǒng)下水華暴發(fā)行為的分岔機理及水華暴發(fā)條件，解決藍藻水華預測問題。

1 藍藻生長時變系統(tǒng)非線性動力學建模

1.1 藍藻生長非線性動力學建模

考慮藍藻生長過程中藍藻對營養(yǎng)鹽的攝食行為和營養(yǎng)鹽的循環(huán)特性，以葉綠素a濃度表征藍藻生物量，根據(jù)Lotka-Volterra公式[21]，構(gòu)建藍藻攝食模型和營養(yǎng)鹽循環(huán)模型如下

式中，a為葉綠素a濃度，為藍藻生長率，為營養(yǎng)鹽濃度，為藍藻死亡率，0為營養(yǎng)鹽濃度初值，N為營養(yǎng)鹽吸收率，N為營養(yǎng)鹽耗損率。

在實際水體中，藍藻生長率和死亡率由水溫、光照等影響因素決定，其關(guān)系如下

式中，T()、I()分別為水溫和光照對藍藻生長率的影響函數(shù)，max為藍藻最大生長率，I為光照半飽和濃度，max為藍藻最大死亡率。

1.2 時變系統(tǒng)非線性動力學建模

式(1)中所定義的藍藻生長動力學系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)，其參數(shù)藍藻生長率和死亡率不隨時間變化，但在實際中，由于水溫和光照等影響因素隨時間變化，由這些影響因素決定的藍藻生長率和死亡率也隨時間變化，因此，實際情況中藍藻生長動力學系統(tǒng)是時變系統(tǒng)，將時變參數(shù)藍藻生長率()和藍藻死亡率()引入式(1)，構(gòu)建藍藻生長時變參數(shù)非線性動力學模型如下

其中，時變參數(shù)藍藻生長率()和藍藻死亡率()的模型為

(4)

式中，()、()分別為時刻的水溫和光照。

2 時變系統(tǒng)模型參數(shù)確定

2.1 常值參數(shù)智能優(yōu)化率定

藍藻生長時變系統(tǒng)非線性動力學模型式(3)包含兩個時變參數(shù)和眾多常值參數(shù)。對于常值參數(shù)，可采用遺傳算法進行智能優(yōu)化率定。但目前基于遺傳算法的參數(shù)率定主要針對單變量的一元微分方程，而式(3)為含有兩個變量的多元微分方程組，無法直接應用。因此，本文將遺傳算法與數(shù)值算法相結(jié)合，實現(xiàn)對式(3)的常值參數(shù)智能優(yōu)化率定，具體步驟如下。

（1）設定初始化條件及初始化種群個體。

（2）適應度值評價。建立適應度函數(shù)

式中，為適應度值，at為葉綠素真實值，a()為葉綠素函數(shù)值，N為營養(yǎng)鹽真實值，()為營養(yǎng)鹽函數(shù)值。

由于多元微分方程組式(3)的結(jié)構(gòu)復雜，無法得到a()和()的解析表達式，采用數(shù)值算法中的4階Runge-Kutta算法，其數(shù)值積分表達為

其中，參數(shù)k具體表達式如下

參數(shù)m具體表達式如下

（3）選擇、交叉、變異、重插入運算。

（4）遺傳算法終止。根據(jù)個體的適應度值不斷重復步驟（2）、步驟（3）形成新個體，當重復次數(shù)達到最大的遺傳代數(shù)或適應度函數(shù)值不大于適應度閾值時，獲得最優(yōu)參數(shù)組合。

2.2 時變參數(shù)多元時序預測

對于時變參數(shù)，其影響因素水溫()和光照()隨時間變化，則監(jiān)測數(shù)據(jù)為二元時間序列。

考慮實際水體中兩個影響因素自身的時間累積趨勢、季節(jié)的周期性變化和環(huán)境的隨機干擾，將該二元時間序列進行特征項分解如下

式中，T()、I()為趨勢項，T()、I()為周期項，T()、I()為隨機項。

對趨勢項建立二元回歸模型

式中，T()、I()為二元回歸函數(shù)。

對周期項建立二維潛周期模型

式中，Ti、Ii、Ti、Ii為幅值，Ti、Ii為角頻率。

對隨機項建立二元自回歸模型

式中，(T,T)j、(T,I)j、(I,T)j、(I,I)j為自回歸系數(shù)，T()、I()為白噪聲。

考慮兩個影響因素各特征項間的相關(guān)性，將3個模型參數(shù)聯(lián)立求解，構(gòu)建二元時間序列模型

由式(5)得到水溫()和光照()預測值，由式(4)得到藍藻生長率()和死亡率()預測值，再由式(3)得到葉綠素a濃度預測值。

3 時變系統(tǒng)水華暴發(fā)機理及水華預測

3.1 時變系統(tǒng)水華暴發(fā)機理分析

藍藻水華預測的關(guān)鍵問題之一在于通過分析水華暴發(fā)行為確定其暴發(fā)的條件，而藍藻水華暴發(fā)行為是由藍藻的暴發(fā)性生長導致的一種典型分岔行為，因此根據(jù)分岔理論和時變系統(tǒng)理論分析藍藻水華暴發(fā)行為的非線性動力學機理。

對式(1)求解藍藻生長系統(tǒng)的平衡點

對兩個平衡點進行動力學穩(wěn)定性分析，首先對式(1)進行坐標變換。令，將其代入式(1)后，得到其線性部分Jacobin矩陣

由于第1個平衡點的葉綠素a濃度恒為零，無物理意義，因此研究第2個平衡點。第2個平衡點（*a2,*2）的Jacobin矩陣的特征值為

根據(jù)分岔理論，系統(tǒng)有如下特性。

當0-N<0時，1<0,2<0，平衡點不穩(wěn)定；當0-N=0時，1<0,2=0，系統(tǒng)發(fā)生跨臨界分岔；當0-N>0時，1<0,2>0，該平衡點穩(wěn)定。

由于0-N>0時，葉綠素a濃度大于零，具有物理意義，因此對該情況做進一步分析。

引入時變參數(shù)藍藻生長率()和死亡率()后，藍藻生長時變系統(tǒng)的平衡點變?yōu)?/p>

相應地，Jacobin矩陣也變?yōu)?/p>

同樣，第1個平衡點無物理意義，僅研究第2個平衡點（a2*(),2*()），Jacobin特征值為

時變系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩即藍藻水華暴發(fā)條件為

(6)

由式(6)可知，藍藻生長率和死亡率隨時間變化，將會導致系統(tǒng)平衡點和藍藻水華暴發(fā)的條件亦隨時間變化。因此，時變系統(tǒng)的振蕩過程不會收斂于某一平衡點，系統(tǒng)相軌跡將隨時間不斷偏離原先軌跡，導致系統(tǒng)達到水華暴發(fā)條件的次數(shù)并不唯一，出現(xiàn)水華多次暴發(fā)的行為。

3.2 時變系統(tǒng)水華預測

時變系統(tǒng)下藍藻水華預測流程如圖1所示。步驟如下：

（1）建立藍藻生長時變系統(tǒng)非線性動力學模型；

（2）監(jiān)測藍藻水華相關(guān)指標數(shù)據(jù)及預處理；

（3）確定該模型的常值參數(shù)和時變參數(shù)；

（4）通過機理分析確定藍藻水華暴發(fā)條件；

（5）重復步驟(2)～步驟(4)分析下一時刻數(shù)據(jù),當所有參數(shù)達到水華暴發(fā)條件時，以此時葉綠素a濃度表示水華暴發(fā)程度，實現(xiàn)藍藻水華預測預警。

4 實例驗證

（1）數(shù)據(jù)監(jiān)測及預處理

對江蘇省太湖流域2010～2012年的葉綠素a濃度、營養(yǎng)鹽（總氮）濃度、水溫、光照數(shù)據(jù)進行監(jiān)測，驗證本文提出的藍藻生長時變系統(tǒng)動力學分析及水華預測方法。共監(jiān)測784 d的數(shù)據(jù)，每2 d監(jiān)測1次。為方便分析，對葉綠素a濃度的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進行了去異常值及標準化等預處理，如圖2所示。

（2）藍藻生長時變系統(tǒng)動力學模型參數(shù)確定

對常值參數(shù)進行智能優(yōu)化率定，結(jié)果見表1。率定時水溫、光照采用實際監(jiān)測數(shù)據(jù)，常值參數(shù)率定后的模型對葉綠素a濃度擬合結(jié)果如圖2所示。

對時變參數(shù)中的影響因素水溫和光照進行多元時序建模，預測結(jié)果如圖3和圖4所示。

表1 常值參數(shù)率定結(jié)果

（3）時變系統(tǒng)水華暴發(fā)機理分析

將藍藻生長率作為分岔參數(shù)，葉綠素a濃度隨藍藻生長率變化的跨臨界分岔行為如圖5所示。

由圖5可知，當藍藻生長率=0.0524時，滿足0-N=0，系統(tǒng)發(fā)生跨臨界分岔。

對藍藻生長率取不同常值，時不變系統(tǒng)相軌跡見圖6，系統(tǒng)相應的時間歷程如圖7、圖8所示。

由圖6～圖8可知，當藍藻生長率=0.0525時，滿足，系統(tǒng)無振蕩過程直接收斂于平衡點，即無水華暴發(fā)行為。

當藍藻生長率和死亡率為時變參數(shù)時，將水溫和光照的多元時序預測值代入藍藻生長率和死亡率中，則藍藻生長時變系統(tǒng)相軌跡如圖9所示，其葉綠素a濃度和營養(yǎng)鹽濃度的時間歷程如圖10所示。

由圖9、圖10可知，在時變參數(shù)影響下，系統(tǒng)平衡點隨時間變化并不唯一，相軌跡呈不規(guī)則曲線且閉合成環(huán)，其與時間歷程均具有顯著的隨機性和周期性，不再收斂于某一平衡點，導致系統(tǒng)多次達到水華暴發(fā)條件而出現(xiàn)多個葉綠素a濃度峰值?？梢?，時變系統(tǒng)模型可以解釋藍藻水華的多次暴發(fā)行為，以及其暴發(fā)頻率的季節(jié)性和暴發(fā)程度的不確定性等特征。

（4）時變系統(tǒng)水華預測結(jié)果分析

為說明本文方法有效性，對葉綠素a濃度分別采用神經(jīng)網(wǎng)絡（BP算法）、深度學習（DBN算法）及時間序列方法預測，并將結(jié)果和時變系統(tǒng)預測進行對比，如圖11所示。

由圖11可知，根據(jù)時變系統(tǒng)水華暴發(fā)條件，在監(jiān)測次數(shù)分別為60、257和316處發(fā)生3次水華暴發(fā)行為，其時變參數(shù)及葉綠素a濃度峰值見表2。

由表2可知，在3個水華暴發(fā)點處，藍藻生長率和死亡率預測值均達到水華暴發(fā)條件，且時變系統(tǒng)模型對葉綠素a濃度達到峰值時刻的預測與監(jiān)測數(shù)據(jù)一致，而其他方法則存在一定差距，因此，本文方法對水華暴發(fā)點的預測更為準確。

表2 水華暴發(fā)點時變參數(shù)及葉綠素a濃度峰值預測結(jié)果

對于整個藍藻生長過程而言，其葉綠素a濃度預測結(jié)果的歸一化均方誤差如表3所示。

表3 藍藻生長過程的葉綠素a濃度預測歸一化均方誤差

由表3可知，采用時變系統(tǒng)預測方法對整個藍藻生長過程中葉綠素a濃度預測的歸一化均方誤差相比其他方法更低，因此，本文方法對藍藻生長過程的預測精度也相對更高。

5 結(jié) 論

本文建立了藍藻生長時變系統(tǒng)非線性動力學模型，提出了模型常值參數(shù)和時變參數(shù)的確定方法，通過對時變系統(tǒng)的分岔分析確定藍藻水華暴發(fā)條件并實現(xiàn)水華預測。通過江蘇太湖流域監(jiān)測數(shù)據(jù)的實例驗證，得出以下結(jié)論。

（1）針對現(xiàn)有方法不適用于確定時變系統(tǒng)模型參數(shù)的問題，由圖2～圖4及表1可知，所提出的智能優(yōu)化率定和多元時序方法，實現(xiàn)了對時變系統(tǒng)模型的參數(shù)確定，且具有較高的適用性和有效性。

（2）與時不變系統(tǒng)非線性動力學模型相比，由圖6～圖8可知，時不變系統(tǒng)模型只能說明水華的單次暴發(fā)機理，而由圖9、圖10可知，時變系統(tǒng)模型可以解釋水華的多次暴發(fā)機理，反映藍藻生長過程的周期性和隨機性特征，與實際情況中水華暴發(fā)的季節(jié)性和不確定性等特征更為相符。

（3）與現(xiàn)有數(shù)據(jù)驅(qū)動預測方法相比，由圖11及表2、表3可知，由于時變系統(tǒng)模型結(jié)合了機理驅(qū)動模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動模型的優(yōu)勢，不僅能夠挖掘監(jiān)測數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，而且能夠體現(xiàn)藍藻生長各指標與水華暴發(fā)行為的因果關(guān)系，因而對水華暴發(fā)和藍藻生長過程的預測結(jié)果更具有科學性和準確性。

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Nonlinear dynamics analysis and water bloom prediction of cyanobacteria growth time variation system

WANG Li,GAO Chong,WANG Xiaoyi,LIU Zaiwen

(1School of Computer and Information Engineering, Beijing Technology and Business University, Beijing 100048, China)

In order to solve the problem that the actual description of the water bloom behavior is not entirely conform to reality and water bloom prediction is not accurate enough by existing algae growth dynamics model due to the neglect of model parameters change with time, this paper builds cyanobacteria feeding and nutrient cycling model, and proposes algae growth dynamics model with time-varying parameters based on time variation influences of water temperature and illumination on model parameters. The calibration method for constant parameters of the model is optimized based on genetic and numerical algorithm. And the model time-varying parameters is modeled and predicted by multivariate time series method. Nonlinear dynamic mechanism of cyanobacteria bloom behavior is analyzed by bifurcation theory and time varying system theory, and then a new method of cyanobacteria bloom prediction is put forward. The monitoring data analysis of the Taihu River Basin in Jiangsu shows that cyanobacterial growth dynamics model with time-varying parameters can reflect nonlinear dynamic characteristics of cyanobacteria bloom behavior in cyanobacteria growth time-varying system. The model is more consistent with the actual situation, and cyanobacteria bloom prediction result is more accurate.

cyanobacteria; time varying system; water bloom; nonlinear dynamics; prediction; model

10.11949/j.issn.0438-1157.20161622

TQ 019

A

0438—1157（2017）03—1065—08

國家自然科學基金項目(51179002)；北京市市屬高校創(chuàng)新能力提升計劃項目(PXM2014_ 014213_000033)；北京市教委科技計劃重點項目(KZ201510011011)；北京市教委科技計劃一般項目(SQKM201610011009)。

2016-11-16收到初稿，2016-11-17收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者：王立（1983—），女，博士，副教授。

2016-11-16.

WANG Li, wangli@th.btbu.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China(51179002), theInnovation Ability Promotion Project of Beijing Municipal Colleges and Universities (PXM2014_014213_000033), the Major Project of Beijing Municipal Education Commission Science and Technology Development Plans (KZ201510011011) and the General Project of Beijing Municipal Education Commission Science and Technology Development Plans (SQKM201610011009).