朱張濤，陳豪杰，戴俊杰，李衛(wèi)彬，李 雪

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基于空間變換的含風(fēng)電場和電動汽車配電網(wǎng)概率潮流計算

朱張濤1，陳豪杰2，戴俊杰1，李衛(wèi)彬1，李 雪2

（1國網(wǎng)上海市電力公司長興供電公司，上海 201913；2上海大學(xué)自動化系，上海市電站自動化技術(shù)重點實驗室，上海 200072）

電動汽車和分布式發(fā)電的廣泛接入增加了現(xiàn)代配電網(wǎng)的復(fù)雜性，同時輸入隨機變量的相關(guān)性對配電網(wǎng)的影響也越來越大?；诖耍疚牟捎肗ataf變換或者三階多項式正態(tài)變換實現(xiàn)變量從相關(guān)非正態(tài)空間到相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的轉(zhuǎn)換，采用初等變換或者正交變換實現(xiàn)變量從相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間到獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的轉(zhuǎn)換，從而得到標(biāo)準(zhǔn)的點估計運算所需的相互獨立輸入隨機變量，進(jìn)而建立了能用2+1點估計方法求解的概率潮流模型，從而解決了相關(guān)輸入隨機變量的概率潮流問題，以實現(xiàn)含電動汽車的有源配電網(wǎng)系統(tǒng)的仿真運行分析。最后，在一個含風(fēng)電和電動汽車的IEEE-33節(jié)點配電網(wǎng)中進(jìn)行算例仿真，比較四個方案處理輸入隨機變量相關(guān)性的有效性。算例分析表明，Nataf變換結(jié)合初等變換具有最好的精度。

電動汽車；風(fēng)電場；配電網(wǎng)；相關(guān)性；點估計；概率潮流計算

概率潮流問題（probabilistic load flow，PLF）由BORKOWSKA[1]于1974年提出，其核心思想是綜合考慮各種輸入隨機因素，應(yīng)用概率理論來描述、分析電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行特性。概率潮流求解方法眾多，蒙特卡羅模擬法[2]（Monte Carlo simulation，MCS）能夠全面對隨機變量進(jìn)行模擬分析，精確度高，但是計算頗為耗時，一般將其作為評價各種算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。點估計法[3]（point estimate method，PEM）是一種根據(jù)已知隨機變量的概率分布，求取待求隨機變量階矩的概率統(tǒng)計方法，計算量小，避免潮流方程線性化，在PLF問題中得到了大量的應(yīng)用。

同時，隨著電網(wǎng)的發(fā)展和新能源的不斷接入，以及運行調(diào)度等導(dǎo)致電網(wǎng)輸入變量之間的相關(guān)性越來越顯著，如風(fēng)速的區(qū)域相關(guān)性、負(fù)荷之間的相關(guān)性等。文獻(xiàn)[4]提出了Nataf結(jié)合MCS方法來處理考慮變量相關(guān)性的PLF問題，但是MCS計算需要消耗大量的時間。文獻(xiàn)[5]提出了正交變換（orthogonal transformation，OT）結(jié)合PEM方法，但是OT變換建立在變換前后相關(guān)性不改變的前提下。文獻(xiàn)[6]提出了三階多項式變換法（three polynomial normal transformation，TPNT）進(jìn)行概率潮流計算。

為此，本文著眼于配電網(wǎng)中輸入隨機變量之間的相關(guān)性，考慮采用Nataf變換或者TPNT變換來實現(xiàn)變量從相關(guān)非正態(tài)空間（correlated non-normal random vector space，CNNRVS）到相關(guān)正態(tài)空間（correlated standard normal random vector space，CSNRVS）的轉(zhuǎn)換，采用初等變換（elementary transformation，ET）或者OT變換來實現(xiàn)變量從相關(guān)正態(tài)空間到獨立正態(tài)空間（independent standard normal random vector space，ISNRVS）的轉(zhuǎn)換，采用兩兩組合的方式進(jìn)行相關(guān)性處理，進(jìn)而建立了能用2+1點估計方法求解的概率潮流模型，從而解決了相關(guān)輸入隨機變量的概率潮流問題，以實現(xiàn)含電動汽車的有源配電網(wǎng)系統(tǒng)的仿真運行分析。最后，針對一個含電動汽車和風(fēng)電的IEEE-33節(jié)點配電網(wǎng)進(jìn)行仿真運行分析，并與MCS法進(jìn)行對比，得出最優(yōu)的相關(guān)性處理方案。

1 電動汽車模型及風(fēng)力機模型建立

1.1 電動汽車充電模型

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，電動汽車（electric vehicle，EV）開始充電時刻為最后一次出行返回時刻，開始充電時刻滿足如下正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

單臺電動汽車充電所需要的時間長度為

根據(jù)電動汽車的日行駛里程概率密度函數(shù)與單臺電動汽車充電時長函數(shù)，有

綜上所述，得出充電時長的概率分布如表1所示?？芍?，充電7 h的累積分布為0.992，與動力電池最大充電時長7 h基本吻合。

表1 充電時長概率分布

如圖1所示為電動汽車24時間段的充電功率需求，具體某刻的充電功率需求可用式(6)描述

1.2 風(fēng)力機模型

風(fēng)力機的輸出功率由風(fēng)速這一隨機變量所決定，在風(fēng)速的長期預(yù)測中，可以用兩參數(shù)的Weibulll分布模型來模擬風(fēng)速概率分布[9]，其概率密度函數(shù)為

式中，表示風(fēng)速；和為Weibulll分布的兩個參數(shù)，稱之為形狀參數(shù)，稱之為尺度參數(shù)。

風(fēng)力機組的輸出功率和風(fēng)速之間的關(guān)系可以用式(8)所示的分段線性函數(shù)表示。

考慮在配電網(wǎng)中存在多個風(fēng)力機接入點且假定風(fēng)速服從同一個Weibull分布。不同接入點之間存在著微小的差異，應(yīng)當(dāng)考慮接入點之間風(fēng)速的相關(guān)性。由于較難獲得具有相關(guān)性的風(fēng)速歷史數(shù)據(jù)，這里采用矩陣變換法[10-11]來模擬生成具有指定相關(guān)系數(shù)的風(fēng)速序列樣本：

通過上述一系列矩陣變換，即可獲得風(fēng)速序列，且該風(fēng)速序列具有指定的風(fēng)速相關(guān)性。

2 變量相關(guān)性的轉(zhuǎn)換處理方法

標(biāo)準(zhǔn)的點估計運算需要輸入相互獨立的隨機變量，因此，針對相關(guān)非正態(tài)隨機輸入量（服從Weibull分布的風(fēng)速），可以通過Nataf法或TPNT法來實現(xiàn)隨機變量從相關(guān)非正態(tài)變量空間到相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間的轉(zhuǎn)換。然后通過正交變換或初等變換[12]來實現(xiàn)隨機變量（經(jīng)過Nataf法或TPNT法變換處理后的風(fēng)速以及具有相關(guān)性的負(fù)荷）從相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間到獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間的轉(zhuǎn)換。

2.1 Nataf變換

對于邊緣分布函數(shù)和相關(guān)系數(shù)已知的相關(guān)非正態(tài)隨機變量，Nataf變換可以實現(xiàn)其從相關(guān)非正態(tài)變量空間到相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間的轉(zhuǎn)換[13-14]。

2.2 三階多項式正態(tài)變換

TPNT[15-16]理論是利用統(tǒng)計矩和相關(guān)系數(shù)矩陣來構(gòu)建隨機變量的相關(guān)多元分布模型。

上述變換僅僅完成了將非正態(tài)隨機變量變換為正態(tài)隨機變量。接下來考慮相關(guān)系數(shù)的轉(zhuǎn)換處理辦法，對于維隨機變量，設(shè)表示和之間的相關(guān)系數(shù)。

2.3 正交變換

根據(jù)式(23)、(24)有

2.4 初等變換

引理1[18]：假設(shè)是一個維非負(fù)實對稱矩陣。那么總存在一個維可逆矩陣，使得可以通過下式轉(zhuǎn)換為對角陣，即

引理2[18]：如果是一個維非負(fù)對稱矩陣，那么也是一個非負(fù)對稱矩陣，其中是可逆矩陣。

引理3[19]：如果存在維可逆矩陣滿足式(27)，則式(28)也滿足。

3 基于點估計的配電網(wǎng)概率潮流計算

3.1 點估計理論

PEM求解含風(fēng)電、電動汽車的配電網(wǎng)PLF的基本思想為[3,5]：假定輸出隨機變量（節(jié)點電壓、節(jié)點功率、支路潮流等）是個輸入隨機變量（負(fù)荷有功、負(fù)荷無功、電動汽車充電需求有功、電動汽車充電需求無功和風(fēng)速）的函數(shù)。根據(jù)輸入隨機變量的數(shù)學(xué)特征來求取輸出隨機變量的數(shù)學(xué)特征，即

PEM中的2+1方案通過使用3個變量來對隨機變量量進(jìn)行估計。當(dāng)時，三個位置度量中一個是0。

3.2 算法步驟

（1）生成服從正態(tài)分布且相關(guān)系數(shù)為0.9的常規(guī)負(fù)荷數(shù)據(jù)樣本。生成服從正態(tài)分布的電動汽車充電功率數(shù)據(jù)樣本，考慮功率因數(shù)為0.95。

（2）生成服從同一個Weibull參數(shù)且具有指定相關(guān)系數(shù)的風(fēng)速矩陣，并利用Nataf變換或者TPNT變換，把服從相關(guān)非正態(tài)分布（兩參數(shù)Weibulll分布）的風(fēng)速轉(zhuǎn)化為服從相關(guān)正態(tài)分布。

（3）把步驟1和2得到的服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)進(jìn)行OT或者ET變換，將其轉(zhuǎn)化為獨立隨機變量。

（4）計算點估計法所需要的位置度量和概率集中度，并且構(gòu)建2+1點估計法所需要的點。

（5）利用OT或ET的逆變換過程，將步驟4中生成的點從ISNRVS轉(zhuǎn)化為CSNRVS。

（6）利用Nataf或者TPNT法的逆變換過程，將步驟（5）中的風(fēng)速數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為非正態(tài)分布空間（Weibulll分布）。并根據(jù)風(fēng)速-功率轉(zhuǎn)換公式，得到風(fēng)力機有功出力，其無功按照有功無功特性 獲得。

（7）執(zhí)行2+1點估計法進(jìn)行PLF計算（簡化EV和風(fēng)力機注入功率的處理方式，采用直接注入的方式，EV需求按照正值注入，風(fēng)力機出力按照負(fù)值注入）。

（8）根據(jù)潮流計算結(jié)果，按照評價指標(biāo)計算各節(jié)點電壓期望誤差、標(biāo)準(zhǔn)差誤差，以及期望和標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對誤差。

4 基于點估計的配電網(wǎng)概率潮流計算

本文采用一個IEEE-33節(jié)點的配電網(wǎng)[20]進(jìn)行算例分析，如圖2所示。系統(tǒng)容量為3715+2300 kVA，基準(zhǔn)容量為10 MVA，基準(zhǔn)電壓為12.66 kV，松弛節(jié)點的電壓值為1 p.u.。并按照如下步驟對常規(guī)負(fù)荷、電動汽車負(fù)荷和風(fēng)力機進(jìn)行假設(shè)處理。

（1）假定負(fù)荷服從正態(tài)分布，原始數(shù)據(jù)為期望，標(biāo)準(zhǔn)差取期望值的5%，相關(guān)系數(shù)為0.9。

（2）假設(shè)電動汽車全部在節(jié)點7進(jìn)行充電，且充電需求功率服從正態(tài)分布，均值和標(biāo)準(zhǔn)差由電動汽車概率統(tǒng)計建模生成（取充電需求功率最大時刻數(shù)據(jù)），取電動汽車數(shù)量為200輛。

（3）風(fēng)力機接入點為15、25和30，每個接入點包含5個等參數(shù)的雙饋感應(yīng)風(fēng)力發(fā)電機，額定功率為100 kW，切入風(fēng)速為3 m/s，額定風(fēng)速為12 m/s，切出風(fēng)速為25 m/s。假定風(fēng)速服從兩參數(shù)Weibulll分布（），風(fēng)力機接入點之間風(fēng)速存在相關(guān)性，其相關(guān)性系數(shù)[21]為

為了說明處理輸入隨機變量相關(guān)性方案的有效性，采用表2所示的方案進(jìn)行算例分析。

表2 四組方案

針對配電網(wǎng)的PLF問題，采用2+1點估計法進(jìn)行計算，并用MCS法進(jìn)行對比，以電壓幅值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為指標(biāo)。在分析PEM計算精確性時候，評價指標(biāo)的計算方式[22]為

表3提供了電壓幅值在各個處理相關(guān)性方案下的平均誤差情況。圖3和圖4為節(jié)點11在各個方案下電壓幅值的概率密度函數(shù)圖（probability density function，PDF）和累積分布函數(shù)圖（cumulative distribution function，CDF）圖，其中2+1方法采用“”準(zhǔn)則確定區(qū)間上下限，MCS則采用10000次采樣的最大最小值為上下限，故兩者的區(qū)間上下限存在一定的差別。

表3 四組方案的平均誤差

從表3中，可以發(fā)現(xiàn)方案1中的平均相對誤差最小，方案3次之，方案2和4的平均均值誤差接近，偏差在一個數(shù)量級，且均很小，但是平均標(biāo)準(zhǔn)差存在較大差異，認(rèn)為方案2的結(jié)果最差。

圖3和圖4是分別利用2+1點估計方法和MCS法進(jìn)行PLF計算，節(jié)點11在各個方案下電壓幅值圖。觀察圖3的PDF圖中兩種不同PLF計算方法結(jié)果的擬合情況，可以發(fā)現(xiàn)方案1高度擬合，方案3次之，方案2和4的接近且比較之?dāng)M合度最差。同樣的，觀察圖4的CDF擬合情況，能得到一致的結(jié)論。

5 結(jié) 論

本文介紹了處理配電網(wǎng)潮流計算輸入隨機變量相關(guān)性的不同方案，包括Nataf變換/TPNT變換與ET變換/OT變換兩兩組合的，共計四種不同的組合方案。結(jié)合點估計中的2+1法，把不同的方案應(yīng)用在含風(fēng)電、電動汽車的配電網(wǎng)PLF問題中。在IEEE-33節(jié)點系統(tǒng)中對所提出的方案進(jìn)行有效性驗證，并與MCS方法進(jìn)行結(jié)果對比。

（1）由分析電壓幅值在各個處理相關(guān)性方案下的平均誤差情況，可知方案1中的平均相對誤差最小，即Nataf+ET組合；方案3次之，即TPNT+ET組合；方案2和4的平均均值誤差接近，偏差在一個數(shù)量級，較之方案1和方案3平均誤差最大，即Nataf+OT組合和TPNT+OT組合。綜上可以得出Nataf變換和ET變換組合方案在解決配電網(wǎng)PLF問題中的有效性和精確性。

（2）由分析2+1點估計和MCS法下的節(jié)點11電壓幅值的PDF和CDF擬合情況可知，Nataf+ET方案組合（方案1），具有最高的擬合度；TPNT+ET組合方案（方案2）次之；Nataf+OT方案組合（方案2）和TPNT+OT方案組合（方案4）較之于方案1和方案3，PDF和CDF擬合度較差。亦可得出Nataf變換和ET變換組合方案在解決配電網(wǎng)PLF問題中的有效性和精確性。

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Probabilistic load flow calculation of distribution network with wind power and electric vehicles based on space transform

ZHU Zhangtao1,CHEN Haojie2,DAI Junjie1,LI Weibin1,LI Xue2

(1ChangxingPowerSupplyCompany, SMEPC, Shanghai 201913, China;2Department of Automation, Shanghai Key Laboratory of Power Station Automation Technology, Shanghai University, Shanghai200072, China)

The use of electric vehicles and distributed generation increases the complexity of modern distribution network. This is made more serious with more correlated input of random variables. In this study, we use the Nataf transformation, also called the third order polynomial normal transformations, to transform random variables from a correlated non-normal random vector space (CNNRVS) to a correlated standard normal random vector space (CSNRVS), and use the elementary transformation, also called the orthogonal transformation, to transform random variables from CSNRVS to independent standard normal random vector space (ISNRVS). These lead to the random independent input variables to execute the probabilistic load flow calculations using a 2+1 point estimate method. Examples was made to simulate an IEEE-33 distribution network with wind power and electric vehicles. Comparison was made between four cases for the correlation among random input variables. The results showed that the Nataf transformation combined with elementary transformation gave the best accuracy.

electric vehicles; wind farm; distribution network; correlation; point estimate method; probabilistic load flow calculation

10.12028/j.issn.2095-4239.2016.0075

TM 732

A

2095-4239（2017）01-127-08

2016-09-27；

2016-12-01。

國家自然科學(xué)基金（61533010）及上海市自然科學(xué)基金項目（14ZR1415300）。

朱張濤（1988—），男，碩士研究生，助理工程師，研究方向為電力系統(tǒng)潮流分析，E-mail：zzt880115@163.com；

李雪，副教授，主要研究方向為電力系統(tǒng)優(yōu)化，E-mail：lixue@shu.edu.cn。