何尚文，張 旭，苗同臣

(鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450001)

理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)鍵概念和知識(shí)體系梳理

何尚文，張 旭，苗同臣

(鄭州大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450001)

總結(jié)理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)中的問題和經(jīng)驗(yàn)，通過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引入梳理運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)鍵概念及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的邏輯聯(lián)系，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)新知識(shí)體系，為理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)和教材改革提供參考。

運(yùn)動(dòng)學(xué)；知識(shí)體系；教學(xué)、教材改革

Abstract：The teaching problems and experiences of kinematics in theoretical mechanics is summarized. we tease out the key concept and logical relation of particle kinematics and rigid body kinematics by introducing mathematics, and then establish the new knowledge hierarchy. we show that these will provide an effective reference for the teaching and textbook reform in theoretical mechanics.

Key words：kinematics; knowledge system; reform of teaching and textbook

1 引言

運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)系靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)，是動(dòng)力學(xué)重要基礎(chǔ)。目前運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)還存在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引入不夠，部分概念抽象、內(nèi)涵不易理解，點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)邏輯關(guān)系不夠清晰等問題。洪嘉振等[1-2]等指出了運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)中存在的問題并探索了新的知識(shí)體系；哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室教材[3]將剛體平面運(yùn)動(dòng)放在點(diǎn)復(fù)合運(yùn)動(dòng)之后；教材[4]將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)分開介紹，杜茂林[5]等研究了矩陣法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。本文結(jié)合理論力學(xué)教學(xué)實(shí)踐，通過引入相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)鍵概念進(jìn)行解析，對(duì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的邏輯聯(lián)系深入探討，探索建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)新的教學(xué)體系，為理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)課堂教學(xué)及教材改革提供參考。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)鍵概念及邏輯關(guān)聯(lián)

2.1 從矢量求導(dǎo)談速度和加速度的定義

運(yùn)動(dòng)定義：點(diǎn)相對(duì)于參考系位置隨時(shí)間的變化。理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)建立在絕對(duì)靜止參考系存在的假定下，相對(duì)于靜(動(dòng))坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)為絕對(duì)(相對(duì))運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)(相對(duì))矢徑定義：從靜(動(dòng))參考系坐標(biāo)原點(diǎn)指向動(dòng)點(diǎn)的矢量。

(1)

(2)

式(2)上、下分別表示點(diǎn)相對(duì)參考系的速度與加速度。則速度：點(diǎn)相對(duì)于參考系的矢徑相對(duì)于該參考系的導(dǎo)數(shù)；加速度：點(diǎn)相對(duì)于參考系的矢徑相對(duì)于該參考系的二階導(dǎo)數(shù)。絕對(duì)(相對(duì))速度、絕對(duì)(相對(duì))加速度等概念均包含其中。

點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)與參考系的速度(加速度)的聯(lián)系和區(qū)別。定義1、2分別為靜、動(dòng)參考系，點(diǎn)N相對(duì)于點(diǎn)M的速度為：

(3)

2.2 從泊桑公式的推廣談基點(diǎn)法

(4)

圖1 t與t+Δt時(shí)刻矢量的位置

(5)

(6)

圖2 基點(diǎn)法與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成

圖2，動(dòng)系2固連于剛體，p為剛體上任意點(diǎn)，o,為基點(diǎn)，本文將絕對(duì)速度簡(jiǎn)稱為速度，則：

(7)

2.3 從基點(diǎn)法和矢量在不同參考系下求導(dǎo)的關(guān)系推導(dǎo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成

(11)

點(diǎn)的速度及加速度合成定理得證；賦予牽連速度(加速度)物理含義：基點(diǎn)法求出的運(yùn)動(dòng)剛體(動(dòng)系)上定點(diǎn)的速度(加速度)，即Qm相對(duì)基點(diǎn)平移參考系的速度(加速度)與基點(diǎn)速度(加速度)的合成；賦予動(dòng)系物理含義：任意運(yùn)動(dòng)剛體。顯然式(10)、(11)還可推廣至相對(duì)不同動(dòng)系運(yùn)動(dòng)的合成。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)體系梳理

綜上，在式(2)、(6)基礎(chǔ)上可推導(dǎo)整個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)體系。通過數(shù)學(xué)引入，梳理運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)鍵概念及知識(shí)間邏輯聯(lián)系，構(gòu)建了運(yùn)動(dòng)學(xué)新知識(shí)體系，如圖3所示。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引入包括兩部分，一是矢量求導(dǎo)的定義，二是泊桑公式的推廣得到矢量在不同參考系下求導(dǎo)的關(guān)系。由矢量求導(dǎo)的定義引出速度、加速度的定義，相對(duì)速度(加速度)與絕對(duì)速度(加速度)具有類似的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，使其內(nèi)涵易于理解，并可由矢量法(直角坐標(biāo)法和自然坐標(biāo)法)研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)。通過泊桑公式推廣導(dǎo)出矢量在不同參考系下求導(dǎo)的關(guān)系，進(jìn)而得到基點(diǎn)法并以此研究剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)；選擇運(yùn)動(dòng)的剛體為動(dòng)系使動(dòng)系不再抽象，且相對(duì)運(yùn)動(dòng)不再局限為平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(任意運(yùn)動(dòng)均可)，基點(diǎn)法求出的剛體上點(diǎn)的速度(加速度)即為牽連速度(加速度)，牽連速度(加速度)為運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)(選其為基點(diǎn))的速度(加速度)。最后結(jié)合絕對(duì)速度(加速度)、相對(duì)速度(加速度)、牽連速度(加速度)的定義，由基點(diǎn)法和不同參考系下矢量求導(dǎo)的關(guān)系得到點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

新的知識(shí)體系建立在關(guān)鍵概念內(nèi)涵闡釋與數(shù)學(xué)表達(dá)式相對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上，具有概念清晰、邏輯有序、可拓展性好的特點(diǎn)，目前在運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中已有良好效果。

圖3 運(yùn)動(dòng)學(xué)新知識(shí)體系

4 小結(jié)

本文通過引入相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)闡釋了理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)鍵概念的內(nèi)涵，梳理了知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)聯(lián)，構(gòu)建了新的運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)體系，為教學(xué)、教材改革提供參考。

[1] 洪嘉振，楊長(zhǎng)俊.工科理論力學(xué)教學(xué)體系改革的探索與實(shí)踐[J]. 力學(xué)與實(shí)踐,1999,6(21)：55-57.

[2] 洪嘉振,劉鑄永,楊長(zhǎng)俊.理論力學(xué)(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2015.

[3] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)(第7版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2009.

[4] 謝傳鋒,王琪.理論力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,2009.

[5] 杜茂林,談志高.運(yùn)動(dòng)學(xué)中的矩陣方法[J]. 力學(xué)與實(shí)踐,2005,1(27)：69-70.

[6] 周又和.理論力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,2015.

[7] 劉延柱,楊海興,朱本華.理論力學(xué)(第二版)[M]. 北京:高等教育出版社,2000.

Teasing out the key concept and knowledge system of kinematics in theoretical mechanics

HeShang-wen,ZhangXu,MiaoTong-chen

(School of Mechanics & Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001,China)

2017-05-15.

何尚文(1983-)，博士，副教授，E-mail:hsw2013@zzu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金(51405452);2017鄭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院教學(xué)項(xiàng)目資助.

2095-7386(2017)03-0101-03

10.3969/j.issn.2095-7386.2017.03.020

0312.2；G420

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