胡重光

談到中國(guó)古代數(shù)學(xué)，不由得對(duì)我國(guó)不久前去世的著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生產(chǎn)生深深的懷念。他是第一位認(rèn)識(shí)到中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和重大意義的數(shù)學(xué)家。1992年，在《紀(jì)念李儼錢寶琮誕生100周年國(guó)際學(xué)術(shù)研討會(huì)賀詞》中，他對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)作了如下的評(píng)價(jià)：“中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，自有其與西方迥異的途徑與體系。位值制是我國(guó)獨(dú)有的重大創(chuàng)造。奠基其上的各種算法化的計(jì)算方法，是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，通過(guò)天元的引進(jìn)，并使一些幾何問(wèn)題也可有系統(tǒng)地化為方程問(wèn)題進(jìn)行算法化的處理。近代數(shù)學(xué)之所以凌駕于以往數(shù)學(xué)之上，一個(gè)關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是解析幾何的創(chuàng)立……使艱澀難行的歐幾里得式演繹推理轉(zhuǎn)化為易于駕馭的單純計(jì)算，而這正是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特色與所遵循的基本道路……”

本文僅就我國(guó)獨(dú)創(chuàng)的位值制記數(shù)法進(jìn)行一個(gè)初步的探討。

我們現(xiàn)在的記數(shù)法全稱叫“十進(jìn)位值制記數(shù)法”。采用這種記數(shù)法，只用10個(gè)符號(hào)，就可以記下無(wú)論多大的數(shù)（從理論上說(shuō)），并且書(shū)寫和計(jì)算都十分簡(jiǎn)便，以至于馬克思稱之為“人類最妙的發(fā)明之一”。但是這一發(fā)明不是一蹴而就的，而是經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展時(shí)期。記數(shù)法的發(fā)展史包含深刻的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)教育有重要的啟發(fā)作用。

人類最初的記數(shù)法，按使用的符號(hào)的性質(zhì)，可大致分為三類。第一類是用專門的符號(hào)來(lái)記數(shù)的，古埃及、巴比倫和瑪雅人的記數(shù)法都屬于這一類。

巴比倫人的文字是刻在泥板上的，因此呈楔形，有趣的是1和60的符號(hào)只有大小的不同。古埃及的記數(shù)法是以10為基的，巴比倫的記數(shù)法則是以60為基的。瑪雅人的記數(shù)法的主要特點(diǎn)是使用了一個(gè)專門代表20的符號(hào)，形狀像一個(gè)人的面部，并且是以20為基的。所有這些符號(hào)都是特別造出來(lái)用于記數(shù)的。

第二類是用現(xiàn)成的字母來(lái)記數(shù)，古希臘、羅馬、印度的記數(shù)法都屬于這一類。希臘字母有27個(gè)，古希臘人用頭9個(gè)字母代表1到9的數(shù)，中間9個(gè)字母代表10到90的數(shù)，末9個(gè)字母代表100到900的數(shù)。古羅馬人的記數(shù)法現(xiàn)在還常用來(lái)標(biāo)記順序，他們只用7個(gè)大寫字母記數(shù)，并有一套記數(shù)規(guī)則：相同的字母排在一起表示相加；較小的數(shù)排在較大的數(shù)的左邊表示相減，排在右邊表示相加；在一串?dāng)?shù)字的右下方加一個(gè)m，則表示把這個(gè)數(shù)擴(kuò)大1000倍。例如，29635用古羅馬記數(shù)法寫成：XXIXmDCXXXV。

M·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》上載有公元前3世紀(jì)后印度的一套記數(shù)符號(hào)（如圖所示）。

他認(rèn)為“這一組記號(hào)的出色之處是它給1到9的每個(gè)數(shù)都有單獨(dú)的記法”，并推測(cè)“這種寫法也許是由于以該數(shù)名稱的第一個(gè)字母來(lái)代替它而產(chǎn)生的”。如果他的推測(cè)正確，則這種記數(shù)法也屬于第二類。

這兩類記數(shù)法的一個(gè)共同特點(diǎn)是，都用重復(fù)書(shū)寫某一個(gè)符號(hào)的方法表示更大的數(shù)。例如，要表示500，就要把表示100的符號(hào)寫5次。數(shù)學(xué)史家稱之為“加法累數(shù)制”。這種方法有兩個(gè)缺點(diǎn)：一是書(shū)寫很長(zhǎng)，很大的數(shù)幾乎難以記數(shù)；二是計(jì)算非常困難，即使專家也很難掌握。例如，古羅馬記數(shù)法用M代表1000，要寫一百萬(wàn)，就要寫1000個(gè)M。

第三類是中國(guó)古代和受其影響的亞洲一些地區(qū)的記數(shù)法。據(jù)錢寶琮的研究，殷墟甲骨文中有以下13個(gè)記數(shù)符號(hào)（如圖所示）。

與前兩類記數(shù)法比較后可以發(fā)現(xiàn)，在古埃及記數(shù)法中，十、百、千、萬(wàn)的符號(hào)是數(shù)字，而在中國(guó)古代記數(shù)法中，這些符號(hào)不是數(shù)字，而是計(jì)數(shù)單位。中國(guó)古代的記數(shù)符號(hào)分為兩類：數(shù)字符號(hào)和單位符號(hào)。10以上的數(shù)要用兩種符號(hào)結(jié)合起來(lái)記，例如，500記為“五百”不用把“百”的符號(hào)連寫五次。這樣，不但記數(shù)很簡(jiǎn)單，而且計(jì)算時(shí)只要對(duì)相同計(jì)數(shù)單位的量數(shù)作計(jì)算就可以了，所有的計(jì)算都?xì)w結(jié)為10個(gè)數(shù)碼的計(jì)算，十分簡(jiǎn)便。在甲骨文中，數(shù)字符號(hào)和單位符號(hào)是合寫在一起的。以后的記數(shù)法已不用合文，例如，8620記為“八千六百二十”。除了沒(méi)有“零”外，與現(xiàn)代漢語(yǔ)的記法已沒(méi)有什么區(qū)別。

中國(guó)很早就有了系統(tǒng)的計(jì)數(shù)單位，《國(guó)語(yǔ)·鄭語(yǔ)》記載史伯對(duì)鄭桓公說(shuō)：“合十?dāng)?shù)以訓(xùn)百體，出千品，具萬(wàn)方，計(jì)億事，材兆物，收經(jīng)入，行女亥極。”這段話清楚地表明，中國(guó)古代的記數(shù)法使用了計(jì)數(shù)單位，其中十、百、千、萬(wàn)、億、兆、經(jīng)、女亥都是十進(jìn)的計(jì)數(shù)單位。采用這種記數(shù)法，很自然地把一個(gè)數(shù)字的各計(jì)數(shù)單位按從大到小的順序排列，很有規(guī)律。

采用計(jì)數(shù)單位是十進(jìn)位值制記數(shù)法發(fā)展的關(guān)鍵一步。奇怪的是，在眾多的古代文明中，只有中國(guó)古代文明做到了這一點(diǎn)。

到公元前2世紀(jì)之后，中國(guó)的記數(shù)法又有了新的發(fā)展，出現(xiàn)了算籌記數(shù)法。這種記數(shù)法采用小竹棍來(lái)擺數(shù)字，其記數(shù)符號(hào)與以前的很不相同，并有縱式和橫式兩種：

省略計(jì)數(shù)單位是十進(jìn)位值制記數(shù)法發(fā)展的又一關(guān)鍵，而且十分巧妙：?jiǎn)挝浑m然沒(méi)有了，但它的作用還在，而記數(shù)法卻大大簡(jiǎn)化了，達(dá)到了完美的地步。

如果我們把算籌體的數(shù)字寫在紙上就會(huì)發(fā)現(xiàn)，表示0的空位很容易出錯(cuò)或誤解，特別是幾個(gè)0連在一起時(shí)，于是用一個(gè)符號(hào)表示空位就大有必要了。我國(guó)古代通常用□表示空位，為了書(shū)寫快捷，把□寫成0是很自然的。由此看來(lái)，0的采用，應(yīng)該是中國(guó)古代記數(shù)法合乎邏輯的發(fā)展結(jié)果。西方數(shù)學(xué)史家一般認(rèn)為0是印度人發(fā)明的，但是至今無(wú)人對(duì)發(fā)明的過(guò)程作出合乎邏輯的說(shuō)明，雖然古印度數(shù)學(xué)對(duì)0的特點(diǎn)（如不能做除數(shù)）做了一些研究，但這并不能作為發(fā)明0這個(gè)符號(hào)的證明。endprint

由算籌記數(shù)法又發(fā)展出珠算（珠算產(chǎn)生的年代已很難確定，中國(guó)有關(guān)算盤的記載最早出現(xiàn)在3世紀(jì)前后的《數(shù)術(shù)記遺》一書(shū)），珠算的記數(shù)法與算籌記數(shù)法基本相同，但珠算計(jì)算速度極快。算盤是中國(guó)古代最優(yōu)秀的計(jì)算工具，它在數(shù)學(xué)教育上的價(jià)值更是寶貴的。

回顧記數(shù)法的發(fā)展過(guò)程我們看到，記數(shù)法經(jīng)歷了最初不用計(jì)數(shù)單位，進(jìn)而采用計(jì)數(shù)單位，最后又省略計(jì)數(shù)單位這樣一個(gè)“否定之否定”的發(fā)展過(guò)程。計(jì)數(shù)單位在記數(shù)法的發(fā)展中起到了決定性的作用。美國(guó)著名科普作家I·阿西莫夫說(shuō)“從無(wú)開(kāi)始計(jì)數(shù)”，意思是0是記數(shù)法的關(guān)鍵數(shù)碼。以上分析表明，0的產(chǎn)生是省略計(jì)數(shù)單位的結(jié)果，因此單位才是記數(shù)法的關(guān)鍵因素，應(yīng)該說(shuō)“從單位開(kāi)始計(jì)數(shù)”。

進(jìn)一步還可發(fā)現(xiàn)，記數(shù)法與記量法是一致的，計(jì)數(shù)單位相當(dāng)于計(jì)量單位。例如，長(zhǎng)度的記量就是先確定一系列長(zhǎng)度單位：毫米、厘米、分米、米……以及相鄰單位的進(jìn)率。如果規(guī)定最小單位為厘米，相鄰單位的進(jìn)率為10，則記10米以下的長(zhǎng)度時(shí)，也可以像省略計(jì)數(shù)單位一樣省略長(zhǎng)度單位。例如，3米5分米5厘米記為355也是清楚明白的。這時(shí)，若要把兩個(gè)長(zhǎng)度相加，只要對(duì)好位，就像兩個(gè)整數(shù)相加一樣了。如果兒童明白了這些規(guī)則，他們就懂得了355這個(gè)長(zhǎng)度中為什么兩個(gè)5所代表的長(zhǎng)度不相同，也不會(huì)把5分米5厘米寫成505。

以上的事實(shí)和分析啟示我們，計(jì)數(shù)單位是理解多位數(shù)記數(shù)法和四則運(yùn)算法則的關(guān)鍵。由此我們可以得出，多位數(shù)的認(rèn)識(shí)和四則運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)按以下步驟進(jìn)行：

1.首先，學(xué)習(xí)0至9的數(shù)碼。

2.其次，學(xué)習(xí)進(jìn)率為10的常見(jiàn)量的記量法，例如貨幣、長(zhǎng)度。記量法比記數(shù)法更為具體，是看得見(jiàn)、摸得著的，又與兒童的生活實(shí)際緊密聯(lián)系，因此兒童更易理解。并且學(xué)習(xí)記量法也為數(shù)碼及其計(jì)算提供了應(yīng)用的實(shí)例，使兒童看到數(shù)的用處，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣。

3.再次，學(xué)習(xí)保留計(jì)數(shù)單位的多位數(shù)及其計(jì)算。例如，35應(yīng)先寫作3十5個(gè)，在計(jì)算時(shí)也帶著計(jì)數(shù)單位進(jìn)行。

4.最后，在兒童對(duì)這種帶單位的數(shù)及其計(jì)算已熟悉后，再學(xué)習(xí)省略單位的多位數(shù)及其計(jì)算。

美國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)法專家J·W·海敦斯在談到位值時(shí)說(shuō)：“對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)抽象的、很難理解的概念?！睘榱藥椭鷥和斫膺@一概念，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)采用了多種直觀教具、學(xué)具，如中國(guó)的“數(shù)位器”、美國(guó)的“位值箱”等。即使如此，兒童仍常常出現(xiàn)把“一十五”寫成105，把37+25的結(jié)果算成512之類的錯(cuò)誤，在整數(shù)、小數(shù)加減法學(xué)習(xí)中的主要錯(cuò)誤也出在進(jìn)位和退位上。但是按照以上設(shè)計(jì)，有了第二步和第三步的學(xué)習(xí)，兒童將很容易理解所謂位值和進(jìn)位、退位的概念。實(shí)際上，位值的概念也就不需要了，而進(jìn)位和退位就相當(dāng)于名數(shù)的聚和化。原來(lái)的抽象性完全不存在了，變得具體、簡(jiǎn)單、明白。這一改變使整數(shù)記數(shù)法及其計(jì)算的教學(xué)真正科學(xué)、易懂，并能節(jié)省大量時(shí)間。

（作者單位：湖南第一師范學(xué)院）endprint