董正武

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何畫(huà)板；應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號(hào)】 1004—0463（2017）14—0113—01

引例：設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件x+y-2?0，

x-2y-2?0，

2x-y+2?0，若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為？

變式1.求z=（x+3）2+（y-3）2的取值范圍。

變式2.求在可行域內(nèi)整點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)。

一、幾何畫(huà)板課件的制作

（1）制作可行域。繪圖?定義坐標(biāo)系?繪制新函數(shù)?輸入-x+2?邊界x+y-2=0。分別輸入x-1與2x+2，繪制邊界x-2y-2=0與2x-y+2=0。

（2）依次兩兩選中邊界，構(gòu)造交點(diǎn)，度量坐標(biāo)，依次選擇三個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造三角形內(nèi)部。

（3）按照“文件?文檔選項(xiàng)?增加頁(yè)?復(fù)制”的流程，將第一頁(yè)復(fù)制，得到課件的第二、三、四頁(yè)。打開(kāi)第二頁(yè)，在x軸上構(gòu)造點(diǎn)D，過(guò)D做x軸的垂線(xiàn)j，在j上構(gòu)造點(diǎn)E， 隱藏j， 構(gòu)造線(xiàn)段DE，度量E點(diǎn)縱坐標(biāo)，將標(biāo)簽設(shè)置為a。同法構(gòu)造線(xiàn)段FG及G的縱坐標(biāo)z。在第二頁(yè)中按照“繪制新函數(shù)?輸入ax+z”的流程，得到y(tǒng)=ax+z的圖象，構(gòu)造y=ax+z與y軸的交點(diǎn)H。如圖1所示。

二、幾何畫(huà)板的使用

1. 引例的解決（截距模型與斜率模型相結(jié)合）。z=y-ax中的z為直線(xiàn)y=ax+z的縱截距，a為斜率。在第二頁(yè)課件中，上下拖動(dòng)點(diǎn)E改變a，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)繞著H旋轉(zhuǎn)。特別地，當(dāng)a<0時(shí)，直線(xiàn)為一、三象限走向，從左往右呈上升趨勢(shì)，當(dāng)a<0時(shí)，直線(xiàn)為二、四象限走向，從左往右呈下降趨勢(shì)，當(dāng)a增大時(shí)，直線(xiàn)繞著H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。上下拖動(dòng)點(diǎn)G改變z，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)在上下平行平移，特別地，當(dāng)z增大時(shí)，直線(xiàn)向上平移，當(dāng)z減小時(shí)，直線(xiàn)向下平移。

首先拖動(dòng)點(diǎn)G，使直線(xiàn)平行平移經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，此時(shí)z達(dá)到了最大值，即點(diǎn)B為z取得最大值的最優(yōu)解，此時(shí)最優(yōu)解是唯一的。其次拖動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)a=-1或a=2時(shí)，直線(xiàn)y=ax+z分別與邊界x+y-2=0或2x-y+2=0重合，z在線(xiàn)段AB或BC上的任意點(diǎn)處取得最大值，從而最優(yōu)解為無(wú)數(shù)個(gè)，不唯一。

2. 變式1的解決（距離模型）。方程z=（x+3）2+（y-3）2表示以（-3，3）為圓心（-3，3），半徑為的圓或點(diǎn)（-3，3）。打開(kāi)課件的第三頁(yè)，構(gòu)造點(diǎn)I（-3，3），選中“圓工具”，以I為圓心構(gòu)造圓，拖動(dòng)控制圓大小的點(diǎn)J，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓I與邊界2x-y+2=0相切時(shí)，半徑最小；當(dāng)圓I經(jīng)過(guò)點(diǎn)當(dāng)圓A時(shí)，半徑最大。于是分別利用點(diǎn)到線(xiàn)或點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，知（）min=，（）max=，所以?z?34。如圖2所示。

3. 變式2的解決。打開(kāi)課件的第四頁(yè)，分別構(gòu)造點(diǎn)（-2，0），（-1，0），（0，0），（1，0），（2，0），并過(guò)這些點(diǎn)構(gòu)造x軸的垂線(xiàn)，再構(gòu)造點(diǎn)（0，-1），（0，-2），（0，1），（0，2）并過(guò)這些點(diǎn)構(gòu)造y軸的垂線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)這些垂線(xiàn)之間形成了若干個(gè)交點(diǎn)（整點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)共有9個(gè)整點(diǎn)在可行域中。如圖3所示。

三、使用幾何畫(huà)板的利與弊

1. 節(jié)約時(shí)間的同時(shí)忽略了數(shù)學(xué)思維過(guò)程。教師使用幾何畫(huà)板進(jìn)行教學(xué)，可將在黑板上畫(huà)可行域的時(shí)間調(diào)整到課前，分散了教師的負(fù)擔(dān)與工作量，有效節(jié)約了時(shí)間，提高了課堂效率。但如果用幾何畫(huà)板直接給學(xué)生呈現(xiàn)畫(huà)好的可行域，會(huì)讓學(xué)生忽略了構(gòu)造可行域的數(shù)學(xué)過(guò)程，所以對(duì)于初學(xué)者，教師最好在利用幾何畫(huà)板時(shí)展現(xiàn)畫(huà)可行域的過(guò)程，而對(duì)于高三備考的學(xué)生而言，可直接呈現(xiàn)最終畫(huà)好的可行域。

2. 有助于提供思路但不能代替動(dòng)手計(jì)算。在本節(jié)課的教學(xué)中，通過(guò)對(duì)參數(shù)的控制，達(dá)到了動(dòng)態(tài)的視覺(jué)效果，使學(xué)生很容易地觀(guān)察到“平移、旋轉(zhuǎn)、擴(kuò)大”與參數(shù)的關(guān)系，從而使學(xué)生很容易地得到諸如“距離最大、截距最大”等問(wèn)題的條件。然而，最大（?。┲凳嵌嗌?，這需要學(xué)生的計(jì)算能力，所以不能因?yàn)槔脦缀萎?huà)板的輔助功能而忽略對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

3. 幾何畫(huà)板的使用建立在對(duì)數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)上。首先，課件的制作需要較為深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其次，幾何畫(huà)板將代數(shù)問(wèn)題幾何化，這就要求我們明確問(wèn)題中量的幾何意義。最后，“存在即合理”，要充分重視“數(shù)”與“形”的高度統(tǒng)一，要將觀(guān)察的圖形，能夠進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理。

編輯：謝穎麗endprint