乃芳玉

【摘要】基本不等式是高中數(shù)學中的一個重要知識點，高考必考，在選擇題，填空題，解答題中均有考查，常以一小一大的形式出現(xiàn)，分值在20分左右.高考中?？疾槔没静坏仁角笞兞炕虼鷶?shù)式的最值，具有靈活多變，技巧性強，應(yīng)用廣泛的特點.在教學實踐中，發(fā)現(xiàn)學生在應(yīng)用的過程中容易出錯，用基本不等式求最值時，對必備的三個條件的“一正、二定、三相等”不能有效的理解和應(yīng)用.對此，本人結(jié)合教學實踐談?wù)勛约旱淖龇?

【關(guān)鍵詞】基本不等式、條件、最值

中圖分類號：G633.6

【正文】

1 剖析基本不等式，領(lǐng)悟其本質(zhì)。

基本不等式的原型： （ ），當且僅當 時取到等號，其本質(zhì)是刻畫了兩個正數(shù)的“和”與“積”之間的不等關(guān)系，所以運用基本不等式解題的關(guān)鍵就是將“和”與“積”進行靈活轉(zhuǎn)換。

2 例題分析，逐個突破，理解“一正、二定、三相等”意義

2.1“一正”

例1 若 ，求 的最小值

變式 若 ，求 的最大值.

反思 利用基本不等式求最值，首先，就是驗證“ ”即“一正”，通過比較這兩個例題，可以有效幫助同學們理解其中的意義，“正”時可直接利用公式，“不正”時只要對代數(shù)式進行適當變形，確定誰是公式里的 ，也可以用公式求最值。

2.2“二定”

例2求 的最小值.

分析 本題在格式上與例1相似，按照公式的要求，如果直接把 看作公式里的 ，把 看作公式里的 ，那么“一正”滿足，但 不是定值，因此得不到 的最值，所以本題的關(guān)鍵是“積定”。

解：

當且僅當 ，即 時，取到等號。所以 的最小值為6

變式 已知

分析 前面我們分析過基本不等式的本質(zhì)，指出其本質(zhì)是兩個正數(shù)的“和”與“積”之間的不等關(guān)系，求“和”的最值時，“積”必須是定的，反之，求“積”的最值時“和”就必須是定的，本題是求“積”的最值，故尋求“和”定的關(guān)鍵。若直接把 看作公式里的 ，把 看作公式里的 ，顯然“正”滿足，但 不是定值，故需要做適當變形。

解：

取到等號，

反思 以上兩個題目突出了 “二定”這一特征，可以總結(jié)為積定和最小，和定積最大，為了突出這一特征，在選擇例題的時候，都是建立在“正”和“等”都滿足的基礎(chǔ)上，“不定”的時候通過適當?shù)淖冃巍?gòu)造，直到“定”為止。

2.3“三相等”

例3已知函數(shù) .

（1）若 ，當 = 時，函數(shù)取最小值為

（2）若 ，當 = 時，函數(shù)取最小值為

（3）若 ，當 = 時，函數(shù)取最小值為

分析 顯然（1）同時滿足“一正、二定、三相等”三個條件，當且僅當 ，即 （在定義域內(nèi)）時，函數(shù)取到最小值12。但對于（2）和（3），在它們的定義域內(nèi)沒有 ，因此 ，只滿足了“一正二定”，因此不能用基本不等式來求最值，但可借助對勾函數(shù)的單調(diào)性加以分析，得到最值，即因為函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以對于（2），當 時，函數(shù) 在 處取到最小值 ；對于（3），當 時函數(shù) 在 處取到最小值37.

反思 本題通過對同一個函數(shù)式在不同的定義域下求最值，突出了用基本不等式求最值時“等”這一條件的重要性。通過比較，學生就能很容易理解“三相等”的意義，在以后用公式時就不會輕易犯錯。

3、總結(jié)

對基本不等式的初次學習，學生們對“一正、二定、三相等”三個條件的含義往往是似懂非懂，尤其是對 “等”的理解多半是含糊不清，不管三七二十一，一看到倒數(shù)形式，不加以驗證，就直接用基本不等式，屢屢犯錯還不知所以。以上三個例題層層深入，逐個突破，能讓學生能夠充分理解了“一正、二定、三相等”三個條件的含義，解決了似懂非懂的局面，而且能為后期靈活運用基本不等式求更復(fù)雜的問題提供堅實的基礎(chǔ)保證。

參考文獻

[1]樓益平 取等號——活用基本不等式的一個著眼點，中學數(shù)學研究2006.””4

[2]張羽佳 均值不等式使用條件及其解題技巧 ，數(shù)學學習與研究2010，（24）endprint