李志朋

【摘 要】在小學數(shù)學教學中，設計好例證對于揭示數(shù)學概念的本質(zhì)屬性和數(shù)學規(guī)則的表征意義有著非常重要的作用。文章揭示了小學數(shù)學教師在例證設計過程中存在的常見誤區(qū)，并提出了對應的矯正策略：科學兼顧例證數(shù)量與質(zhì)量，合理選用肯定例證與否定例證，有效融通典型例證和變式例證。

【關(guān)鍵詞】例證設計；肯定例證；否定例證；典型例證；變式例證

【基金項目】本文系玉溪師范學院2016年校級教改項目“PCK視角下的小學教育專業(yè)師范生數(shù)學教學能力培養(yǎng)研究”（項目編號：201604）的階段性研究成果、玉溪師范學院轉(zhuǎn)型發(fā)展工程子項目——應用型本科建設項目“教師資格證‘國考背景下師范生教育類課程改革與教學技能訓練的實踐研究”的階段性研究成果。

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）24-0017-02

數(shù)學例證是指能夠說明或代表數(shù)學概念的本質(zhì)屬性和數(shù)學規(guī)則的表征意義的例子。在小學數(shù)學教學中，設計好例證具有非常重要的意義。然而，現(xiàn)實教學中，部分教師或源于對例證設計的重視不足，或源于對例證設計的某些原則的誤讀，導致小學數(shù)學教學在例證選擇和使用方面存在一些誤區(qū)。本文主要對小學數(shù)學教師在例證設計過程中存在的常見誤區(qū)進行分析并提出對應的矯正策略，以提升小學數(shù)學課堂教學效能。

一、常見誤區(qū)

1. 重例證數(shù)量輕例證質(zhì)量

例證的數(shù)量影響學生對概念或規(guī)則屬性的概括程度。例證太少，學生對與概念或規(guī)則相關(guān)的屬性往往理解不夠充分，就難以分析、比較、區(qū)分同類對象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。然而，假如認為只要在課堂上列舉大量例證就可以幫助學生形成概念或規(guī)則的豐富表象，從而使學生理解和掌握概念或規(guī)則，這種認識同樣是片面的。

案例1：教學“交換律”時，教師先呈現(xiàn)兩個一位數(shù)加一位數(shù)的例子（3+4=4+3，6+5=5+6），由此引出課題——加法交換律。接著讓學生每人再列舉3個類似的例子，囿于教師所列舉例證的單一性，絕大多數(shù)學生只列舉了簡單的一位數(shù)加一位數(shù)和一位數(shù)加兩位數(shù)的整數(shù)加法運算的例子。學生展示成果結(jié)束后，教師總結(jié)：“我發(fā)現(xiàn)每位同學列舉了3個例子，我們班一共有42名同學，加起來大家已經(jīng)列舉了120多個例子，這些例子都證明‘兩個加數(shù)交換位置，和不變。這個規(guī)律就叫作‘加法交換律?！?/p>

以上案例中的教師關(guān)注了例證的數(shù)量，讓學生運用大量例證來證明數(shù)學規(guī)則，卻忽視了所列舉例證的質(zhì)量問題，忽視了例證的廣泛代表性。這一方面容易導致學生對概念或規(guī)則的理解產(chǎn)生窄化現(xiàn)象。比如，以上案例的教學可能會使學生誤以為加法交化律這一規(guī)則僅適用于整數(shù)的加法運算之中；另一方面，這樣的教學不利于學生數(shù)理邏輯思維的發(fā)展，學生難以在學習過程中體會數(shù)學的嚴謹性，不利于引導學生有邏輯、全面地思考問題。

2. 重肯定例證輕否定例證

所謂“肯定例證”，也就是日常生活中的正例，即屬于概念或規(guī)則所代表的一類事物的例子?！胺穸ɡC”也就是日常生活中的反例，即不屬于概念或規(guī)則所代表的一類事物的例子?；谛W生以具體形象思維為主這一認知特點的考慮，小學數(shù)學教學中往往遵循“形象——抽象——形象”的教學模式，具體到數(shù)學概念或規(guī)則的教學中便為“例證——概念/規(guī)則——例證”的模式，這樣的教學模式對于小學生理解和掌握概念或規(guī)則有著非常重要的意義。然而，在實踐中，例證的選擇和使用方面也存在只重視肯定例證而忽視否定例證的現(xiàn)象，即更關(guān)注通過肯定例證幫助學生對概念或規(guī)則的本質(zhì)屬性的確證，而忽視通過否定例證對概念或規(guī)則的非本質(zhì)屬性的剔除。

重肯定例證輕否定例證的教學易導致學生對概念或規(guī)則作表面化、片面化的理解，學生往往在提取肯定例證的共同屬性時將一些概念或規(guī)則的非本質(zhì)屬性混雜其中，而忽視了概念或規(guī)則的本質(zhì)屬性的抽取。最典型的例子便是學生學習“圓”這一概念時，由于教師在教學過程中僅僅引導學生列舉生活中“圓”的肯定例證，如車輪、光盤等圓形物體表面，結(jié)果導致學生在頭腦中形成 “曲線圖形就是圓”這一片面化的理解。

3. 重典型例證輕變式例證

心理學研究表明：例證的典型性影響學生對概念屬性的發(fā)現(xiàn)。例證越典型，概念的本質(zhì)屬性越明顯，學生也越容易發(fā)現(xiàn)和概括?；诖?，教學中多數(shù)教師非常重視典型例證的使用，然而也有部分教師存在對這一發(fā)現(xiàn)的誤讀，只重視在教學中發(fā)揮典型例證的作用，而忽視變式例證的價值。

案例2：教學“垂直”這一概念時，一位教師先列舉生活中的“垂直”現(xiàn)象：書桌的一條邊與另一條邊互相垂直，黑板的一條邊與另一條邊互相垂直，墻面的一條邊和地板的一條邊互相垂直，等等。在所列舉現(xiàn)象的基礎(chǔ)上抽象出數(shù)學圖形“十”，讓學生形成“互相垂直”的兩條直線的表象，然后引導學生得出“互相垂直的兩條直線相交成90°”這一結(jié)論。

以上的教學中只關(guān)注了“垂直”的典型例證：水平方向的直線與鉛錘方向的直線互相垂直的現(xiàn)象，而忽視了“垂直”的變式例證：方向不是水平方向或鉛錘方向的兩條直線互相垂直的情況。這樣的教學容易限制學生的思維，使學生對概念或規(guī)則的理解狹隘化。如上述案例，在教學結(jié)束后，筆者訪談學生發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)學生頭腦中對“垂直”的理解僅限于“水平方向與鉛錘方向的兩條直線的關(guān)系”，而未真正抓住“相交成90°”這一概念的本質(zhì)屬性。

二、矯正策略

1. 科學兼顧例證數(shù)量與質(zhì)量

在小學數(shù)學教學中，為了幫助學生全面、深刻地理解概念或規(guī)則，在關(guān)注例證數(shù)量的同時也需要考慮例證的質(zhì)量，科學地兼顧數(shù)量與質(zhì)量。具體而言，在選擇和使用例證時，應關(guān)注例證的代表性和全面性。同樣以“交換律”教學為例，有的教師讓學生舉例時就通過設計“例子比較”這一環(huán)節(jié)，讓學生體會例證的代表性和多樣性。

案例3：教師呈現(xiàn)兩個學生所舉例子，問學生：“一位同學舉了8個例子，另一位同學只舉了3個例子，你們覺得老師更喜歡哪種呢？”endprint

學生在比較中發(fā)現(xiàn)：第二位同學雖然舉的例子數(shù)量少，但是較為豐富、全面。在此基礎(chǔ)上，教師又引導學生列舉分數(shù)加法運算和小數(shù)加法運算的例子，以此引導學生感受：在驗證數(shù)學概念或規(guī)則時，所舉的例子應具有代表性和全面性，進而引導學生感悟：數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科。

2. 合理選用肯定例證與否定例證

在教學中，將肯定例證與否定例證相結(jié)合，有利于學生更好地理解數(shù)學概念或規(guī)則。在教學“圓”這一概念時，如果列舉了一些“圓”的肯定例證之后，教師能適時地引入“橢圓”這一否定例證，就有助于學生剔除“曲線”這一非本質(zhì)屬性，從而進一步把握“圓”這一概念的本質(zhì)屬性。

在將肯定例證與否定例證相結(jié)合時，需要注意否定例證的呈現(xiàn)時機。一般而言，否定例證在學生對概念或規(guī)則有了一定理解的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)，效果較好。如果在學生初步接觸概念或規(guī)則時就呈現(xiàn)否定例證，有可能使錯誤觀念先入為主，對概念或規(guī)則的理解產(chǎn)生干擾。除此之外，選擇和使用否定例證時，還需注意應盡可能選擇和使用那些具有一定迷惑性的否定例證，因為這樣的否定例證更容易產(chǎn)生認知沖突，能幫助學生剔除概念或規(guī)則中的非本質(zhì)屬性，進一步把握其本質(zhì)屬性。

3. 有效融通典型例證和變式例證

典型例證重在讓學生把握概念的內(nèi)涵，變式例證更有利于幫助學生拓展概念的外延。在小學數(shù)學教學中，先呈現(xiàn)若干典型例證，保證其相同的屬性；再呈現(xiàn)若干變式例證，使無關(guān)特征在不斷變化的同時總保持本質(zhì)特征不變。這樣的教學有利于學生把握概念的本質(zhì)屬性和規(guī)則的運用范圍。例如，教學“垂直”這一概念時，學生建立了“十”的表象之后，呈現(xiàn)方向不是水平方向或鉛錘方向的兩條直線互相垂直的情況，提出疑問：“這樣的兩條是否互相垂直？”引導學生思考：判斷兩條直線是否互相垂直的標準是“兩條直線是否相交成90°”。在學習過程中，學生不被圖像的表象所迷惑，而關(guān)注事物的本質(zhì)特征，達到對概念或規(guī)則全面、深刻的理解。

例證是影響學生學習數(shù)學概念、規(guī)則的重要因素，它是學生感知、概括數(shù)學概念和規(guī)則的重要載體。因此，在小學數(shù)學課堂教學中，需要教師根據(jù)數(shù)學概念的本質(zhì)屬性、數(shù)學規(guī)則的表征意義，科學地選擇和設計呈現(xiàn)給學生的例證，兼顧例證的數(shù)量和質(zhì)量，充分選用肯定例證、否定例證、典型例證和變式例證，以此提升數(shù)學課堂教學的效能。

參考文獻：

[1] 黃偉星.數(shù)學概念教學過程中的例證設計[J].教育研究與評論（小學教育教學），2010，（4）：27-29.

[2] 林武.小學數(shù)學概念教學——行與思[M].北京：教育科學出版社，2014：159.

（編輯：易繼斌）endprint