張銘浩(北京師范大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100052)

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真空管道空氣制動系統(tǒng)的模型設(shè)計(jì)——空氣阻力系數(shù)的計(jì)算與恒定空氣阻力的模型設(shè)計(jì)

張銘浩
(北京師范大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100052)

真空管道運(yùn)輸指在氣壓為小于等于0.5 atm的氣密性良好的密閉管道內(nèi)運(yùn)行磁懸浮列車，空氣制動系統(tǒng)是指僅利用空氣阻力實(shí)現(xiàn)車體減速的系統(tǒng).將通過動量守恒定律推導(dǎo)制動時的空氣阻力公式，并提出一種利用空氣阻力制動的真空管道系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案，給出一定的理論計(jì)算.

動量守恒定律 空氣阻力 真空管道運(yùn)輸

1 引言

真空管道空氣制動系統(tǒng)中，空氣阻力的分析是一類非常復(fù)雜的物理問題，即使是近代物理也很難用一個簡潔漂亮的方程統(tǒng)一描寫所有情況下的流體問題.本文主要通過對不同車頭形狀造成的空氣分子散射的分析,根據(jù)動量守恒關(guān)系,計(jì)算制動時阻力的基本形式,設(shè)計(jì)通過控制減速區(qū)段的空氣密度使車體受到恒定的空氣阻力的模型.對于空氣介質(zhì)，本文將考慮粘滯和漩渦忽略不計(jì)的情況.

2 對于制動時空氣阻力系數(shù)的理論推導(dǎo)

我們知道空氣阻力與相對速度的平方成近似的正比關(guān)系，而對于不同的迎風(fēng)面形狀，阻力系數(shù)會有很大的差別.當(dāng)一個物體以速度v在密度為ρ的均勻介質(zhì)中勻速運(yùn)動時，它所受到的阻力可以寫為

f=ερv2

其中ε為與運(yùn)動物體形狀有關(guān)的系數(shù)，稱為空氣阻力系數(shù).研究一個實(shí)際問題，空氣阻力系數(shù)不會像解題一樣在題干中給出，所以對于不同的車頭形狀，阻力系數(shù)需要從造成阻力這一過程的本身出發(fā).下面介紹應(yīng)用封閉理學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的動量守恒定律[1]來計(jì)算兩種不同車頭形狀阻力系數(shù)的推導(dǎo)過程.

2.1球面的阻力系數(shù)

考慮一個在空氣中以恒定速度v運(yùn)動的半徑為R的球體，因?yàn)榍驅(qū)ΨQ性，所以考慮分子碰撞速度變化只需要一個自由度，即速度矢量和撞擊點(diǎn)到球心連線的夾角θ.如圖1所示，以球面的球心為原點(diǎn)建立平面極坐標(biāo)系.考慮θ到θ+dθ角度對應(yīng)的球體的微分表面，因?yàn)槿肷浣嵌认嗤?，假設(shè)空氣分子與球體表面的碰撞為完全彈性碰撞，則撞擊到整個圓環(huán)上的空氣分子動量改變都相同.根據(jù)這一特點(diǎn)，即可計(jì)算出這個角度對應(yīng)的一個圓環(huán)與空氣分子碰撞后，車體的動量改變.

圖1 通過動量守恒定律計(jì)算球面的阻力系數(shù)

dθ角所對弧dL=Rdθ對應(yīng)的截面積

dS=2πR2sinθcosθdθ

假設(shè)單位體積空氣分子數(shù)為n，管道中車體速度為v，則在dt時間內(nèi)，應(yīng)該有N個空氣分子撞上車

指導(dǎo)教師：邵華(1982- )，男，博士，主要從事競賽輔導(dǎo)工作.

頭迎風(fēng)面.

N=nvdtdS

單個分子的動量改變量為

Δp=mv(1-cos 2θ)

這里假設(shè)所有空氣分子的質(zhì)量均相同，m為每個空氣分子的質(zhì)量.空氣分子總動量的改變量就等于單個分子的動量改變量乘以分子個數(shù).聯(lián)立以上各式，得此時的總動量變化

dp(θ)=2πR2nmv2sinθ·
cosθ(1-cos 2θ)dtdθ

(1)

則車體受迎風(fēng)面空氣阻力為

(2)

取車體運(yùn)動方向?yàn)檎较?，從?2)可以看出運(yùn)動球體的阻力系數(shù)ε1=-πR2.

2.2整流罩型面(Haack函數(shù)族，馮·卡門曲線)的空氣阻力系數(shù)

馮·卡門曲線屬于Haack族曲線中的一種.它描述了在給定某些參數(shù)(長度、直徑或體積)的前提下，空氣阻力最低的曲線.在中國航天工程中，長征二號F運(yùn)載火箭的整流罩就應(yīng)用了馮·卡門曲線.這里我們考慮一個截面半徑R=1 m，長度L=2 m的馮·卡門曲線,如圖2(a)所示.這時截面半徑關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)可寫為

(3)

與球面的流體阻力分析相似，取微分截面

dS=2πrdr

根據(jù)截面方程的導(dǎo)函數(shù)可以得到每一個x位置(x∈[0,2])的切線斜率，如圖2(b)所示，進(jìn)而可得切線與橫軸的夾角.馮·卡門曲線式(3)的導(dǎo)數(shù)

(4)

圖2

在x處取值，便可得到該位置散射角

θ(x)=acrtanr′(x)

圖3 散射角以及單個分子碰撞的動量變化

假設(shè)單位體積空氣分子數(shù)n，車體速度為v，在dt時間內(nèi)，將有N個分子撞上該微分截面.

N=nvdt2πr(x)dr(x)

該時間里總動量的變化

總動量對時間的一階導(dǎo)函數(shù)即為空氣阻力

將各函數(shù)表達(dá)式代入，取車體運(yùn)動方向?yàn)檎较?，得到定積分項(xiàng)的具體函數(shù)值為-1.21280(單位：m2),即為馮·卡門曲線型車頭的空氣阻力系數(shù)，記作ε2.從中我們可以看到以馮·卡門曲線做為迎風(fēng)面時的空氣阻力大約為相同截面積的球體的三分之一.

圖4 利用幾何畫板定積分功能求定積分值(陰影面積為定積分值)

2.3小結(jié)

討論迎面碰撞，可以得到較為簡單的阻力形式，空氣阻力公式可以寫成

F(ρ,v)=ερv2

(5)

在后文空氣制動系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中則需要討論空氣密度變化時的車體阻力變化.系統(tǒng)分析與大量實(shí)驗(yàn)測量給出的結(jié)果是：空氣阻力關(guān)于速度的函數(shù)應(yīng)為

圖5 正比于速度平方阻力的速度-時間和位置-時間圖像f(v)=αv+βv2

其中一次項(xiàng)為接觸面與空氣摩擦生熱帶來的阻力，高次項(xiàng)為碰撞帶來的阻力.當(dāng)速度足夠大時，高次項(xiàng)的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于低次項(xiàng).因此，本文章中可以將由于粘滯和熱傳導(dǎo)所帶來的阻力忽略不計(jì).工程中，由于粘滯和熱傳導(dǎo)帶來的阻力需要更進(jìn)一步的討論，必要時需進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)測定以提高工程的準(zhǔn)確性.

只在這種正比于速度平方的阻力影響下，物體的速度-時間圖像與位置-時間圖像如圖5(a)與(b)所示.

3 對真空管道空氣制動系統(tǒng)的初步設(shè)計(jì)

3.1制動區(qū)段的簡介

如圖6所示，在真空管道末端設(shè)立一個可獨(dú)立密閉的減速區(qū)段，該區(qū)段通過填充空氣提供減速時的阻力，通過改變充氣孔空氣流速來調(diào)節(jié)區(qū)段內(nèi)空氣密度，進(jìn)而使阻力保持恒定.運(yùn)行區(qū)段和制動區(qū)段的連接處通過密封性良好的閥門系統(tǒng)連接，使得該充氣區(qū)段的氣體不流入管道的真空部分中.

圖6 制動區(qū)段簡圖

3.2氣孔空氣流速的計(jì)算

制動系統(tǒng)需要通過改變空氣密度來控制阻力的恒定.引入了空氣密度的變化，阻力就變成了關(guān)于密度、相對速度的二元函數(shù)式(5).

根據(jù)需要，令其中F為常量，即F=ma(m因車體材料不同而不同).

若考慮加速度a=5 m/s2，管道直徑d=3 m，則減速區(qū)域理論長度和體積為

假設(shè)車體的質(zhì)量為10 t，選擇馮·卡門曲線作為車頭形狀，所需要的空氣密度ρ是一個關(guān)于時間的函數(shù)

若設(shè)置n個氣孔，則每個氣孔的空氣流速為

其中ρ0是氣囊中空氣的密度(假設(shè)充氣不影響氣囊中空氣密度).將氣孔呈輻射對稱狀均勻分布在管道上，可以減少充氣時帶來的車體震動.減速初期，空氣流速應(yīng)逐漸變大，從而使車體的加速度不存在突變現(xiàn)象.

3.3對動力系統(tǒng)的簡要說明

動力系統(tǒng)可設(shè)置為上下兩層超導(dǎo)磁懸浮軌道，如圖7所示，雙層軌道可提升車輛的穩(wěn)定性.

1 朗道.理論物理學(xué)教程(第一卷)力學(xué)(第5版).北京：高等教育出版社,1987

2 張耀平.ETT:處在科技前沿的下一代運(yùn)輸方式.綜合運(yùn)輸,2004(3):15～19

3 張晨愛,李瑞琴，梅瑛，等.卡門曲線回轉(zhuǎn)體旋壓工藝參數(shù)優(yōu)選試驗(yàn)研究.機(jī)械設(shè)計(jì)與研究,2008,24(1):72～74

4 趙珊.馮·卡門曲線：妙曼身姿罩護(hù)天宮.中國航天報(bào),2011-09-30(04)

圖7 動力系統(tǒng)的截面簡圖

2017-01-16)

張銘浩(2001- )，男，在讀高中生.