文︳胡重光

中國古代記數(shù)法及其數(shù)學教育意義

文︳胡重光

談到中國古代數(shù)學，不由得對我國不久前去世的著名數(shù)學家吳文俊先生產(chǎn)生深深的懷念。他是第一位認識到中國古代數(shù)學的特點和重大意義的數(shù)學家。1992年，在《紀念李儼錢寶琮誕生100周年國際學術(shù)研討會賀詞》中，他對中國古代數(shù)學作了如下的評價：“中國傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展，自有其與西方迥異的途徑與體系。位值制是我國獨有的重大創(chuàng)造。奠基其上的各種算法化的計算方法，是我國傳統(tǒng)數(shù)學的特點之一，通過天元的引進，并使一些幾何問題也可有系統(tǒng)地化為方程問題進行算法化的處理。近代數(shù)學之所以凌駕于以往數(shù)學之上，一個關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折點是解析幾何的創(chuàng)立……使艱澀難行的歐幾里得式演繹推理轉(zhuǎn)化為易于駕馭的單純計算，而這正是我國傳統(tǒng)數(shù)學的特色與所遵循的基本道路……”

本文僅就我國獨創(chuàng)的位值制記數(shù)法進行一個初步的探討。

我們現(xiàn)在的記數(shù)法全稱叫“十進位值制記數(shù)法”。采用這種記數(shù)法，只用10個符號，就可以記下無論多大的數(shù)（從理論上說），并且書寫和計算都十分簡便，以至于馬克思稱之為“人類最妙的發(fā)明之一”。但是這一發(fā)明不是一蹴而就的，而是經(jīng)歷了漫長的發(fā)展時期。記數(shù)法的發(fā)展史包含深刻的數(shù)學思想，對數(shù)學教育有重要的啟發(fā)作用。

人類最初的記數(shù)法，按使用的符號的性質(zhì)，可大致分為三類。第一類是用專門的符號來記數(shù)的，古埃及、巴比倫和瑪雅人的記數(shù)法都屬于這一類。

埃及：

1 10 100 1000 10000 100000

413（古埃及數(shù)字是從右往左寫的）

巴比倫

巴比倫人的文字是刻在泥板上的，因此呈楔形，有趣的是1和60的符號只有大小的不同。古埃及的記數(shù)法是以10為基的，巴比倫的記數(shù)法則是以60為基的。瑪雅人的記數(shù)法的主要特點是使用了一個專門代表20的符號，形狀像一個人的面部，并且是以20為基的。所有這些符號都是特別造出來用于記數(shù)的。

第二類是用現(xiàn)成的字母來記數(shù)，古希臘、羅馬、印度的記數(shù)法都屬于這一類。希臘字母有27個，古希臘人用頭9個字母代表1到9的數(shù)，中間9個字母代表10到90的數(shù)，末9個字母代表100到900的數(shù)。古羅馬人的記數(shù)法現(xiàn)在還常用來標記順序，他們只用7個大寫字母記數(shù)，并有一套記數(shù)規(guī)則：相同的字母排在一起表示相加；較小的數(shù)排在較大的數(shù)的左邊表示相減，排在右邊表示相加；在一串數(shù)字的右下方加一個m，則表示把這個數(shù)擴大1000倍。例如，29635用古羅馬記數(shù)法寫成：XXIXmDCXXXV。

M·克萊因的《古今數(shù)學思想》上載有公元前3世紀后印度的一套記數(shù)符號（如圖所示）。

他認為“這一組記號的出色之處是它給1到9的每個數(shù)都有單獨的記法”，并推測“這種寫法也許是由于以該數(shù)名稱的第一個字母來代替它而產(chǎn)生的”。如果他的推測正確，則這種記數(shù)法也屬于第二類。

這兩類記數(shù)法的一個共同特點是，都用重復(fù)書寫某一個符號的方法表示更大的數(shù)。例如，要表示500，就要把表示100的符號寫5次。數(shù)學史家稱之為“加法累數(shù)制”。這種方法有兩個缺點：一是書寫很長，很大的數(shù)幾乎難以記數(shù)；二是計算非常困難，即使專家也很難掌握。例如，古羅馬記數(shù)法用M代表1000，要寫一百萬，就要寫1000個M。

第三類是中國古代和受其影響的亞洲一些地區(qū)的記數(shù)法。據(jù)錢寶琮的研究，殷墟甲骨文中有以下13個記數(shù)符號（如圖所示）。

前面四個是專門的記數(shù)符號，五、六、七、八、九都是假借字，即借用漢字來表示數(shù)。如原是“午”字。百、千二字來歷不明，“萬”字是“蠆”的初字，像一個蝎子。6和100都有兩種寫法。

十、百、千、萬的倍數(shù)的記法如圖所示。

容易看出，20、30、40的記法也是采用重復(fù)同一個符號的方法，但50～80的記法則不同，明顯是兩個符號的合文。對比前面的100、1000、10000的記法可看出，幾百、幾千、幾萬的記法也是合文，即用1～9的數(shù)字與表示百、千、萬的符號合起來記數(shù)，寫成一個單字，但讀起來還是兩個音節(jié)。例如，甲骨文“八日辛亥允”中的數(shù)字是二千六百五十六。數(shù)學史家稱之為“乘法累數(shù)制”，其實沒有揭示其本質(zhì)。

與前兩類記數(shù)法比較后可以發(fā)現(xiàn)，在古埃及記數(shù)法中，十、百、千、萬的符號是數(shù)字，而在中國古代記數(shù)法中，這些符號不是數(shù)字，而是計數(shù)單位。中國古代的記數(shù)符號分為兩類：數(shù)字符號和單位符號。10以上的數(shù)要用兩種符號結(jié)合起來記，例如，500記為“五百”不用把“百”的符號連寫五次。這樣，不但記數(shù)很簡單，而且計算時只要對相同計數(shù)單位的量數(shù)作計算就可以了，所有的計算都歸結(jié)為10個數(shù)碼的計算，十分簡便。在甲骨文中，數(shù)字符號和單位符號是合寫在一起的。以后的記數(shù)法已不用合文，例如，8620記為“八千六百二十”。除了沒有“零”外，與現(xiàn)代漢語的記法已沒有什么區(qū)別。

中國很早就有了系統(tǒng)的計數(shù)單位，《國語·鄭語》記載史伯對鄭桓公說：“合十數(shù)以訓百體，出千品，具萬方，計億事，材兆物，收經(jīng)入，行女亥極?！边@段話清楚地表明，中國古代的記數(shù)法使用了計數(shù)單位，其中十、百、千、萬、億、兆、經(jīng)、女亥都是十進的計數(shù)單位。采用這種記數(shù)法，很自然地把一個數(shù)字的各計數(shù)單位按從大到小的順序排列，很有規(guī)律。

采用計數(shù)單位是十進位值制記數(shù)法發(fā)展的關(guān)鍵一步。奇怪的是，在眾多的古代文明中，只有中國古代文明做到了這一點。

到公元前2世紀之后，中國的記數(shù)法又有了新的發(fā)展，出現(xiàn)了算籌記數(shù)法。這種記數(shù)法采用小竹棍來擺數(shù)字，其記數(shù)符號與以前的很不相同，并有縱式和橫式兩種：

記數(shù)時縱式和橫式交替使用?！断暮铌査憬?jīng)》記載了算籌的擺法：一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張。

它的一個重大進步是省略了計數(shù)單位。例如，八千六百零二十一用算籌擺出來是，百位上是空位，不放算籌。把它與86021比較可以發(fā)現(xiàn)，算籌記數(shù)除了沒有數(shù)碼0之外，與現(xiàn)在的十進位值制記數(shù)法只有符號不同這一個差別?？梢哉f，它就是一種十進位值制記數(shù)法。

省略計數(shù)單位是十進位值制記數(shù)法發(fā)展的又一關(guān)鍵，而且十分巧妙：單位雖然沒有了，但它的作用還在，而記數(shù)法卻大大簡化了，達到了完美的地步。

如果我們把算籌體的數(shù)字寫在紙上就會發(fā)現(xiàn)，表示0的空位很容易出錯或誤解，特別是幾個0連在一起時，于是用一個符號表示空位就大有必要了。我國古代通常用□表示空位，為了書寫快捷，把□寫成0是很自然的。由此看來，0的采用，應(yīng)該是中國古代記數(shù)法合乎邏輯的發(fā)展結(jié)果。西方數(shù)學史家一般認為0是印度人發(fā)明的，但是至今無人對發(fā)明的過程作出合乎邏輯的說明，雖然古印度數(shù)學對0的特點（如不能做除數(shù)）做了一些研究，但這并不能作為發(fā)明0這個符號的證明。

由算籌記數(shù)法又發(fā)展出珠算（珠算產(chǎn)生的年代已很難確定，中國有關(guān)算盤的記載最早出現(xiàn)在3世紀前后的《數(shù)術(shù)記遺》一書），珠算的記數(shù)法與算籌記數(shù)法基本相同，但珠算計算速度極快。算盤是中國古代最優(yōu)秀的計算工具，它在數(shù)學教育上的價值更是寶貴的。

回顧記數(shù)法的發(fā)展過程我們看到，記數(shù)法經(jīng)歷了最初不用計數(shù)單位，進而采用計數(shù)單位，最后又省略計數(shù)單位這樣一個“否定之否定”的發(fā)展過程。計數(shù)單位在記數(shù)法的發(fā)展中起到了決定性的作用。美國著名科普作家I·阿西莫夫說“從無開始計數(shù)”，意思是0是記數(shù)法的關(guān)鍵數(shù)碼。以上分析表明，0的產(chǎn)生是省略計數(shù)單位的結(jié)果，因此單位才是記數(shù)法的關(guān)鍵因素，應(yīng)該說“從單位開始計數(shù)”。

進一步還可發(fā)現(xiàn)，記數(shù)法與記量法是一致的，計數(shù)單位相當于計量單位。例如，長度的記量就是先確定一系列長度單位：毫米、厘米、分米、米……以及相鄰單位的進率。如果規(guī)定最小單位為厘米，相鄰單位的進率為10，則記10米以下的長度時，也可以像省略計數(shù)單位一樣省略長度單位。例如，3米5分米5厘米記為355也是清楚明白的。這時，若要把兩個長度相加，只要對好位，就像兩個整數(shù)相加一樣了。如果兒童明白了這些規(guī)則，他們就懂得了355這個長度中為什么兩個5所代表的長度不相同，也不會把5分米5厘米寫成505。

以上的事實和分析啟示我們，計數(shù)單位是理解多位數(shù)記數(shù)法和四則運算法則的關(guān)鍵。由此我們可以得出，多位數(shù)的認識和四則運算的教學應(yīng)按以下步驟進行：

1.首先，學習0至9的數(shù)碼。

2.其次，學習進率為10的常見量的記量法，例如貨幣、長度。記量法比記數(shù)法更為具體，是看得見、摸得著的，又與兒童的生活實際緊密聯(lián)系，因此兒童更易理解。并且學習記量法也為數(shù)碼及其計算提供了應(yīng)用的實例，使兒童看到數(shù)的用處，增強他們的學習興趣。

3.再次，學習保留計數(shù)單位的多位數(shù)及其計算。例如，35應(yīng)先寫作3十5個，在計算時也帶著計數(shù)單位進行。

4.最后，在兒童對這種帶單位的數(shù)及其計算已熟悉后，再學習省略單位的多位數(shù)及其計算。

美國數(shù)學教學法專家J·W·海敦斯在談到位值時說：“對于兒童來說，這是一個抽象的、很難理解的概念。”為了幫助兒童理解這一概念，小學數(shù)學教學采用了多種直觀教具、學具，如中國的“數(shù)位器”、美國的“位值箱”等。即使如此，兒童仍常常出現(xiàn)把“一十五”寫成105，把37+25的結(jié)果算成512之類的錯誤，在整數(shù)、小數(shù)加減法學習中的主要錯誤也出在進位和退位上。但是按照以上設(shè)計，有了第二步和第三步的學習，兒童將很容易理解所謂位值和進位、退位的概念。實際上，位值的概念也就不需要了，而進位和退位就相當于名數(shù)的聚和化。原來的抽象性完全不存在了，變得具體、簡單、明白。這一改變使整數(shù)記數(shù)法及其計算的教學真正科學、易懂，并能節(jié)省大量時間。

（作者單位：湖南第一師范學院）