文︳鄧友祥

高級(jí)數(shù)學(xué)思維及其培養(yǎng)策略（下）

文︳鄧友祥

4高級(jí)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)策略

實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)思維由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展，既不能采用拔苗助長(zhǎng)的辦法，也不能消極等待。數(shù)學(xué)教學(xué)要借鑒數(shù)學(xué)家獲得數(shù)學(xué)概念、原理時(shí)的思維活動(dòng)過(guò)程，分析學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，并據(jù)此設(shè)計(jì)教學(xué)情境，這樣才能符合學(xué)生的思維活動(dòng)規(guī)律[17]。這也就是指，數(shù)學(xué)教學(xué)要不斷促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展，關(guān)鍵在于如何針對(duì)高級(jí)數(shù)學(xué)思維的基本內(nèi)涵、核心要素和主要特征，采取有效的教學(xué)對(duì)策，不斷引發(fā)學(xué)生進(jìn)行有效的深度數(shù)學(xué)思考。

4.1 發(fā)展學(xué)生的邏輯結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)有其內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，是一個(gè)有機(jī)的整體?！爸饾u形成和發(fā)展學(xué)生的作為數(shù)學(xué)活動(dòng)基礎(chǔ)的那些邏輯結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的手段”[6]。同時(shí)，這也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平上層次的重要前提。這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解，最大限度地以推理的邏輯結(jié)構(gòu)駕馭其內(nèi)容，對(duì)任何數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，不僅要使學(xué)生了解其本身的規(guī)定和含義，而且要將其與其他知識(shí)作縱橫比較，使之納入學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在橫向方面，要引導(dǎo)學(xué)生比較知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系，以有助于學(xué)生把頭腦里的知識(shí)形成合理的邏輯結(jié)構(gòu)；在縱向方面，要致力于揭示知識(shí)間的上下從屬關(guān)系，弄清知識(shí)的序與流，從而有助于學(xué)生深刻理解和掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。

比如，教函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，如果學(xué)生從具體實(shí)例出發(fā)，通過(guò)思考，僅能概括得出增（減）函數(shù)的定義，則學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)還沒(méi)有上升到邏輯層面，其數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為低級(jí)。此時(shí)，教師有必要將學(xué)生的思維引向深入，得到如下更加概括化的知識(shí)：對(duì)屬于所研究區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1，x2，若（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0（＜0），則f（x）為增（減）函數(shù)。這樣教學(xué)，能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于較高的概括化程度，有助于學(xué)生逐步形成整體聯(lián)系觀，發(fā)展其邏輯結(jié)構(gòu)，促使其數(shù)學(xué)思維向高層次發(fā)展。

4.2 提高學(xué)生的問(wèn)題表征水平

研究表明，問(wèn)題的適當(dāng)表征與問(wèn)題的成功解決之間存在正相關(guān)[18]；不當(dāng)表征與解題成績(jī)成負(fù)相關(guān)[19]。由此看來(lái)，數(shù)學(xué)問(wèn)題表征是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的核心和關(guān)鍵。這是學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平上層次的重要基礎(chǔ)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)問(wèn)題表征是指根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題所提供的信息和自身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己的問(wèn)題空間的過(guò)程，也是把外部的物理刺激轉(zhuǎn)化為內(nèi)部心理符號(hào)的過(guò)程。要促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平上層次，就必須不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征水平。

學(xué)生能適當(dāng)表征所給的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其前提是要理解數(shù)學(xué)。因此，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題表征水平，重在加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字、符號(hào)、圖形、表格等）表達(dá)能力的培養(yǎng)，進(jìn)行文字與符號(hào)、符號(hào)與圖形等之間的互譯，加強(qiáng)定理證明、問(wèn)題解決思路等說(shuō)題訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次不斷提升，加深對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

有必要指出的是，數(shù)學(xué)問(wèn)題表征水平與學(xué)習(xí)者的個(gè)體差異密切相關(guān)。同一數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)不同的學(xué)習(xí)主體來(lái)說(shuō)，會(huì)有不同的表征，因而也就會(huì)呈現(xiàn)出不同的學(xué)習(xí)結(jié)果和數(shù)學(xué)思維水平。但不等于說(shuō)，學(xué)生的年級(jí)越高、知識(shí)掌握越多，其數(shù)學(xué)問(wèn)題表征水平就越高，數(shù)學(xué)思維就肯定是高級(jí)的。比如，關(guān)于“求|x+2|+|x-5|的最小值”問(wèn)題，對(duì)具有豐富數(shù)學(xué)知識(shí)的高中學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)論采用代數(shù)表征還是幾何表征來(lái)解，其數(shù)學(xué)思維都算不上高級(jí)；但對(duì)初中學(xué)生而言，若能采用如下幾何表征來(lái)解，即依據(jù)絕對(duì)值概念的幾何意義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在數(shù)軸上尋求一點(diǎn)，使其到A、B（分別對(duì)應(yīng)數(shù)-2、5）兩點(diǎn)的距離之和最小”的簡(jiǎn)單問(wèn)題，則反映其能超越常規(guī)思維，合理調(diào)配和有機(jī)重組已有知識(shí)等信息資源，并能選擇合理的問(wèn)題解決策略，此時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)就是高級(jí)的。

4.3 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”能力

弗賴登塔爾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造’，這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實(shí)上就是這樣的‘再創(chuàng)造’過(guò)程，我們?cè)诖瞬⒎鞘且獧C(jī)械地去重復(fù)歷史中的‘原始創(chuàng)造’，而應(yīng)根據(jù)自己的體驗(yàn)并用自己的思維方式重新創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)?！保?0］學(xué)生實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)思維由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展的過(guò)程。“數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)時(shí)，所選擇的問(wèn)題及安排的數(shù)學(xué)活動(dòng)不但要適合于學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平，更應(yīng)該考慮到促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向下一個(gè)數(shù)學(xué)思維階段發(fā)展。換而言之，就是既要考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學(xué)思維發(fā)展的潛力?！保?7］因此，要實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”，應(yīng)適當(dāng)加大數(shù)學(xué)知識(shí)難度和滲透科學(xué)認(rèn)識(shí)的教學(xué)，重視學(xué)生對(duì)科學(xué)方法的掌握及對(duì)科學(xué)價(jià)值的理解，加強(qiáng)學(xué)生整理知識(shí)和重組知識(shí)能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能從知識(shí)材料間的問(wèn)題和矛盾中不斷探索、發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的深化和發(fā)展。

為了避免教學(xué)中的低級(jí)思維，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展，根據(jù)維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)不能僅憑教師的想象，而應(yīng)是學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”中的問(wèn)題，使學(xué)生有進(jìn)一步推廣和思考的余地，以有利于其實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。比如，教數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，在學(xué)生完成練習(xí)“已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng)”后，筆者曾讓學(xué)生逆向思考如下問(wèn)題：根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)0，1，0，1寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。結(jié)果學(xué)生得到如下幾個(gè)答案：（1）抓住數(shù)列的奇偶項(xiàng)特征得到聯(lián)想指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)得依據(jù)三角函數(shù)的周期性等知識(shí)得綜合運(yùn)用上述知識(shí)得。上述結(jié)果中，僅得出（1）的學(xué)生，其數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)是低級(jí)的；能得出（2）（3）（4）結(jié)果者，反映其合理調(diào)配并整合已有數(shù)學(xué)知識(shí)的能力較強(qiáng)，數(shù)學(xué)思維有一定的創(chuàng)造性并表現(xiàn)為高級(jí)。這說(shuō)明，只要給學(xué)生提供合適的問(wèn)題空間，便能有效激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能。

4.4 加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維自我監(jiān)控能力的培養(yǎng)

研究表明，優(yōu)等生和中等生在問(wèn)題解決上所表現(xiàn)出來(lái)的差異主要來(lái)源于思維策略上的差異，優(yōu)等生在問(wèn)題空間的搜索中，更善于捕捉啟發(fā)信息，能更快地從試誤策略轉(zhuǎn)化為啟發(fā)式搜索策略。進(jìn)行思維策略訓(xùn)練的重要任務(wù)，就是要加強(qiáng)學(xué)生元認(rèn)知控制能力的培養(yǎng)。元認(rèn)知控制是對(duì)認(rèn)知行為的管理和控制，是主體在進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)的過(guò)程中，將自己正在進(jìn)行的認(rèn)知活動(dòng)作為意識(shí)對(duì)象，不斷地對(duì)其進(jìn)行積極、自覺(jué)的監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)[21]。加強(qiáng)學(xué)生元認(rèn)知控制能力培養(yǎng)的關(guān)鍵，就是要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維自我監(jiān)控能力的培養(yǎng)。這就要求平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師應(yīng)有目的、有計(jì)劃、有意識(shí)地引導(dǎo)和指導(dǎo)學(xué)生在有效完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，清醒地認(rèn)識(shí)到自己應(yīng)該做什么、何時(shí)做、如何做，學(xué)生則在不斷進(jìn)行思維自我監(jiān)控和調(diào)節(jié)的過(guò)程中，促使自身的數(shù)學(xué)思維逐步由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展。

4.5 加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的培養(yǎng)

做數(shù)學(xué)是目前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要觀點(diǎn)，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)、理解和反思的過(guò)程[22]。這里的做數(shù)學(xué)，不能簡(jiǎn)單地理解為解數(shù)學(xué)題，它指的是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所經(jīng)歷的一系列數(shù)學(xué)過(guò)程，具體包括觀察、分類、比較、分析、綜合、抽象、概括、猜想、論證、反思、評(píng)判等數(shù)學(xué)活動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)出發(fā)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行深入研究，重視引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行批判性回顧，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低級(jí)向高級(jí)發(fā)展。

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行批判性回顧，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣和反思能力。現(xiàn)在我們培養(yǎng)的學(xué)生往往只會(huì)做“學(xué)答”，即學(xué)會(huì)回答別人已經(jīng)解決了的問(wèn)題，而不會(huì)做“學(xué)問(wèn)”，即不會(huì)問(wèn)問(wèn)題、不知怎樣問(wèn)問(wèn)題。書本知識(shí)是一定條件下的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，有一定的適應(yīng)范圍，但人們的認(rèn)識(shí)會(huì)隨著社會(huì)實(shí)踐的發(fā)展而不斷深化。因此，教師要提倡學(xué)生敢于懷疑課本中每道例題的解答、定理證明的簡(jiǎn)捷性（甚至正確性），注意培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，乃至科學(xué)自信心。

比如，人教版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）有如下一道例題：已知x、y都是正數(shù)，求證：（1）如果xy是定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2P；（2）如果和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值。實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生不會(huì)去反思這樣的問(wèn)題：教材中為什么不考慮x+y的最大值和xy的最小值？對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、交流。學(xué)生認(rèn)識(shí)到，兩個(gè)正數(shù)的積一定，其中一個(gè)可以任意大，因而它們的和的最大值就不存在；兩個(gè)正數(shù)的和一定，其中一個(gè)可以任意小，另一個(gè)是有限數(shù)，因而它們的積的最小值就不存在。這樣的教學(xué)既滲透了函數(shù)思想、極限思想，又能促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向較高層次發(fā)展，有助于學(xué)生形成獨(dú)立思考的良好習(xí)慣和勇于質(zhì)疑的科學(xué)思維。

同時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思問(wèn)題解決過(guò)程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則的正確性，反思所采用的解題策略是否合理或最優(yōu)，反思數(shù)學(xué)問(wèn)題本身有無(wú)可利用的隱含條件，反思解題表達(dá)是否規(guī)范等，從而不斷提高學(xué)生的批判性思維水平，促進(jìn)高級(jí)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提升。

例如，教圓的方程時(shí)，我們讓學(xué)生思考如下的問(wèn)題：有一圓與直線x-y+3=0相切于點(diǎn)（2，5），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），求此圓的方程。結(jié)果幾乎所有學(xué)生都是通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法列出方程組，再解這個(gè)方程組，得出所要求的圓的方程。顯然，就本題而言，僅采用此種解法的學(xué)生，其數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)就是低級(jí)的。實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)教師要求學(xué)生反思問(wèn)題解決策略是否最優(yōu)時(shí)，有學(xué)生想到了將切點(diǎn)視為點(diǎn)圓，可采用共點(diǎn)曲線系方法解之。即視切點(diǎn)（2，5）為點(diǎn)圓（x-2）2+（y-5）2=0，設(shè)所要求的圓的方程為（x-2）2+（y-5）2+λ（x-y+3）=0，將點(diǎn)（2，3）的坐標(biāo)代入此方程得λ=-2，從而得到所求的圓的方程為x2+y2-6x-8y+23=0。采用此法，解題過(guò)程簡(jiǎn)單明了，說(shuō)明學(xué)生表現(xiàn)出了較高層次的數(shù)學(xué)思維。

最后有必要指出的是，培養(yǎng)學(xué)生的高級(jí)數(shù)學(xué)思維始終是數(shù)學(xué)課程最重要的核心任務(wù)和長(zhǎng)久任務(wù)，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平提高的根。平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有目的、有計(jì)劃、有針對(duì)性地將高級(jí)數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練有機(jī)貫穿人才培養(yǎng)全過(guò)程，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，以切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。否則，片面追求高級(jí)數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的任何數(shù)學(xué)教學(xué)都是沒(méi)有意義的，因而也就失去了其應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值。

【本文系江蘇省重點(diǎn)建設(shè)一級(jí)學(xué)科——數(shù)學(xué)（JSXK201301）；江蘇省高等教育教改研究重點(diǎn)立項(xiàng)課題“MPCK（MPCA）視閾下數(shù)學(xué)本科專業(yè)教師教育課程設(shè)置研究”（2015JSJG059）成果】

（作者單位：江蘇省泰州學(xué)院）

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