呂夢迪+陳芳

摘 要 計算流體力學是基于數(shù)值方法對滿足定解條件的流體力學方程進行的離散化處理，對數(shù)值解進行分析和處理，通過數(shù)值模擬的過程得到流體的運動規(guī)律，進而解決流體運動中遇到的實際問題。流體運動大多數(shù)都具有非線性守恒律方程形式，因此，能高效、精確地對雙曲守恒律方程進行求解成為流體力學領域的重要研究課題之一。本文從物理概念出發(fā)，通過介紹幾種主要的求解方法，加深對雙曲守恒律方程求解方法的理解和運用。

關鍵詞 計算流體力學 雙曲守恒律方程 求解方法

中圖分類號：O351. 2 文獻標識碼：A

0引言

雙曲守恒律方程是計算流體力學中一類反映物理現(xiàn)象和規(guī)律的重要方程。在一維情況下，它們都具有如下形式：ut+f（u）x=0。其中x∈R，t>0，u∈Rn是守恒變量，f（u）是通量函數(shù)。在求解⑴時，即使初始條件充分光滑，其數(shù)值解也會隨著時間的推進在某一時刻產(chǎn)生間斷，而間斷解的出違背了古典解理論。于是Lax于1954年提出了弱解的概念，但是弱解不唯一，隨之Lax證明了如果弱解u滿足熵穩(wěn)定條件：E（u）t+f（u）x≤0，其中E（u）是u的一個凸函數(shù)，即E（u）''>0，而F（u）滿足：F'（U）T=E'（u）Tf'（u），則u是唯一且有物理意義的。E稱為熵函數(shù)，F(xiàn)稱為熵通量，（E，F(xiàn)）為熵對。方程不同，熵對的具體表達式也不盡相同。滿足熵條件的解是唯一的具有物理意義的解，這種解稱為“熵解”，滿足熵條件的守恒型差分格式被稱為熵穩(wěn)定格式。為了系統(tǒng)地研究熵穩(wěn)定格式，1987年Tadmor引入熵變量和熵勢的概念，還給出了熵穩(wěn)定格式構造中的比較原則，即熵穩(wěn)定格式要比熵守恒格式的粘性多，這在熵穩(wěn)定格式的構造中具有很實用的指導意義。2006年，Roe提出采用經(jīng)典Roe格式的數(shù)值粘性項進行耗散，得到一類熵穩(wěn)定格式，稱為ERoe格式。獲得的熵穩(wěn)定格式繼承了經(jīng)典Roe格式的良好激波捕捉效果，這種Roe-型耗散在后來被廣泛使用。在2009年，Roe和Ismail通過進一步分析得到：解在跨過激波時產(chǎn)生了激波強度立方量級的熵增，并在此基礎上發(fā)展了對數(shù)值粘性項更精確量化的熵相容格式。

1數(shù)值求解方法

1.1熵守恒格式

1.2熵穩(wěn)定格式

1.3熵相容格式

2提高算法精度的方法

為了提高格式的精度，減少或消除偽震蕩，在空間方向上人們常用的方法一：根據(jù)自適應人工粘性的自適應性，經(jīng)過簡單的調(diào)節(jié)粘性比例系數(shù)后達到的高分辨率。方法二：通過添加限制器的TVD格式來提高格式的精度，常用的限制器有van Leer 限制器、Minmod 限制器、Combined Minmod 限制器、Superbee 限制器、Combined Superbee 限制器等，計算結(jié)果表明，采用Combined Superbee 限制器具有最好的效果。方法三：ENO格式采用逐次擴展的節(jié)點模板來提高插值方法精度。方法四：WENO格式是通過構造基于不同模板上的插值多項式的加權凸組合來獲得單元交界面處的高階近似。方法五：CWENO格式避免了ENO和WENO基于迎風格式所引起的Riemann求解器的考慮，不需要特征分解和矢通量分裂，因此CWENO格式比普通的中心格式更具優(yōu)勢。

在時間方向上人們通常采用強穩(wěn)定的龍格-庫塔 （ Runge-Kutta ） 方法和NCE的龍格-庫塔方法。

3結(jié)語

本文針對雙曲守恒律方程的求解問題，介紹了關于熵的三種格式，并分析了提高格式精度的方法以及實現(xiàn)算法，這些方法易于計算機編程實現(xiàn)以及向高維雙曲守恒律方程推廣，即對雙曲守恒律方程的求解問題有重要的研究意義。

參考文獻

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