(上海師范大學(xué) 信息與機(jī)電工程學(xué)院,上海 200234)

基于齒面法矢量的直齒錐齒輪齒面曲面求解

林 菁

(上海師范大學(xué) 信息與機(jī)電工程學(xué)院,上海200234)

直齒錐齒輪齒面曲面求解是極具有挑戰(zhàn)性的多項(xiàng)選擇問題,針對這一問題,提出了一種基于齒面法矢量的直齒錐齒輪齒面曲面求解方法.通過求解齒面曲面法矢量的方向角和齒面曲面的法線長,可直接求解直齒錐齒輪齒面曲面.該方法是一種通用的求解方法,可求解任意一種齒面曲面,為直齒錐齒輪齒面的主動(dòng)設(shè)計(jì)和三維造型提供了一種新途徑和新方法.

直齒錐齒輪; 齒面曲面; 漸開線; 齒面法矢量; 坐標(biāo)變換

直齒錐齒主要用來傳遞垂直相交軸間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力,多用在低速靜載的場合.廣泛應(yīng)用于汽車、飛機(jī)、農(nóng)業(yè)和建筑機(jī)械等各種機(jī)械中,在機(jī)械行業(yè)中占有重要的地位[1].

目前有關(guān)錐齒輪嚙合理論方面的研究主要集中在漸開線齒廓和圓弧齒廓齒面曲面的求解及其幾何特性研究.Huston等[2-4]推導(dǎo)出了對數(shù)螺旋和圓弧螺旋錐齒輪的齒面曲面方程.Litvin[5]和Tsai等[6]根據(jù)齒輪嚙合原理和球面漸開線的幾何特性,給出了球面漸開線齒廓直齒和螺旋錐齒輪的齒面曲面.Al-Daccak等[7]應(yīng)用掃描技術(shù)建立了球面漸開線齒廓的直齒錐齒輪和螺旋錐齒輪的三維模型.Shunmugam等[8]采用齒面包洛面切平面的概念,給出了球面漸開線齒廓的直齒和螺旋錐齒輪的齒面曲面及其等距曲面.

錐齒輪技術(shù)發(fā)展到今天,仍采用漸開線或圓弧曲線作齒廓生成的齒面曲面,其他形式齒面曲面的錐齒輪應(yīng)用不廣,相關(guān)的研究報(bào)道也很少.如何主動(dòng)求解任意一種錐齒輪的齒面曲面極具挑戰(zhàn)性.本文作者提出了一種基于齒面法矢量的直齒錐齒輪齒面曲面通用求解方法,應(yīng)用該方法可求解任意一種齒面曲面,為直齒錐齒輪齒面的主動(dòng)設(shè)計(jì)和三維造型提供了一種新途徑和新方法.

1 齒面法矢量

圖1 齒面法矢量示意圖

(1)

(2)

這里0≤β≤π,-π≤λ≤π,l≥0.

2 齒面曲面

圖2 坐標(biāo)變換

(3)

式中M(φ)nm為由坐標(biāo)系Omxmymzm到Onxnynzn的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣,M(r)tn為由坐標(biāo)系Onxnynzn到Otxtytzt的坐標(biāo)平移變換矩陣,M(u)st為由坐標(biāo)系Otxtytzt到Oxyz的坐標(biāo)平移變換矩陣,且

同理,在坐標(biāo)系Oxyz中,齒面上M點(diǎn)的單位法矢量

(4)

根據(jù)齒輪嚙合原理[9-10],可知

(5)

(6)

將式(3)分別對參變量φ和u求偏導(dǎo)數(shù)后代入式(5)和式(6),整理后可得

(7)

(8)

這里lφ=0=l0,式(7) 和式(8)確定了參數(shù)β、λ和l與參變量φ、u之間的關(guān)系.通過給定齒面法線長l與參變量φ、u之間的函數(shù)關(guān)系,或者齒面法線方向角β與參變量φ、u之間的函數(shù)關(guān)系,或者角λ與參變量φ、u之間的函數(shù)關(guān)系,即可求解齒面曲面,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對錐齒輪齒面曲面進(jìn)行主導(dǎo)設(shè)計(jì)和求解.

3 示 例

1) 球面漸開線直齒錐齒輪,如圖3所示,齒輪的齒廓曲線為球面漸開線,由球面漸開線生成原理可知:

ψ=φsinδb

和

(9)

將式(9)分別代入式(7)和式(8),可求得

(10)

(11)

將式(9)、(10)和(11)式代入式(3),即可求出球面漸開線齒廓直齒錐齒輪齒面曲面.圖4所示為壓力角α0=π/9,節(jié)錐角δ=5π/36,齒數(shù)z=18的球面漸開線齒廓直齒錐齒輪.

圖3 玩耍漸開線齒廓錐齒輪齒面曲面

圖4 球面漸開維錐齒輪

2)二元多項(xiàng)式直齒錐齒.設(shè)齒輪的方向角函數(shù)β(φ,u)為二元多項(xiàng)式,為求解方便,令

β=a0+a1u+a2φ+a3uφ,

圖5 二元多項(xiàng)式直齒錐齒輪

這里系數(shù)a0,a1,a2,a3為常數(shù).

設(shè)齒輪的錐角為δ=5π/36,齒數(shù)z=18.令a0=0.349,a1=a2=a3=0,得到常數(shù)方向角函數(shù)β=0.349.令a0=0.349,a1=0.01,a2=a3=0,或a0=0.349,a2=0.3,a1=a3=0,得到線性角位置函數(shù)β=0.349+0.3φ和線性軸向位置函數(shù)β=0.349+0.01u.圖5為二元多項(xiàng)式直齒錐齒輪,從圖5中可以看出,方向角函數(shù)β(φ,u)不同,錐齒輪輪齒的形狀不同.換句話說,改變方向角函數(shù)β(φ,u),可以得到不同的齒輪齒面曲面,也就是可以主動(dòng)設(shè)計(jì)出不同的直齒錐齒輪.

4 結(jié) 論

提出了一種基于齒面法矢量求解直齒錐齒輪齒面曲面的新方法,通過給定齒面法線長l與兩個(gè)基本參變量φ、u之間的函數(shù)關(guān)系,或者法矢量方向角β(或λ)與參變量φ、u之間的函數(shù)關(guān)系,可以直接求解直齒錐齒輪齒面曲面.作為一種通用的求解方法,該方法不僅可以用來求解漸開線齒廓直齒錐齒輪齒面曲面,還可以求解其他齒廓曲線直齒錐齒輪齒面曲面,為直齒錐齒輪齒面的主動(dòng)設(shè)計(jì)和三維造型提供了一種新途徑和新方法.

[1] Kolivand M,Ligata H,Steyer G,et al.Actual tooth contact analysis of straight bevel gears [J].Journal of Mechanical Design,2016,137(9):093302.

[2] Huston R L,Coy J J.Ideal spiral bevel gears-a new approach to surface geometry [J].Journal of Mechanical Design,1981,103(1):127-133.

[3] Huston R L,Coy J J.Surface geometry of circular cut spiral bevel gears [J].Journal of Mechanical Design,1982,104(4):743-748.

[4] Huston R L,Lin Y,Coy J J.Tooth profile analysis of circular-cut,spiral-bevel gears [J].Journal of Mechanical Design,1983,105:132-137.

[5] Litvin F L.Gear geometry and applied theory [M].New York:Prentice Hall,1994.

[6] Tsai Y C,Chin P C.Surface geometry of straight and spiral bevel gears [J].Journal of Mechanism Transmission Automation Design,1987,109:443-449.

[7] Al-Daccak M J.Angeles J,Gonzalez-Palacios M A.The modeling of bevel gears using the exact spherical involute [J].Journal of Mechanical Design,1994,116:364-368.

[8] Shunmugam M S.Subba-Rao B,Jayaprakash V.Establishing gear tooth surface geometry and normal deviation,Part II-bevel gears [J].Mechanism Machine Theory,1998,33(5):525-534.

[9] Buckingham E.A analytical mechanics of gears [M].New York:Dover Publications,2011.

[10] Dooner D B.Kinematic geometry of gearing [M].New York:Wiley,2012.

(責(zé)任編輯：包震宇)

Normalvectorbasedgenerationofstraightbevelgearstoothsurfaces

Lin Jing

(The College of Information,Mechanical and Electrical Engineering,Shanghai Normal University,Shanghai200234,China)

Tooth surface generation and design of bevel gears is a challenging and multi-choice problem.A normal vector based method is established to describe the geometries of tooth surfaces of straight bevel gears.The normal vector of the tooth surfaces is introduced to characterize this method.The normal vector including the direction angles and modulus of the vector is solved firstly and then the corresponding tooth surfaces could be generated and analyzed directly,logically and systematically by using the normal vector.This new method is applicable to all types of straight bevel gears with different forms of tooth profiles including spherical involute tooth profiles or other tooth profiles.It provides a new way and method of solid modeling of tooth of straight bevel gears.

straight bevel gear; tooth surface; involute; normal vector of tooth surface; coordinate transformation

2016-09-18

林 菁(1961-),男,教授,主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)、機(jī)械傳動(dòng)等方面的研究.E-mail:linjing@shnu.edu.cn

TH132.4

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:1000-5137(2017)04-0567-04