潘俊朋+桑運(yùn)曉+呂國(guó)娜+任保飛+劉樹駿

摘 要：：本文首先通過分析單級(jí)倒立擺系統(tǒng)建立相應(yīng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行LQR 控制器設(shè)計(jì)，最后使用Matlab 進(jìn)行仿真，結(jié)果表明在本文加權(quán)矩陣Q、R 的取值下，LQR 控制器可使系統(tǒng)達(dá)到有效的控制，小車位置跟著擺桿的角度動(dòng)作，系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時(shí)間、較小的超調(diào)量和較好的動(dòng)靜態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：倒立擺 Matlab LQR 控制

一、前言

單級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一種不穩(wěn)定、多變量且具有強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)。如果把它當(dāng)做一個(gè)單輸出系統(tǒng)來處理將無法到達(dá)控制要求，所以對(duì)于這樣的多輸出系統(tǒng)，我們需要用到狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型來對(duì)其進(jìn)行分析。

二、建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型

為了方便而又不失精確的對(duì)單級(jí)倒立擺系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)際中忽略一些次要的因素后的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)簡(jiǎn)圖如圖1所示，系統(tǒng)受力分析如圖2所示。

定義各參數(shù)：作用在小車的外力用F表示；擺桿與垂直向上方向的夾角用φ表示；擺桿與垂直向下方向的夾角用θ表示；采樣時(shí)間為T=0.005s；擺桿的質(zhì)量為m=0.2kg；擺桿的慣量為I=0.006kg*m*m；擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到擺桿質(zhì)心的距離為l=0.3m；小車的摩擦系數(shù)為b=0.1N/m/sec；小車的質(zhì)量為M=0.5kg；小車的位置用x表示。

應(yīng)用Newton方法來建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程并經(jīng)過整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

三、LQR控制器設(shè)計(jì)及其Matlab仿真

為了同時(shí)對(duì)小車的位置和擺桿的角度都進(jìn)行有效控制，我們使用線性二次性最優(yōu)控制算法（LQR）。這種控制算法在現(xiàn)代控制理論中占有舉足輕重的地位，通過多年的研究，使最優(yōu)控制算法得到越來越廣泛的工程應(yīng)用。

LQR控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。其中R是作用于小車的階躍信號(hào)，四個(gè)狀態(tài)量 和 分別代表小車的位移和速度、擺桿的位置和角速度。設(shè)計(jì)這個(gè)控制器的目的就是要達(dá)到以下效果：當(dāng)給系統(tǒng)作用一個(gè)階躍信號(hào)輸入時(shí)，擺桿晃動(dòng)后會(huì)重新回到垂直位置，小車會(huì)重新處于一個(gè)命令位置。

通過Matlab仿真程序求出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣如下：

系統(tǒng)是能控的是最優(yōu)控制的前提條件，需要先判斷系統(tǒng)的能控能觀性：

系統(tǒng)的能控矩陣的秩：rank[B AB A2B A3B]=4；

系統(tǒng)的能觀矩陣的秩：rank[C CA CA2 CA3]=4。所以，系統(tǒng)是能控能觀的。

在使用LQR算法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，主要是求得反饋向量K的值。為了使問題簡(jiǎn)化及加權(quán)矩陣具有比較明確的物理意義，將Q取為對(duì)角陣。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)取

編寫LQR的m文件，使用Matlab控制系統(tǒng)工具箱中的lqr函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，得到反饋控制向量：K=[-70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238]。

運(yùn)行得到仿真曲線，即LQR控制階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

從系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖中可以看出，在本文加權(quán)矩陣Q、R的取值下，LQR控制器可使系統(tǒng)達(dá)到有效的控制，小車位置跟著擺桿的角度動(dòng)作，系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時(shí)間、較小的超調(diào)量，符合設(shè)計(jì)要求。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張靜. MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[2] 李俊芳，牛文興，張振東.基于狀態(tài)空間法的倒擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制[J].天津理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（2）：34 -36.

[3] 王小侃，馮冬青.基于MATLAB的LQR控制器設(shè)計(jì)方法研究