農(nóng)紹寧，趙懷耘

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兩點激勵中相關系數(shù)的影響

農(nóng)紹寧，趙懷耘

（中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621900）

目的用譜函數(shù)分析的方式，推導結構在兩點激勵下的隨機振動響應的計算公式。方法通過互譜與相關系數(shù)的關系，討論結構在兩點激勵下的響應特點。結果對于線性結構，不同相關系數(shù)的兩點激勵下結構激發(fā)的模態(tài)效果不同，隨著相關系數(shù)的增大，結構的響應在相鄰的諧振峰上，出現(xiàn)增大、減小交替出現(xiàn)的現(xiàn)象。結論相關系數(shù)對結構響應影響的特點，應該引起工程結構設計人員的重視。

兩點激勵；相關系數(shù)；隨機振動

兩點激勵是多維激勵的一種方式。對于大尺寸結構來說，通常振動環(huán)境下結構前后端受到的激勵差異較大，利用多臺振動器對試件進行多維振動激勵方式是更為合理、有效的一種模擬試驗方法。GJB 150.16A—2009中對組合式飛機外掛實驗也提出了多激勵點的要求[1]。由于多維振動與工程實際關系密切，自20世紀60、70年代出現(xiàn)以來，就涌現(xiàn)出許多文獻對其進行了研究綜述。文獻[2]討論了多軸振動環(huán)境試驗條件的定義、技術關鍵以及多軸振動臺和振動控制系統(tǒng)的介紹、應用。文獻[3]闡述了多維振動試驗方法的原理、試驗條件定義和試驗控制算法。還有許多文獻[4—7]對大結構尺寸的具體工程結構進行了數(shù)值仿真和實驗，結果表明多維振動下結構的響應相對于一致激勵有明顯的差異，總體上使結構的響應更為復雜。Hao[8]也利用他自己提出的相干函數(shù)模型計算了圓拱的多點輸入響應，發(fā)現(xiàn)如果忽略地震動之間的相干，則求得結構的響應有時偏高，有時偏低，但未能給出普遍的規(guī)律。

文中基于隨機振動的理論，用譜函數(shù)分析的方式，推導結構在兩點激勵下的隨機振動響應。利用互譜與相關系數(shù)的關系，討論了結構在兩點激勵下不同相關系數(shù)的響應特點，認為相關系數(shù)對結構的響應有較大的影響，給出了一些有意義的結論。

1 兩點激勵隨機振動響應譜

為簡化分析，以長度為的簡支均勻梁位移響應為例說明，如圖1、圖2所示。

圖1 左支座基礎激勵

圖2 右支座基礎激勵

對于圖1左支座基礎激勵，左支座基礎位移為0L時，桿長處靜態(tài)位移為；對于圖2右支座基礎激勵，右支座基礎位移為0R時，桿長處靜態(tài)位移為。

使用相對位移，即設相對位移為，動力學方程為：

式中：為單位長度質量；為阻尼系數(shù)；為彎曲剛度；為第階模態(tài)。

質量歸一化的模態(tài)為：

以左端為例：

應用模態(tài)正交性（仍用變量表示）：

同理，對于右端：

應用杜哈曼積分：

方程的解為：

方程兩邊取相關函數(shù)：

方程兩邊做傅里葉變換：

其中：

，，，，

式中：“*”代表共軛；S()為左端輸入加速度譜；S()為右端輸入加速度譜；S()和S()為兩端輸入加速度互譜。

2 互相關系數(shù)與互譜

每個激勵力函數(shù)，因為是隨機過程()，在不同的時刻值是隨機變量，總有自己的相關函數(shù)，也就是自相關函數(shù)R()。

同理，兩個隨機過程()和()，它們在不同的時刻值是隨機變量，可以定義這兩個隨機變量函數(shù)的二階聯(lián)合矩：

式中：R(1,2)為隨機過程()和()的互相關函數(shù)。

定義無量綱的標準互相關函數(shù)：

式中：σ(1)，σ(2)為隨機過程()和()的標準方差。

若互相關函數(shù)ρ(1,2)不恒等于零，則隨機過程()和()是相關的，若互相關函數(shù)ρ(1,2)恒等于零，則隨機過程()和()是不相關的。

對于各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程，隨機過程()和()的標準方差不隨時間變化，為一個確定的值σ和σ。隨機過程()和()的互相關函數(shù)R(1,2)為時間差=2－1的函數(shù)，當時間差固定時，互相關函數(shù)R(1,2)為一確定的值R。因此，同隨機變量相似，互相關函數(shù)為時間差的函數(shù)。

對比相干系數(shù)：

兩者是相似的，其中S()為R()的傅里葉變換。

因此相干系數(shù)也可以表征兩個各態(tài)歷經(jīng)隨機過程()和()的相關程度。一般來說，相關程度越高，相干系數(shù)值越大，S()的值也較大。

3 互相關系數(shù)的影響

忽略≠的交叉項影響，響應簡化為：

可見，響應與模態(tài)階數(shù)有關，還與互譜S()的大小有關。特別的，當兩點激勵完全相關時，則，響應。在時，響應為0。

4 工程實例

對某掛框式夾具進行了兩點激勵振動實驗[9]。掛框式夾具兩點激勵振動試驗安裝狀態(tài)如圖3所示，測點布局如圖4所示。

圖3 掛框式夾具兩點激勵振動實驗安裝狀態(tài)

圖4 掛框式夾具兩點激勵振動實驗加速度測點布局

分別設置了互譜S()為0.0，0.3，0.5，0.9，以結構上A5測點為例，不同的互譜值，即不同的相關系數(shù)下響應見圖5。在其中的一個諧振峰上，隨著相關系數(shù)的增大，響應值越大；而在相鄰的諧振峰上，隨著相關系數(shù)的增大，響應值越小。

圖5 不同相關系數(shù)A5測點響應

根據(jù)理論計算結果，結構在143 Hz附近有諧振響應，但結構上（例如A5測點）在143 Hz附近響應很小（見圖5C處），對應了cos(π)= －1時的結果，如圖6所示。

圖6 143 Hz模態(tài)響應

5 結語

文中利用譜函數(shù)的形式，給出了兩點隨機激勵下結構響應的一些特點。從相關系數(shù)方面分析了結構響應差異的這一因素。隨著相關系數(shù)的增大，結構在相鄰的諧振峰上，響應隨之增大、減小交替出現(xiàn)。在激勵譜滿足一定的條件下，結構響應可能在某些模態(tài)的響應為0。盡管提倡采用多點激勵的方式以利于激發(fā)出更多的結構模態(tài)響應，但也可能出現(xiàn)模態(tài)響應為0的現(xiàn)象。兩點激勵振動響應的這些特點可為工程結構設計人員提供參考。

[1] GJB 150.16A—2009 軍用裝備實驗室環(huán)境試驗方法第16部分: 振動試驗[S].

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[12] 美國ANSYS公司北京辦事處. ANSYS動力學分析指南[K]. 北京: 美國ANSYS公司北京辦事處, 2000.

Influences of Correlation Coefficient in Two-point Excitations

NONG Shao-ning, ZHAO Huai-yun

(Institute of Systems Engineering CAEP, Mianyang, 621900, China)

Objective The paper aims to derive the computational formula for random vibration response of structures under two-point excitations with spectrum function. Methods Response characteristics of the structural under two-point excitations were discussed with cross spectrum and correlation coefficient. Results For linear structures, the stimulated modal effects varied with different correlation coefficients under two-point excitations. With the increase of the correlation coefficient, the structural response spectrum increased and reduced alternately on adjacent resonance peaks. Conclusion Influences of structural vibration response character with different correlation coefficient should be worth of attention of the designers of engineering structures.

two-point excitation; correlation coefficient; random vibration

10.7643/ issn.1672-9242.2017.08.006

TJ01；O322

A

1672-9242(2017)08-0030-04

2017-04-05；

2017-04-25

NSAF基金項目(U1430129)

農(nóng)紹寧（1975—），男，廣西崇左人，碩士，高級工程師，主要研究方向為工程力學。