張 莉, 王彥朝, 宋衛(wèi)平

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 四川中電啟明星信息技術(shù)有限公司, 四川 成都 610041)

非定常Navier-Stokes方程的一種非協(xié)調(diào)有限元投影穩(wěn)定化方法

張 莉1, 王彥朝1, 宋衛(wèi)平2

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 四川中電啟明星信息技術(shù)有限公司, 四川 成都 610041)

基于標(biāo)準(zhǔn)的L2投影算子，對非定常Navier-Stokes方程提出了一種非協(xié)調(diào)有限元投影穩(wěn)定化方法.這種非協(xié)調(diào)有限元方法的速度/壓力空間采用非協(xié)調(diào)有限元NCP1-P1.該方法不僅繞開了inf-sup條件對等階元的束縛，也克服了高雷諾數(shù)下對流占優(yōu)引起的振蕩.同時，結(jié)合外推公式，將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性格式進(jìn)行處理，從而減少了計算量.最后給出了詳細(xì)的穩(wěn)定性分析和誤差分析.

Navier-Stokes方程； L2投影； 高雷諾數(shù)； 外推公式

有限元方法[1]已經(jīng)成為計算流體問題Stokes方程和不可壓縮Navier-Stokes方程的一種重要而有力的工具.特別地，混合有限元方法[2]備受歡迎.然而混合有限元方法的研究面臨2個方面的問題:1) 要求有限元空間必須滿足inf-sup條件即穩(wěn)定性條件.遺憾的是工程上計算方便的等階有限元空間不滿足inf-sup條件;2) 當(dāng)方程呈現(xiàn)對流占優(yōu)時，其有限元解會出現(xiàn)震蕩.為了克服上述困難，采用穩(wěn)定化技巧的混合有限元方法應(yīng)運(yùn)而生.目前常用的穩(wěn)定化方法主要是基于殘差的穩(wěn)定化方法[3-4]和基于非殘差的穩(wěn)定化方法[5-10].又因?yàn)榛诜菤埐畹姆€(wěn)定化方法不需要計算二階導(dǎo)數(shù),使得穩(wěn)定化格式簡單而受到更多的關(guān)注.

低階元和等階元在工程計算中的應(yīng)用非常廣泛，P. B. Bochev等[11]、Li J.[12]以及C. R. Dohrman等[13]分別對Stokes問題的低階元和一般等階元(P1-P1,Q1-Q1)的壓力投影穩(wěn)定化方法給出了詳細(xì)的理論分析.Li J.等[14]和He Y.等[15]又把壓力投影穩(wěn)定化方法推廣應(yīng)用到Navier-Stokes方程，并給出了詳細(xì)的理論分析和數(shù)值算例,其中，文獻(xiàn)[14]對于瞬態(tài)的Navier-Stokes方程基于高斯積分提出了一種壓力投影穩(wěn)定化方法，有限元空間是采用的最低階的等階元.該方法雖然成功地繞開了inf-sup條件的限制，但是當(dāng)雷諾數(shù)很大時，方程的解仍然可能出現(xiàn)不穩(wěn)定性.隨后,文獻(xiàn)[16]對瞬態(tài)的Navier-Stokes方程提出了一種新的全離散粘性穩(wěn)定化方法.這個方法不僅繞開了inf-sup條件的限制，同時克服了高雷諾數(shù)下對流占優(yōu)引起的解的不穩(wěn)定性,并且在時間計算上，每次只用進(jìn)行線性計算，從而提高了計算效率.

另一方面，不可壓縮流體的非協(xié)調(diào)有限元相對于協(xié)調(diào)有限元方法更加簡單，單元自由度較少，并且滿足局部守恒條件，從而受到更多的關(guān)注和應(yīng)用.在計算的過程中，變量之間的關(guān)聯(lián)僅在相鄰邊的中點(diǎn)，所形成的方程未知數(shù)較少，進(jìn)而更加有利于并行計算.文獻(xiàn)[12,14]對Stokes方程和Navier-Stokes方程提出了一類局部穩(wěn)定的協(xié)調(diào)有限元方法.其速度-壓力有限元空間是P1-P1元，基于高斯積分構(gòu)建穩(wěn)定項(xiàng)，得到的新的有限元格式是穩(wěn)定的，成功地繞開了inf-sup條件對等階有限元的約束.隨后文獻(xiàn)[17]又將此穩(wěn)定化方法推廣應(yīng)用到非協(xié)調(diào)元上計算Stokes方程，其速度-壓力有限元空間是非協(xié)調(diào)元NCP1-P1元，并給出了詳細(xì)的理論分析和數(shù)值算例.相對于一般的非協(xié)調(diào)元Crouzeix-Raviart(C-R)元，NCP1-P1元雖然不滿足inf-sup條件，但是計算更加精確.這類局部穩(wěn)定的有限元方法[12,14,17]比傳統(tǒng)的混合有限元方法更加簡單、有效且不依賴于穩(wěn)定化參數(shù).

受以上討論的啟發(fā),本文針對非定常的Navier-Stokes方程，建立了一種既能克服對流占優(yōu)所引起的震蕩，又能繞開inf-sup條件限制的非協(xié)調(diào)有限元穩(wěn)定化方法.特別地，本文所給的投影不需要將速度或壓力投影到異網(wǎng)格上進(jìn)行計算，利用外推公式將非線性格式轉(zhuǎn)換為線性格式,從而大大地減少了計算量，提高計算效率.

1 非定常Navier-Stokes問題

本文考慮如下非定常Naiver-Stokes方程

(1)

(·，·)和‖·‖0，分別表示空間L2(Ω)(或L2(Ω)2)的內(nèi)積和范數(shù),((u,v))=(u,表示和X空間的內(nèi)積和范數(shù).在空間中，|·|1=‖·‖0與‖·‖1是等價的,因此統(tǒng)一用‖·‖1表示|·|1和‖·‖1.

問題(1)的等價變分格式為:求(u,p)∈X×M,t∈[0,T]，對?(v,q)∈X×M，滿足關(guān)系

(ut,v)+B(u,p;v,q)+a1(u;u,v)=(f,v),

u(0)=u0,

(2)

其中

B(u,p;v,q)=λa0(u,v)+b(u,q)-b(v,p),

?(u,p),(v,q)∈X×M,

a0(u,v)=(u,v), ?u,v∈X;

b(u,q)=(q,·u)， ?u∈X,q∈M,

?u,v,w∈X,

且a1(u;v,w)有如下性質(zhì)：

|a1(w;u,v)|≤C‖w‖‖u‖0‖v‖0,

|a1(w;u,v)|≤C‖‖

‖‖‖.

2 非協(xié)調(diào)有限元穩(wěn)定化方法

定義

?n>0，

其中Pn(K)為單元K上所有次數(shù)小于等于n的多項(xiàng)式集合.

本文考慮如下的速度和壓力的有限元空間:Xh=NCP1，Mh=P1，其中

NCP1={u∈L2(Ω)：u|Kj∈(P1(Kj)),

u(ξjk)=u(ξkj)，u(ξk)=0,?Kj,Kk∈τh},

P1={P∈H1(Ω)∩M：p|Kj∈P1(Kj),?Kj∈τh},

其中P1(Kj)表示單元Kj上所有次數(shù)小于等于1的多項(xiàng)式集合.由定義不難得到空間NCP1滿足相容性條件：

∫Γjk[u]ds=0, ∫Γjuds=0,

和下列性質(zhì)[17]:

對于任意的(u,p)∈X×M,存在(Πu，Πp)∈Xh×Mh使得

‖u-Πu‖1,h+‖p-Πp‖0≤Ch(‖u‖1+‖p‖0),

對于任意的(u,p)∈(H2(Ω)∩X)×(H1(Ω)∩M)，存在(Πu,Πp)∈Xh×Mh使得

‖u-Πu‖0+h(‖u-Πu‖1,h+‖p-Πp‖0)≤

Ch2(‖u‖2+‖p‖1),

?p,q∈L2(Ω),

(ρhp,q)=(p,q), ?q∈M,

‖ρhq‖0≤C‖q‖0, ?q∈M,

‖(I-ρh)q‖0≤Ch‖q‖1, ?q∈H1(Ω)∩M.

(3)

記

((u·)v,v)Kj),

bh(v,q)+Sh(u,v)+Gh(p,q).

定理 2.1[17-18]存在與h、λ、k無關(guān)的正常β，對任意的(uh,ph)，(vh,qh)∈Xh×Mh，使得

|Bh(uh,ph;vh,qh)|≤

C(‖uh‖1,h+‖ph‖0)(‖vh‖1,h+‖qh‖0),

β(‖uh‖1,h+‖ph‖0)≤

|Gh(ph,qh)|≤C‖(I-ρh)ph‖0‖(I-ρh)qh‖0.

Sh(uh,vh)=α((I-πl(wèi)-1)uh，(I-πl(wèi)-1)vh),

?uh,vh∈Xh,

其中,α為穩(wěn)定化參數(shù),πl(wèi)-1:L2(Ω)→(Pl-1(τh))2是標(biāo)準(zhǔn)的全局或局部L2投影，且滿足性質(zhì)

(u,vh)=(πl(wèi)-1u,vh)， ?u∈X，vh∈(Pl-1(τh))2,

‖πl(wèi)-1u‖0≤C‖u‖0, ?u∈X,

‖u-πl(wèi)-1u‖0≤Chl‖u‖l,

?u∈X∩Hl(τh).

(4)

為了便于表述，引入如下記號和引理：

定義 2.1 對?(u,p),(v,q)∈X×M,有

Bh(u,p;v,q)=B(u,p;v,q)+Sh(u,v)+Gh(p,q),

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，有下列穩(wěn)定性結(jié)論:

引理 2.1 對于任意的ph∈Mh，存在常數(shù)β1滿足:

用類似于文獻(xiàn)[7,10]的方法可以得到如下定理:

定理 2.2 對任意(uh,ph)∈Xh×Mh,有

|Bh(u,p;w,φ)|≤C|‖(u,p)‖|×|‖(v,q)‖|,

其中常數(shù)β2與h和α無關(guān).

由此，得到(1)式的一個新的有限元穩(wěn)定格式:

對?(vh,qh)∈Xh×Mh和所有n≥1，使得

(5)

下面將詳細(xì)證明格式(5)是穩(wěn)定的，并且誤差精度能達(dá)到O(h2+(k)4).

3 穩(wěn)定性與誤差分析

定理 3.1 格式(5)是穩(wěn)定的，即對任意的h,k,n>0滿足

(6)

將上式兩邊同時對n從0到N-1求和,可得(6)式.證畢.

3.2 誤差估計

定義 3.1 對任意(v,q)∈X×M,(vh,qh)∈Xh×Mh，令投影算子(Ph,Qh):X×M→Xh×Mh滿足如下關(guān)系：

其中

引理 3.1[17-18]投影算子(Ph，Qh)滿足如下性質(zhì):對?v,q∈X×M，則

‖v-Ph(v,q)‖1,h+‖q-Qh(v,q)‖0≤

c(‖v‖1+‖q‖0),

對?v,q∈(H2(Ω)∩X)×(H1(Ω)∩M)，則

‖v-Ph(v,q)‖0+h(‖v-Ph(v,q)‖1,h+

‖q-Qh(v,q)‖0)≤ch2(‖v‖2+‖q‖1).

定理 3.2 設(shè)u∈L∞(0,T;Hm+1(Ω))∩L∞(0,T;L∞(Ω))∩C0(0,T;H1(Ω))，u∈L∞(0,T;L∞(Ω))，ut∈L2(0,T;Hm+1(Ω))∩L∞(0,T;L2(Ω))，utt∈L2(0,T;H1(Ω))，uttt∈L2(0,T;L2(Ω)),ptt∈L2(0,T;L2(Ω))，f∈L2(0,T;H-1(Ω))，并且是方程(5)的解,則存在一個與h、k、λ無關(guān)的常數(shù)c=c(Ω,u,p,T,f)>0，對?n∈{0,1,…,N-1}使得

(7)

?vh∈Xh， qh∈Mh.

(8)

(8)式減去(5)式可得

(9)

令

(10)

(11)

可得

Tn(u,p,vh)，

(12)

其中

(13)

(14)

由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式易得

(15)

其中

(16)

接下來估計I1、I2、I3.對I1由Young不等式得

由E[·,·]的定義和u的正則性及逆不等式得

‖E[u(tn),u(tn-1)]‖1≤c，

‖E[ηn,ηn-1]‖1≤

(19)

(20)

將(19)和(20)式代入(18)式，則有

(21)

下面考慮I3的估計.由三角不等式、Young不等式以及u的正則性有

(22)

(23)

(24)

其中θ5,θ6∈(0,1).于是

(25)

將(17)、(21)、(22)、(25)式代入(15)式,并取ε=1/20，可得

(26)

將(26)式從1到n相加，并乘以2k可得

(27)

(28)

由u和p的正則性假設(shè)，三角不等式和Gronwall不等式，并綜合(27)和(28)式可得(7)式.證畢.

4 結(jié)束語

本文對非定常Navier-Stokes方程提出了一種非協(xié)調(diào)有限元投影穩(wěn)定化方法.速度/壓力空間采用非協(xié)調(diào)有限元NCP1-P1，基本L2投影算子構(gòu)建速度和壓力穩(wěn)定項(xiàng),由此構(gòu)造的有限元方法不僅繞開了inf-sup條件對等階元的束縛，同時也克服了高雷諾數(shù)下對流占優(yōu)引起的振蕩.文中給出了詳細(xì)的穩(wěn)定性分析和誤差分析,由誤差估計可以得到誤差精度達(dá)到了O(h2+k4).文中結(jié)合外推公式，將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性格式進(jìn)行處理，從而減少了計算量提高了計算效率.

[1] GIRAULT V, RAVIART P A. Finite element approximation of the Navier-Stokes equations[C]//Lecture Notes in Math,749. Berlin:Springer-Verlag,1974.

[2] BREZZI F, FORTIN M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods[M]. Berlin:Springer-Verlag,1991.

[3] ZHOU T, FENG M. A least squares Petrov-Galerkin finite element method for the stationary Navier-Stokes equations[J]. Math Comput,1993,60(202):531-543.

[4] DOUGLAS J, WANG J. An absolutely stabilized finite element method for the Stokes problem[J]. Math Comput,1989,52(186):495-508.

[5] BECKER R, BRAACK M. A finite element pressure gradient stabilization for the Stokes equations based on local projections[J]. Calcolo,2001,38(4):173-99.

[6] CODINA R. Analysis of a stabilized finite element approximation of the Oseen equations using orthogonal subscales[J]. Appl Numer Math,2008,58(3):264-283.

[7] BURMAN E. Pressure projection stabilizations for Galerkin approximations of Stokes’ and Darcy’s problem[J]. Numer Meth PDE,2008,24(1):127-143.

[8] FENG M, BAI Y, HE Y, et al. A new stabilized subgrid eddy viscosity method based on pressure projection and extrapolated trapezoidal rule for the transient Navier-Stokes equations[J]. J Comput Math,2011,29(4):415-440.

[9] QIN Y, FENG M, LUO K, et al. Local projection stabilized finite element method for Navier-Stokes equations[J]. Appl Math Mech,2010,31(5):651-664.

[10] 覃燕梅，馮民富，尹蕾. Navier-Stokes方程的一種等階穩(wěn)定化虧量校正有限元法[J]. 計算數(shù)學(xué)，2010，32(1):1-14.

[11] BOCHEV P B, DOHRMAN C R, GUNZBURGER M D. Stabilization of low-order mixed finite elements for the stokes equations[J]. SIAM J Numer Anal,2006,44(1):82-101.

[12] LI J, HE Y. A stabilized finite element method based on two local Gauss integrations for the Stokes equations[J]. J Comput Appl Math,2008,214:58-65.

[13] DOHRMAN C R, BOCHEV P B. A stabilized finite element method for the stokes problem based on polynomial pressure projections[J]. Inter J Numer Meth Fluids,2004,46(2):183-201.

[14] LI J, HE Y, CHEN Z. A new stabilized finite element method for the transient Navier-Stokes equations[J]. Comput Meth Appl Mech Engine,2007,197(1/2/3/4):22-35.

[15] HE Y, LI J. A stabilized finite element method based on local polynomial pressure projection for the stationary Navier-Stokes equations[J]. Appl Numer Math,2008,58(10):1503-1514.

[16] 覃燕梅，馮民富，周天孝. 瞬態(tài)Navier-Stokes方程的一種新的全離散粘性穩(wěn)定化方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué),2009,30(7):783-798.

[17] LI J, CHEN Z. A new local stabilized nonconforming finite element method for the Stokes equations[J]. Computing,2008,82(2/3):157-170.

[18] JING F, SU J, ZHANG X, et al. Characteristic stabilized nonconforming finite Element method for the unsteady incompressible Navier-Stokes equations[J]. Chin J Engine Math,2014,315:764-778.

2010 MSC：49J20; 49K20; 65M12; 65M60

(編輯 周 俊)

A Stabilized Nonconforming Finite Element Method Based onL2Projection for the Non-stationary Navier-Stokes Equations

ZHANG Li1, WANG Yanzhao1, SONG Weiping2

(1.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan; 2.AostarInformationTechnologiesCo.Ltd,Chengdu610041,Sichuan)

In this paper, we propose a new stabilized nonconforming finite element method based onL2projection for the Navier-Stokes equations with high Reynolds number. This nonconforming method use the lowest equal-order pair of mixed finite elements (i.e., NCP1-P1). The scheme not only avoids the requirement caused by the inf-sup condition but also overcomes the convection domination caused by the high Reynolds number. We transform the nonlinear problem into a linear problem using the Extrapolation formula to simplify the computation. The stability and error analysis of this method are given in detail.

Navier-Stokes equations;L2projection; high Reynolds number; extrapolation formula

2016-10-20

國家自然科學(xué)基金(11571245和11371267)、973項(xiàng)目子課題(2011CB301800)和四川省教育廳自然科學(xué)研究一般項(xiàng)目(11ZB083和

張 莉(1982—),女,講師,主要從事計算數(shù)學(xué)的研究,E-mail:lizhang_hit@163.com

O241.82

A

1001-8395(2017)04-0435-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.002

15ZA0031)