于雪梅， 王曉梅， 鐘守銘

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611731)

帶有兩個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

于雪梅， 王曉梅*， 鐘守銘

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611731)

研究帶有2個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.首先,研究系統(tǒng)的時(shí)滯依賴穩(wěn)定,并將整個(gè)時(shí)滯區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間,在此條件下構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù).其次,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,結(jié)合不等式技巧得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容,并且用一系列線性矩陣不等式表示這些結(jié)論.最后,用一個(gè)數(shù)據(jù)例子證實(shí)了該研究方法的有效性.

時(shí)滯系統(tǒng)； 時(shí)滯依賴； Lyapunov函數(shù)； Lyapunov穩(wěn)定性理論

近年來,時(shí)滯系統(tǒng)引起了科學(xué)界的普遍關(guān)注和研究.時(shí)間滯后簡(jiǎn)稱時(shí)滯,時(shí)滯是指某一行為從開始到產(chǎn)生結(jié)果的時(shí)間段,比如一個(gè)瞬間或一個(gè)動(dòng)作時(shí)段.時(shí)滯普遍存在于實(shí)際系統(tǒng)中,并且時(shí)滯系統(tǒng)已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于許多實(shí)際應(yīng)用中,如通訊、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)、生產(chǎn)系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物和化學(xué)工程系統(tǒng)等.時(shí)滯通常是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要原因之一,甚至給系統(tǒng)性能造成不良影響,因而,對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析具有重要意義.目前,可以看到有許多對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究[1-3].

根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定是否受時(shí)滯影響,時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以分為時(shí)滯依賴穩(wěn)定和時(shí)滯獨(dú)立穩(wěn)定.時(shí)滯依賴穩(wěn)定是指系統(tǒng)穩(wěn)定與時(shí)滯有關(guān),時(shí)滯獨(dú)立是指系統(tǒng)穩(wěn)定與時(shí)滯無關(guān).時(shí)滯獨(dú)立穩(wěn)定條件相對(duì)時(shí)滯依賴穩(wěn)定較為保守,特別是當(dāng)時(shí)滯相對(duì)小的系統(tǒng).目前時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論多數(shù)都是時(shí)滯獨(dú)立的.因而,時(shí)滯依賴穩(wěn)定的研究引起了人們更多的關(guān)注[4-9].

本文研究帶有2個(gè)加性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯依賴穩(wěn)定性問題.為了獲得較小保守性,將考慮帶有2個(gè)加性時(shí)滯的系統(tǒng).文獻(xiàn)[10]在沒有引入松弛變量的情況下用凸多面體法獲得了新的穩(wěn)定性結(jié)論;文獻(xiàn)[11]通過引入松弛變量獲得了不同的穩(wěn)定性結(jié)論;文獻(xiàn)[12]通過構(gòu)造一個(gè)新的Lyapunov函數(shù)獲得了時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論;文獻(xiàn)[13]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,獲得了時(shí)滯依賴穩(wěn)定性結(jié)論.然而,文獻(xiàn)[10-13]在構(gòu)造Lyapunov函數(shù)時(shí),要求Lyapunov函數(shù)中的每部分都正定.通常Lyapunov函數(shù)正定并不一定要求每部分都正定,因此,在現(xiàn)有的一些文獻(xiàn)中這方面有很大的研究和改進(jìn)空間.

本文首先分析了系統(tǒng)的時(shí)滯依賴穩(wěn)定.然后,通過將整個(gè)時(shí)滯區(qū)間分成若干個(gè)小的時(shí)滯區(qū)間,并根據(jù)時(shí)滯狀態(tài)x(t-h1)、x(t-h2)和x(t-h)構(gòu)造了一個(gè)新的Lyapunov函數(shù).在構(gòu)造Lyapunov函數(shù)時(shí)并不要求它的每部分都正定,而是保證整體正定.另外,在對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)后討論其上界過程中,不同的區(qū)間引入不同的松弛變量,從而獲得一個(gè)相對(duì)嚴(yán)格的上界.依賴于2個(gè)時(shí)滯,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,結(jié)合不等式技巧獲得了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.新的穩(wěn)定性結(jié)論降低了保守性.最后,用一個(gè)數(shù)值例子說明結(jié)論的有效性.

1 問題描述和準(zhǔn)備

本文中,矩陣的上標(biāo)“T”代表轉(zhuǎn)置,I是一n×n單位矩陣,Ei代表diag{In,In,In,In,In,In,In}的第i行且Eij=Ei-Ej(i,j=1,2,…,7).X和Y是對(duì)稱矩陣,X>Y(X≥Y)代表X和Y的對(duì)應(yīng)元素滿足>(≥).特別地,如果X>0,X為正矩陣.“*”代表矩陣的對(duì)稱元.

考慮如下時(shí)滯系統(tǒng)：

其中,x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量,A,B∈Rn×n是已知常矩陣,φ(t)是初始條件,d1(t)和d2(t)是時(shí)滯,滿足

則系統(tǒng)(1)可改寫為

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

h=h1+h2,μ=μ1+μ2.

(6)

注 1 通常不同的時(shí)滯具有不同的性質(zhì),因而不能直接把時(shí)滯簡(jiǎn)單的加一起.并且d(t)的最大值通常小于h=h1+h2,因此用h=h1+h2作為d(t)的上界不夠嚴(yán)謹(jǐn).以下將考慮帶有2個(gè)加性時(shí)滯系統(tǒng)(1)并獲得新的穩(wěn)定性結(jié)論.

引理 1.1[14]設(shè)對(duì)任意的正定矩陣M>0,存在常量α>0和向量函數(shù)ω,且ω：[0,α]→Rn,那么有不等式

(7)

2 主要結(jié)果

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

其中

并且

Φ=Γ+ΞTΠΞ,

Π=[hbZ1+(ha-hb)Z3+hbZ2],

φ11=PA+ATP+Q1+Q3+Q4+Q5,

φ22=-(1-μ)Q3, φ33=-(1-μa)Q1,

φ44=-(1-μb)Q5, φ55=-Q2,

φ66=Q2-Q6, φ77=Q6-Q4,

其中(6)式給出了h和μ的表示.

證明 根據(jù)ha=max(h1,h2)和hb=min(h1,h2)，可將區(qū)間[-h,0]分成小區(qū)間[-h,-ha]、[-ha,-hb]和[-hb,0],構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V(t):=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),

(17)

其中

V1(t)=xT(t)Px(t),

(18)

(19)

(20)

(21)

其中d(t):=d1(t)+d2(t).

首先證明Lyapunov函數(shù)V(t)是正定的.根據(jù)引理1.1可得

x(t+s)]TZ1[x(t)-x(t+s)]ds,

(22)

x(t+s)]TZ3[x(t)-x(t+s)]ds,

(23)

x(t+s)]TZ2[x(t)-x(t+s)]ds,

(24)

且有

根據(jù)Qi>0(i=1,3,5),由(17)～(25)式有

根據(jù)(8)～(10)式可知Lyapunov函數(shù)V(t)是正定的.沿著系統(tǒng)(1)的軌跡對(duì)V(t)求導(dǎo),則有

(26)

其中

(27)

xT(t)Q5x(t)+xT(t)Q3x(t)-

(28)

xT(t-hb)Q6x(t-hb)-xT(t-ha)Q6x(t-ha)+

xT(t-ha)Q2x(t-ha)-xT(t-h)Q2x(t-h),(29)

根據(jù)(26)～(30)式有

[Ax(t)+Bx(t-d(t))]TPx(t)+

xT(t)[Q1+Q3+Q4+Q5]x(t)-

(1-μa)xT(t-da(t))Q1x(t-da(t))-

(1-μb)xT(t-db(t))Q5x(t-db(t))-

(1-μ)xT(t-d(t))Q3x(t-d(t))+

xT(t-hb)[Q6-Q4]x(t-hb)+

xT(t-ha)[Q2-Q6]x(t-ha)-

xT(t-h)Q2x(t-h)+

[Ax(t)+Bx(t-d(t))]T×

[hbZ1+(ha-hb)Z3+(h-ha)Z2]×

[Ax(t)+Bx(t-d(t))]-

(31)

情形1 d(t)≤hb,由引理1.1可得

(32)

由

可得

(33)

相似地有:

(34)

(35)

由(32)～(35)式可得:

(36)

(37)

(38)

定義

ζ(t):=[xT(t),xT(t-d(t)),

xT(t-da(t)),xT(t-db(t)),

xT(t-h),xT(t-ha),xT(t-hb)]T.

將(36)～(38)式代入(31)式,則

因此,由(14)式知

情形 2 hb

相似于(32)式有:

則

情形3 ha

相似于(32)式有:

則

因此,由(16)式知

注 2 事實(shí)上

如果P>0,Zj>0(j=1,2,3)和Qi>0(i=1,2,…,6),則這些條件保證了Lyapunov函數(shù)V(t)是正定的,顯然滿足(8)～(10)式.所以得到以下推論.

推論 2.1 對(duì)于給定的h1和h2,h1>h2,μ1和μ2,假設(shè)系統(tǒng)(1)滿足(3)和(4)式,如果存在矩陣P>0,Qi>0(i=1,…,6),Zj>0(j=1,2,3)和Xk(k=1,2,…,7),則系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的,那么有如下線性矩陣不等式：

其中

并且Φ=Γ+ΞTΠΞ,

Π=[h2Z1+(h1-h2)Z3+h2Z2],

φ11=PA+ATP+Q1+Q3+Q4+Q5,

φ22=-(1-μ)Q3, φ33=-(1-μ1)Q1,

φ44=-(1-μ2)Q5, φ55=-Q2,

φ66=Q2-Q6, φ77=Q6-Q4,

其中(6)式給出了h和μ的表示.

3 數(shù)值實(shí)例

考慮系統(tǒng)(1),給出以下參數(shù):

表 1 計(jì)算時(shí)滯d2(t)的上界h2

4 結(jié)束語

本文研究帶有2個(gè)加性時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯依賴穩(wěn)定性問題.在將整個(gè)區(qū)間分為若干個(gè)小區(qū)間的基礎(chǔ)上,通過構(gòu)造一個(gè)改進(jìn)的Lyapunov函數(shù),研究了時(shí)滯依賴穩(wěn)定性.一方面,在保證Lyapunov函數(shù)正定的條件下,要求其導(dǎo)函數(shù)也是正定的.當(dāng)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)時(shí),保證Lyapunov函數(shù)整體是正定的,但不要求其每部分都正定.另一方面,為了降低保守性,在計(jì)算Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的上界時(shí),相對(duì)于不同的區(qū)間,引入不同的松弛變量,從而獲得更嚴(yán)格的上界,并得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.最后用Matlab LMI工具箱給出一個(gè)數(shù)值比較說明結(jié)論的有效性.

表 2 計(jì)算時(shí)滯d1(t)的上界h1

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2010 MSC：93D05； 93D20

(編輯 周 俊)

Stability Analysis for Systems with Two Additive Time-varying Delays

YU Xuemei, WANG Xiaomei, ZHONG Shouming

(CollegeofMathematicsScience,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,Sichuan)

The problem of delay-dependent stability for systems with two additive time-varying delay is investigated. Firstly, the delay-dependent stability is studied and the whole delay interval is divided into subintervals. Based on the above condition, a novel type of Lyapunov function is presented. Secondly, a sufficient condition for asymptotic stability of the system is obtained by using Lyapunov stability theory and inequality technique. The relevant contents of the existing literature are generalized. And this criterion is given as a set of linear matrix inequalities. Finally, a numerical example is given to support the effectiveness of the proposed method.

delay system; delay-dependent; Lyapunov function; Lyapunov stability theory

2016-01-21

國(guó)家自然科學(xué)基金(61273015)、安徽省高校自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2016A555和KJ2016A625)和安徽省中青年優(yōu)秀人才基金(GXYQ2017158)

O231

A

1001-8395(2017)04-0427-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.001

*通信作者簡(jiǎn)介：王曉梅(1969—),女,副教授,主要從事混合動(dòng)力系統(tǒng)及其控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物模型等的研究,E-mail:xmwang16@126.com