范慧玲

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

長波單項(xiàng)傳播模型BBM方程精確解的研究

范慧玲

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

廣義的BBM方程在物理上被用來研究長波單項(xiàng)傳播情形。通過研究廣義的BBM方程中的參數(shù)p取不同值時(shí)，根據(jù)方程的具體特點(diǎn)來尋找恰當(dāng)?shù)脑囂阶臃匠?，?dāng)p=1時(shí)，根據(jù)試探方程法得到子方程是一個(gè)二次多項(xiàng)式，應(yīng)用二階多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)法求得了它的精確解；當(dāng)p=2時(shí)，我們得到的子方程是一個(gè)四次多項(xiàng)式，應(yīng)用四階多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)法求得了它的精確解并進(jìn)行了分類；當(dāng)p=4時(shí)，此時(shí)的子方程是一個(gè)三次多項(xiàng)式，應(yīng)用三階多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)法求得了它的精確解；用試探方程法對(duì)于不能化為初等積分形式的方程來求它的可能的精確行波解還是很有效的。

精確行波解；試探方程法；BBM方程；完全判別式法

非線性偏微分方程經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)物理和工程領(lǐng)域中，它們的精確解的求得是非線性科學(xué)領(lǐng)域的核心問題之一。多年來國內(nèi)外數(shù)學(xué)物理學(xué)家都在研究求解偏微分方程精確解的方法[1-9]。精確解的求得也是實(shí)際數(shù)學(xué)物理力學(xué)模型方程的需要，實(shí)際問題如果能夠求得精確解，尤其求出全部的精確解，有著重大的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。由于非線性微分方程的復(fù)雜性，求解的方法也靈活多變。試探方程法是當(dāng)非線性偏微分方程經(jīng)過行波變換為常微分方程后，仍不能化為初等積分形式時(shí)，根據(jù)方程的特點(diǎn)，應(yīng)用試探方程法來尋找恰當(dāng)?shù)目煞e子方程，從而求得其可能的精確解。

廣義的BBM方程是不同物理系統(tǒng)中出現(xiàn)的弱非線性色散介子中長波單項(xiàng)傳播的重要模型方程。很多科研工作者們應(yīng)用了一些方法求得了BBM方程的若干精確解，例如在文獻(xiàn)[10]中應(yīng)用齊次平衡原理得到了廣義的Burgers-BBM方程的一些孤波解和周期解[10]；在文獻(xiàn)[11]中應(yīng)用Tanh函數(shù)法求得了BBM方程的一些精確解和周期解[11]。先研究學(xué)習(xí)試探方程法的理論，然后根據(jù)BBM方程的特點(diǎn)，給出適當(dāng)?shù)淖臃匠虂砬蠼鈴V義的Burgers-BBM的所有可能的精確解的分類。

1 試探方程法概述

設(shè)非線性偏微分方程為

其中P是關(guān)于u，ut，ux，uxx，utt，uxt，…的多項(xiàng)式。

通過如下的行波變換，

方程（1）被約化成如下的常微分方程，

根據(jù)方程（3）的特點(diǎn)我們可以取試探子方程為

其中ai為常系數(shù)，

其中ai為常系數(shù)。

由方程（4）可導(dǎo)出

這里d是積分常數(shù)。

通過平衡分析可以確定（5）式和（6）式中m的取值。

對(duì)（6）式左右兩端同時(shí)積分，可以得到以下形式

對(duì)（5）式進(jìn)行同樣的計(jì)算，可以得到

根據(jù)（7）和（8）中F（u）的階數(shù)，根據(jù)相應(yīng)的多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)法求出（7）和（8）的全部行波解的分類。

2 廣義的Burgers-BBM方程精確解

廣義的Burgers-BBM方程如下

當(dāng)參數(shù)p取不同數(shù)值時(shí)，我們根據(jù)此時(shí)方程的特點(diǎn)，找出恰當(dāng)?shù)淖臃匠?，從而得到方程?）的精確行波解。

行波變換u=u（ξ），ξ=x-ct，方程（9）可化為

2.1 p=1時(shí)的情形

當(dāng)參數(shù)p=1時(shí)，方程（12）變?yōu)?/p>

令w=φ′，方程（15）變?yōu)?/p>

把（17）帶入到（16）中，我們得到

2.2 p=2的情形

p=2時(shí)，方程（12）變?yōu)?/p>

把（24）代入到（23）式中，通過討論得到m=2。

從而得到下列兩個(gè)等式：

把（25）和（26）代入到（23）中，再根據(jù)平衡原理我們得到以下方程組

利用四階完全判別系統(tǒng)，可以得到（30）的所有精確解及分類。

2.2.1 D4=0，D3=0，D2＜0。F（w）有一對(duì)二重共軛復(fù)根，設(shè)F（w）=［（w-l）2+s2］2，其中l(wèi)，s是實(shí)數(shù)，s＞0。（30）的精確解為

2.2.2 D4=0，D3=0，D2=0。F（w）有四重零實(shí)根，設(shè)F（w）=w4。（30）的精確解為

2.2.3 D4=0，D3=0，D2＞0，E2=0。F（w）有兩個(gè)不同的二重實(shí)根，設(shè)

F（w）=（w-α）2（w-β）2，α，β是實(shí)數(shù)，α＞β。當(dāng)w＞α或w＜β，（30）的精確解為

當(dāng)β＜w＜α，（30）的精確解為

2.2.4 D4=0，D3＞0，D2＞0。設(shè)F（w）=（w-α）2（w-β）（wγ），其中α，β，γ為實(shí)數(shù)，β＞γ。

當(dāng)α＞β，w＞β，或α＜γ，w＜γ，（30）的精確解為

2.2.5 D4=0，D3=0，D2＞0，E2=0。設(shè)F（w）=（w-α）3（wβ），其中α，β都是實(shí)數(shù)。當(dāng)w＞α，w＞β，或w＜α，w＜β，（30）的精確解為

2.2.6 D4=0，D2D3＜0，設(shè)F（w）=（w-α）2［（w-l）2+s2］，這里α，l和s是實(shí)數(shù)。（30）的精確解為

2.2.7 D4＞0，D3＞0，D2＞0。F（w）=0有四個(gè)實(shí)根，設(shè)

F（w）=（w-α1）（w-α2）（w-α3）（w-α4），其中α1，α2，α3，α4是實(shí)數(shù)，并且α1＞α2＞α3＞α4。作變換

當(dāng)w＞α1或者w＜α4時(shí)取

當(dāng)α2＞w＞α3時(shí)取

由方程可得

根據(jù)雅可比橢圓正弦函數(shù)定義，我們可得上述方程的解為

2.2.8 D4＜0，D2D3≥0。F（w）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根和一對(duì)共軛復(fù)根，設(shè)

其中α1，α2，l1和s1都是實(shí)數(shù)，且α1＞α2，s1＞0，假設(shè)

根據(jù)雅可比橢圓余弦函數(shù)的定義，我們可得方程的解為

2.2.9 D4＞0，D2D3≤0。F（w）=0有兩對(duì)共軛復(fù)根，設(shè)

其中l(wèi)1，l2，s1和s1是實(shí)數(shù)，且s1＞s2＞0。假設(shè)

根據(jù)雅可比正弦和余弦函數(shù)的定義，我們得到方程（30）的解為

2.3 p=4的情形

p=4時(shí)，方程（12）變?yōu)?/p>

由（39）和（40）我們得到以下方程組

把（56）帶入到（53）中并積分，我們有

我們得到積分式（52）相應(yīng)的解為

3 結(jié)論

根據(jù)BBM方程在參數(shù)p=1、p=2和p=4時(shí)的特點(diǎn)，應(yīng)用試探方程法我們找到了適合方程的子方程，根據(jù)自方程的階數(shù)我們應(yīng)用多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)法求得了原方程在參數(shù)p=1、p=2和p=4時(shí)的所有可能精確行波解的分類，這里面包含了一些之前沒有得到的新解。我們通過BBM方程來推廣尋找子方程的方法，可以進(jìn)行拓展應(yīng)用到類似的方程上來求解更多偏微分方程的精確解。所求得的廣義的BBM方程所有的精確解，可以更好的進(jìn)行物理系統(tǒng)的研究。

［1］李欣，馬文靜.對(duì)稱多右端項(xiàng)位移方程組的種子投影方法的研究［J］.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，27（6）：95-98.

［2］Cheng-shi Liu.Canonical-like transformation method and exact solutions to a class of diffusion equations［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2009，42：441-446.

［3］Cheng-shi Liu.New trial equation methods and exact solution to some nonlinear mathematical physical equations［J］.Far East Journal of Applied Mathematics，2010，40（1）：49-64.

［4］Cheng-shi Liu.Trial equation method to noinlinear evolution equations with rank inhomogeneous［J］.mathematical discussions and its applications，Commun.Theor.Phys.，2006，45：219-223.

［5］曹劍英，劉凌云.CORDIC算法原理［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014（4上）：21-23.

［6］Liu C S.The representation and classification of all single traveling wave solutions to sinh-Gordon equation［J］.Commun.Theor.Phys.，2008，49（1）：153-158.

［7］Fan H L.The classification of the single traveling wave solutions to the generalized Equal Width equation［J］.Applied mathematicas and computation，2012，219：748-754.

［8］FAN HUI L，LI XIN.The classification of the single travelling wave solutions to the generalized Pochhammer-Chree equation［J］.Pramana，2013，81（6）：925-941.

［9］Fan Hui Ling，F(xiàn)an Xue Fei，Li Xin.On the exact solutions to the long-short-wave interaction system［J］.Chin.Phys. B，2014，23（2）：020201.

［10］AM Wazwaz.The tanh-coth and the sine-cosine methods for kinks，solitons，and periodic solutions for the Pochhammer-Chree equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，195（1）：24-33.

［11］鮑春梅.有關(guān)近于凸解析函數(shù)族的Hadamard卷積與Fekete-Szeg觟問題［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013（6下）：9-10.

Research on Exact Solutions to Long-wave Single Spread Model Equation

Fan Huiling
（College of Science，Heilongjiang Bayi Agriculture University，Daqing 163319）

The regularized Burgers-BBM equation was researched on the long-wave single spread.Applying the trial equation method to discuss the regularized Burgers-BBM equation，when the parameter p took 1，2 and 4，it obtained the corresponding subequation，then it gave the classification of the exact traveling wave solutions to the corresponding sub-equation by the complete discrimination system for polynomial method.The trial equation method was very effective to the equations which could not reduce elementary integral form.

exact traveling wave solution；the trial equation method；BBM equation；the complete discrimination system for polynomial method

O0175.29

A

1002-2090（2017）04-0128-05

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.04.029

2016-10-09

黑龍江省教育廳科研項(xiàng)目（12531475）；黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)校培育課題（XZR2016-13）。

范慧玲（1982-），女，東北石油大學(xué)畢業(yè)，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)教育方面的研究工作。