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風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)表示方法簡(jiǎn)介

2017-09-14 16:52部家琦
中國(guó)校外教育(上旬) 2017年13期
關(guān)鍵詞:極差方差度量

部家琦

風(fēng)險(xiǎn)是我們?cè)谏钪谐R?jiàn)的概念,金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)也是投資理財(cái)過(guò)程中需要考慮的重要部分。隨著越來(lái)越多的人開(kāi)始參與金融市場(chǎng),了解金融市場(chǎng)并進(jìn)行相應(yīng)的理財(cái)與投資,風(fēng)險(xiǎn)的概念開(kāi)始廣為人知。但是許多投資者只是了解風(fēng)險(xiǎn)的基本概念,對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)表示方法以及它們的深層含義以及優(yōu)缺點(diǎn)了解并不清楚。在數(shù)學(xué)與金融的發(fā)展過(guò)程中,人們總結(jié)出了不同的風(fēng)險(xiǎn)度量手段,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同方面進(jìn)行度量,了解這些不同的度量方式有利于加深我們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)本身的理解,同時(shí)更好地利用這些度量工具服務(wù)于我們的投資理財(cái)決策。

風(fēng)險(xiǎn)度量極差方差偏度標(biāo)準(zhǔn)差一、引入

風(fēng)險(xiǎn)是我們?cè)谏钪谐R?jiàn)的概念,金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)也是投資理財(cái)過(guò)程中需要考慮的重要部分。隨著越來(lái)越多的人開(kāi)始參與金融市場(chǎng),了解金融市場(chǎng)并進(jìn)行相應(yīng)的理財(cái)與投資,風(fēng)險(xiǎn)的概念開(kāi)始廣為人知。但是許多投資者只是了解風(fēng)險(xiǎn)的基本概念,對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)表示方法以及它們的深層含義以及優(yōu)缺點(diǎn)了解并不清楚。但是清楚地了解風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)衡量的方面,了解他們的工作原理是我們理解投資理財(cái)風(fēng)險(xiǎn)特征的重要基礎(chǔ),對(duì)于這些指標(biāo)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行一定的學(xué)習(xí)可以幫助我們完善我們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)。

在數(shù)學(xué)與金融的發(fā)展過(guò)程中,人們總結(jié)出了不同的風(fēng)險(xiǎn)度量手段,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同方面進(jìn)行度量,了解這些不同的度量方式有利于加深我們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)本身的理解,同時(shí)更好地利用這些度量工具服務(wù)于我們的投資理財(cái)決策。本文從投資理財(cái)?shù)氖找媛什▌?dòng)風(fēng)險(xiǎn)入手,介紹了包含極差、方差(標(biāo)準(zhǔn)差),偏度在內(nèi)的不同的數(shù)學(xué)表示方式,對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)進(jìn)行了一個(gè)較為全面的總結(jié)與評(píng)價(jià),以期達(dá)到以上目的。

二、風(fēng)險(xiǎn)簡(jiǎn)介

風(fēng)險(xiǎn)是我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的詞匯,廣義上的風(fēng)險(xiǎn)太過(guò)于粗略與寬泛,因此在本文中我們將風(fēng)險(xiǎn)局限于金融市場(chǎng),討論收益率的風(fēng)險(xiǎn)。在進(jìn)行投資理財(cái)時(shí),我們最關(guān)心的莫過(guò)于投資的回報(bào),也就是收益率。在我們進(jìn)行投資時(shí),收益率往往不是確定的,這種收益率的不確定性我們就稱其為風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)的可能來(lái)源多種多樣,包括了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn),個(gè)體風(fēng)險(xiǎn),流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn),信用風(fēng)險(xiǎn)等不同的組成部分。但是這部分不是本文重點(diǎn),在這里我們就不做闡述。值得注意的是我們本文中介紹的公式都是離散情況下的計(jì)算公式,連續(xù)情況下需要用到統(tǒng)計(jì)學(xué)中的概率密度函數(shù)以及積分的知識(shí),因此這里不做介紹。

但是離散情況與連續(xù)情況下的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的計(jì)算思路與背后邏輯是不變的,對(duì)于這些指標(biāo)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也是一致的。

對(duì)于某一個(gè)投資項(xiàng)目的回報(bào)率x,我們假設(shè)其在未來(lái)的收益率符合以下分布:

則我們可以通過(guò)以下公式算出其收益率的數(shù)學(xué)期望,即預(yù)估的用來(lái)衡量其將來(lái)回報(bào)率平均水平的指標(biāo)。

值得注意的是實(shí)際上4.5%在未來(lái)的任何一種情況中都不會(huì)出現(xiàn),它只是我們用各種情況下的回報(bào)率得到的一個(gè)加權(quán)平均,用來(lái)衡量該項(xiàng)目的平均收益水平。只能提現(xiàn)整體水平,并不能用來(lái)衡量某一種具體情況下的收益。

而我們可以看到,項(xiàng)目之所以存在不確定性,是因?yàn)榉植几怕实拇嬖?,即收益結(jié)果并不是確定的某一種情況,而是有多種不同的情況,每種情況對(duì)應(yīng)了一定的概率,甚至?xí)霈F(xiàn)負(fù)收益率,即有所損失的情況。我們需要衡量這種不確定性的大小就需要界定標(biāo)準(zhǔn),并采取相應(yīng)的度量。

三、不同的度量方法

1.極差(Range)

極差的公式如下:

即簡(jiǎn)單的去查看回報(bào)率的最大值與最小值之間的差距有多大。極差衡量了回報(bào)率的波動(dòng)范圍,顯然極差越大,說(shuō)明潛在的波動(dòng)空間越大,風(fēng)險(xiǎn)也就越大。極差越小說(shuō)明了波動(dòng)范圍越小,回報(bào)也就越穩(wěn)定。極差所包含的含義非常的直接,是用來(lái)刻畫(huà)波動(dòng)情況的最簡(jiǎn)單指標(biāo),可以簡(jiǎn)單準(zhǔn)確地描繪出變量的變動(dòng)范圍。

但是我們也可以看出,極差是一個(gè)內(nèi)涵非常單薄的度量方式,僅僅描繪了波動(dòng)范圍,卻沒(méi)有刻畫(huà)波動(dòng)率在這個(gè)范圍內(nèi)的波動(dòng)程度,有可能變量其本身波動(dòng)很小,只有極小的情況出現(xiàn)非常極端的值,但是這樣的特征會(huì)被極差的計(jì)算方式所忽略,盲目地?cái)U(kuò)大風(fēng)險(xiǎn)度量。因此我們需要對(duì)波動(dòng)程度進(jìn)行進(jìn)一步的準(zhǔn)確刻畫(huà)。

2.方差(Variance)

方差的公式如下:

方差所描繪的是不同情況下的回報(bào)率相對(duì)于其期望值的偏移程度,平方的目的主要是為了避免正向偏移與負(fù)向偏移互相抵消。方差可以解釋為不同情況下回報(bào)率與數(shù)學(xué)期望值之差的平方的加權(quán)平均。這樣的辦法有助于幫助我們?nèi)ゲ榭丛诓▌?dòng)范圍內(nèi)部的收益率波動(dòng)大小。方差越大則波動(dòng)越大,方差越小則波動(dòng)越小。從方差的計(jì)算公式我們可以看到,由于引入了加權(quán)平均的概念,概率Pi被考慮進(jìn)來(lái),因此在極差中我們提到的存在某些極端小概率事件的情況的問(wèn)題被解決了,我們對(duì)于波動(dòng)有了更進(jìn)一步細(xì)致的描繪。

但是同時(shí)方差的計(jì)算仍然也存在以下幾個(gè)問(wèn)題:

方差公式里面涉及到平方運(yùn)算,會(huì)使數(shù)值單位缺乏含義。例如當(dāng)我們考慮的變量為個(gè)數(shù)時(shí),方差單位個(gè)并沒(méi)有現(xiàn)實(shí)含義。并且無(wú)法與我們的正常單位數(shù)值進(jìn)行比較。又例如我們本文中討論的回報(bào)率,百分?jǐn)?shù)的平方為萬(wàn)分?jǐn)?shù),但是它與一般的百分?jǐn)?shù)之間并不能直接進(jìn)行比較。因此,我們又定義了標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation),其公式如下:

通過(guò)開(kāi)方運(yùn)算解決單位上的不一致問(wèn)題,使得我們能夠直接將標(biāo)準(zhǔn)差與其數(shù)學(xué)期望值進(jìn)行比較。例如在本例中回報(bào)率均值為4.5%,但其平均波動(dòng)有11.39%,因此說(shuō)明其出現(xiàn)負(fù)值收益率的可能性較大。則側(cè)面說(shuō)明有可能帶來(lái)的波動(dòng)會(huì)造成較大的收益變動(dòng),方差公式同時(shí)考慮了正向偏移與負(fù)向偏移,通過(guò)平方以后這兩種波動(dòng)在這種計(jì)算方法中貢獻(xiàn)基本相同,都為正值,無(wú)法區(qū)分波動(dòng)的方向。但是在實(shí)際中我們非常關(guān)系波動(dòng)的方向。因?yàn)槲覀冇锌赡苤魂P(guān)心某一方偏移。例如在本文中我們考慮的是投資收益率,但是投資者是不會(huì)擔(dān)心投資收益率超出預(yù)期的情況的,因此這種情況他們根本無(wú)須考慮。對(duì)應(yīng)的他們應(yīng)該關(guān)注負(fù)面波動(dòng),即收益率低于平均預(yù)期的情況。因此我們又進(jìn)一步地提出了偏度的概念。

3.偏度(Skewness)

偏度的公式與定義如下:

可以看到偏度用立方的辦法解決了刻畫(huà)波動(dòng)方向的問(wèn)題,由于正數(shù)的奇次方為正,負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù),我們?cè)谟昧⒎椒糯蟛▌?dòng)幅度的過(guò)程中也保留了原本波動(dòng)的方向,通過(guò)概率加權(quán)平均以后我們可以看到波動(dòng)往哪個(gè)方向偏移。在本例中我們可以看到,收益率的偏度為正值,即總體來(lái)講波動(dòng)是往正向偏移的。

一般來(lái)說(shuō)稱Skewness<0的情況為概率分布具有負(fù)偏離,也稱左偏態(tài),此時(shí)左方(負(fù)面)波動(dòng)的整體加權(quán)影響要大于右方(正面面)波動(dòng)的整體加權(quán)影響;對(duì)應(yīng)的,稱Skewness>0的情況為概率分布具有正偏離,也稱正偏態(tài),此時(shí)左方(負(fù)面)波動(dòng)的整體加權(quán)影響要小于右方(正面面)波動(dòng)的整體加權(quán)影響。

4.在險(xiǎn)值(VaR,Value at Risk)

注意區(qū)分在險(xiǎn)值與方差的標(biāo)記的不同。前者為VaR,而后者為VAR(也有人用Var)。

在險(xiǎn)值從變量的分布出發(fā),考慮不同確定程度下,變量的最小值。例如假如在本例中,投資者想要了解80%以上的可能性他可以獲取多高的收益,這需要我們從回報(bào)最高的情況對(duì)應(yīng)的概率開(kāi)始,依次向左邊較低回報(bào)率對(duì)應(yīng)的概率進(jìn)行加和,直到此加和為80%。在本例中,80%的置信度對(duì)應(yīng)的在險(xiǎn)值為-5%。也就是說(shuō)他有80%的可能性可以將損失控制在5%以內(nèi),或者他的回報(bào)率有80%的可能性大于-5%。實(shí)際上現(xiàn)實(shí)中較為常見(jiàn)的使用的置信度為95%。實(shí)際的在險(xiǎn)值計(jì)算公式可以用概率分布函數(shù)或者概率密度函數(shù)寫(xiě)出嚴(yán)格的公式,但是這里只是為了介紹在險(xiǎn)值的核心思想,便不再贅述公式。

參考文獻(xiàn):

[1]范永華.以測(cè)量工具與決策的視野探尋方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義.上海中學(xué)數(shù)學(xué),2012,(12):37-39。

[2]楊軍,張淑艷.論在險(xiǎn)值在銀行風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用.國(guó)際貿(mào)易問(wèn)題,2002,(11):57-61.

[3]韓兆洲,楊林濤.極差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差之間測(cè)度關(guān)系研究.統(tǒng)計(jì)與信息論壇,2008,(04):5-8.endprint

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