部家琦

風(fēng)險(xiǎn)是我們?cè)谏钪谐Ｒ?jiàn)的概念，金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)也是投資理財(cái)過(guò)程中需要考慮的重要部分。隨著越來(lái)越多的人開(kāi)始參與金融市場(chǎng)，了解金融市場(chǎng)并進(jìn)行相應(yīng)的理財(cái)與投資，風(fēng)險(xiǎn)的概念開(kāi)始廣為人知。但是許多投資者只是了解風(fēng)險(xiǎn)的基本概念，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)表示方法以及它們的深層含義以及優(yōu)缺點(diǎn)了解并不清楚。在數(shù)學(xué)與金融的發(fā)展過(guò)程中，人們總結(jié)出了不同的風(fēng)險(xiǎn)度量手段，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同方面進(jìn)行度量，了解這些不同的度量方式有利于加深我們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)本身的理解，同時(shí)更好地利用這些度量工具服務(wù)于我們的投資理財(cái)決策。

風(fēng)險(xiǎn)度量極差方差偏度標(biāo)準(zhǔn)差一、引入

風(fēng)險(xiǎn)是我們?cè)谏钪谐Ｒ?jiàn)的概念，金融市場(chǎng)中的風(fēng)險(xiǎn)也是投資理財(cái)過(guò)程中需要考慮的重要部分。隨著越來(lái)越多的人開(kāi)始參與金融市場(chǎng)，了解金融市場(chǎng)并進(jìn)行相應(yīng)的理財(cái)與投資，風(fēng)險(xiǎn)的概念開(kāi)始廣為人知。但是許多投資者只是了解風(fēng)險(xiǎn)的基本概念，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)學(xué)表示方法以及它們的深層含義以及優(yōu)缺點(diǎn)了解并不清楚。但是清楚地了解風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)衡量的方面，了解他們的工作原理是我們理解投資理財(cái)風(fēng)險(xiǎn)特征的重要基礎(chǔ)，對(duì)于這些指標(biāo)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行一定的學(xué)習(xí)可以幫助我們完善我們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)。

在數(shù)學(xué)與金融的發(fā)展過(guò)程中，人們總結(jié)出了不同的風(fēng)險(xiǎn)度量手段，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的不同方面進(jìn)行度量，了解這些不同的度量方式有利于加深我們對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)本身的理解，同時(shí)更好地利用這些度量工具服務(wù)于我們的投資理財(cái)決策。本文從投資理財(cái)?shù)氖找媛什▌?dòng)風(fēng)險(xiǎn)入手，介紹了包含極差、方差（標(biāo)準(zhǔn)差），偏度在內(nèi)的不同的數(shù)學(xué)表示方式，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)進(jìn)行了一個(gè)較為全面的總結(jié)與評(píng)價(jià)，以期達(dá)到以上目的。

二、風(fēng)險(xiǎn)簡(jiǎn)介

風(fēng)險(xiǎn)是我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的詞匯，廣義上的風(fēng)險(xiǎn)太過(guò)于粗略與寬泛，因此在本文中我們將風(fēng)險(xiǎn)局限于金融市場(chǎng)，討論收益率的風(fēng)險(xiǎn)。在進(jìn)行投資理財(cái)時(shí)，我們最關(guān)心的莫過(guò)于投資的回報(bào)，也就是收益率。在我們進(jìn)行投資時(shí)，收益率往往不是確定的，這種收益率的不確定性我們就稱其為風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)的可能來(lái)源多種多樣，包括了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)，流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，信用風(fēng)險(xiǎn)等不同的組成部分。但是這部分不是本文重點(diǎn)，在這里我們就不做闡述。值得注意的是我們本文中介紹的公式都是離散情況下的計(jì)算公式，連續(xù)情況下需要用到統(tǒng)計(jì)學(xué)中的概率密度函數(shù)以及積分的知識(shí)，因此這里不做介紹。

但是離散情況與連續(xù)情況下的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的計(jì)算思路與背后邏輯是不變的，對(duì)于這些指標(biāo)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也是一致的。

對(duì)于某一個(gè)投資項(xiàng)目的回報(bào)率x，我們假設(shè)其在未來(lái)的收益率符合以下分布：

則我們可以通過(guò)以下公式算出其收益率的數(shù)學(xué)期望，即預(yù)估的用來(lái)衡量其將來(lái)回報(bào)率平均水平的指標(biāo)。

值得注意的是實(shí)際上4.5%在未來(lái)的任何一種情況中都不會(huì)出現(xiàn)，它只是我們用各種情況下的回報(bào)率得到的一個(gè)加權(quán)平均，用來(lái)衡量該項(xiàng)目的平均收益水平。只能提現(xiàn)整體水平，并不能用來(lái)衡量某一種具體情況下的收益。

而我們可以看到，項(xiàng)目之所以存在不確定性，是因?yàn)榉植几怕实拇嬖?，即收益結(jié)果并不是確定的某一種情況，而是有多種不同的情況，每種情況對(duì)應(yīng)了一定的概率，甚至?xí)霈F(xiàn)負(fù)收益率，即有所損失的情況。我們需要衡量這種不確定性的大小就需要界定標(biāo)準(zhǔn)，并采取相應(yīng)的度量。

三、不同的度量方法

1.極差（Range）

極差的公式如下：

即簡(jiǎn)單的去查看回報(bào)率的最大值與最小值之間的差距有多大。極差衡量了回報(bào)率的波動(dòng)范圍，顯然極差越大，說(shuō)明潛在的波動(dòng)空間越大，風(fēng)險(xiǎn)也就越大。極差越小說(shuō)明了波動(dòng)范圍越小，回報(bào)也就越穩(wěn)定。極差所包含的含義非常的直接，是用來(lái)刻畫(huà)波動(dòng)情況的最簡(jiǎn)單指標(biāo)，可以簡(jiǎn)單準(zhǔn)確地描繪出變量的變動(dòng)范圍。

但是我們也可以看出，極差是一個(gè)內(nèi)涵非常單薄的度量方式，僅僅描繪了波動(dòng)范圍，卻沒(méi)有刻畫(huà)波動(dòng)率在這個(gè)范圍內(nèi)的波動(dòng)程度，有可能變量其本身波動(dòng)很小，只有極小的情況出現(xiàn)非常極端的值，但是這樣的特征會(huì)被極差的計(jì)算方式所忽略，盲目地?cái)U(kuò)大風(fēng)險(xiǎn)度量。因此我們需要對(duì)波動(dòng)程度進(jìn)行進(jìn)一步的準(zhǔn)確刻畫(huà)。

2.方差（Variance）

方差的公式如下：

方差所描繪的是不同情況下的回報(bào)率相對(duì)于其期望值的偏移程度，平方的目的主要是為了避免正向偏移與負(fù)向偏移互相抵消。方差可以解釋為不同情況下回報(bào)率與數(shù)學(xué)期望值之差的平方的加權(quán)平均。這樣的辦法有助于幫助我們?nèi)ゲ榭丛诓▌?dòng)范圍內(nèi)部的收益率波動(dòng)大小。方差越大則波動(dòng)越大，方差越小則波動(dòng)越小。從方差的計(jì)算公式我們可以看到，由于引入了加權(quán)平均的概念，概率Pi被考慮進(jìn)來(lái)，因此在極差中我們提到的存在某些極端小概率事件的情況的問(wèn)題被解決了，我們對(duì)于波動(dòng)有了更進(jìn)一步細(xì)致的描繪。

但是同時(shí)方差的計(jì)算仍然也存在以下幾個(gè)問(wèn)題：

方差公式里面涉及到平方運(yùn)算，會(huì)使數(shù)值單位缺乏含義。例如當(dāng)我們考慮的變量為個(gè)數(shù)時(shí)，方差單位個(gè)并沒(méi)有現(xiàn)實(shí)含義。并且無(wú)法與我們的正常單位數(shù)值進(jìn)行比較。又例如我們本文中討論的回報(bào)率，百分?jǐn)?shù)的平方為萬(wàn)分?jǐn)?shù)，但是它與一般的百分?jǐn)?shù)之間并不能直接進(jìn)行比較。因此，我們又定義了標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），其公式如下：

通過(guò)開(kāi)方運(yùn)算解決單位上的不一致問(wèn)題，使得我們能夠直接將標(biāo)準(zhǔn)差與其數(shù)學(xué)期望值進(jìn)行比較。例如在本例中回報(bào)率均值為4.5%，但其平均波動(dòng)有11.39%，因此說(shuō)明其出現(xiàn)負(fù)值收益率的可能性較大。則側(cè)面說(shuō)明有可能帶來(lái)的波動(dòng)會(huì)造成較大的收益變動(dòng)，方差公式同時(shí)考慮了正向偏移與負(fù)向偏移，通過(guò)平方以后這兩種波動(dòng)在這種計(jì)算方法中貢獻(xiàn)基本相同，都為正值，無(wú)法區(qū)分波動(dòng)的方向。但是在實(shí)際中我們非常關(guān)系波動(dòng)的方向。因?yàn)槲覀冇锌赡苤魂P(guān)心某一方偏移。例如在本文中我們考慮的是投資收益率，但是投資者是不會(huì)擔(dān)心投資收益率超出預(yù)期的情況的，因此這種情況他們根本無(wú)須考慮。對(duì)應(yīng)的他們應(yīng)該關(guān)注負(fù)面波動(dòng)，即收益率低于平均預(yù)期的情況。因此我們又進(jìn)一步地提出了偏度的概念。

3.偏度（Skewness）

偏度的公式與定義如下：

可以看到偏度用立方的辦法解決了刻畫(huà)波動(dòng)方向的問(wèn)題，由于正數(shù)的奇次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù)，我們?cè)谟昧⒎椒糯蟛▌?dòng)幅度的過(guò)程中也保留了原本波動(dòng)的方向，通過(guò)概率加權(quán)平均以后我們可以看到波動(dòng)往哪個(gè)方向偏移。在本例中我們可以看到，收益率的偏度為正值，即總體來(lái)講波動(dòng)是往正向偏移的。

一般來(lái)說(shuō)稱Skewness<0的情況為概率分布具有負(fù)偏離，也稱左偏態(tài)，此時(shí)左方（負(fù)面）波動(dòng)的整體加權(quán)影響要大于右方（正面面）波動(dòng)的整體加權(quán)影響；對(duì)應(yīng)的，稱Skewness>0的情況為概率分布具有正偏離，也稱正偏態(tài)，此時(shí)左方（負(fù)面）波動(dòng)的整體加權(quán)影響要小于右方（正面面）波動(dòng)的整體加權(quán)影響。

4.在險(xiǎn)值（VaR，Value at Risk）

注意區(qū)分在險(xiǎn)值與方差的標(biāo)記的不同。前者為VaR，而后者為VAR（也有人用Var）。

在險(xiǎn)值從變量的分布出發(fā)，考慮不同確定程度下，變量的最小值。例如假如在本例中，投資者想要了解80%以上的可能性他可以獲取多高的收益，這需要我們從回報(bào)最高的情況對(duì)應(yīng)的概率開(kāi)始，依次向左邊較低回報(bào)率對(duì)應(yīng)的概率進(jìn)行加和，直到此加和為80%。在本例中，80%的置信度對(duì)應(yīng)的在險(xiǎn)值為-5%。也就是說(shuō)他有80%的可能性可以將損失控制在5%以內(nèi)，或者他的回報(bào)率有80%的可能性大于-5%。實(shí)際上現(xiàn)實(shí)中較為常見(jiàn)的使用的置信度為95%。實(shí)際的在險(xiǎn)值計(jì)算公式可以用概率分布函數(shù)或者概率密度函數(shù)寫(xiě)出嚴(yán)格的公式，但是這里只是為了介紹在險(xiǎn)值的核心思想，便不再贅述公式。

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