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微分方程在時域分析教學中的應用探討

2017-09-14 20:16鄭麗丹
中國校外教育(上旬) 2017年13期
關鍵詞:時域二階表達式

鄭麗丹

將學生熟悉的微分方程求解,應用于自動控制理論的時域分析法的教學中,以二階系統(tǒng)為例,詳細講述了推導過程,得出了阻尼比在不同取值范圍內(nèi)時輸出響應的時域表達式的具體情況。在學生學過的舊知識和即將要學的新知識之間架起了橋梁,使學生體會到學以致用的快樂,取得了良好的教學效果。

微分方程時域分析二階系統(tǒng)本文提出利用高數(shù)中二階微分方程的求解來得出二階系統(tǒng)中阻尼系數(shù)ζ在不同取值區(qū)間內(nèi)的響應情況,總結規(guī)律,聯(lián)系物理學的實際,便于學生記憶和掌握。

一、推導過程

顯然,上述方程為高數(shù)中的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,根據(jù)數(shù)學理論,容易得知,c(t)的解由通解和特解兩部分組成,本式中特解為常數(shù)1,通解根據(jù)微分方程對應的特征方程的特征根的不同情況,有如表1中三種形式。

已知ωn≥0,故,只需依次分析ζ在不同取值范圍內(nèi)對應的輸出響應的通解形式,就可以得出相應的規(guī)律。

1.ζ<0

(1)ζ<-1時,對應的特征根形式為上述表格第一種情況,且S1>0,S2>0,得到輸出響應在t≥0時,單調(diào)發(fā)散。

(2)ζ=-1時,對應的特征根形式為上述表格第二種情況,且S1=S2>0,得到輸出響應在t≥0時單調(diào)發(fā)散

(3)-1<ζ<0時,對應的特征根形式為上述表格第三種情況,且α>0,得到輸出的表達式:

由于C3>0且α>0,在t≥0時,可得輸出為一發(fā)散形式正弦振蕩曲線,不能收斂。

綜上所述,在ζ<0時,系統(tǒng)發(fā)散,在控制系統(tǒng)中,不滿足自動控制系統(tǒng)最重要的性能指標即穩(wěn)定性,因而沒有研究的必要。

2.ζ=0

ζ=0時,對應的特征根形式為上述表格第三種情況,且α=0,得到輸出的表達式:

輸出表達式為正弦函數(shù),等幅震蕩,既不收斂,也不發(fā)散,是收斂與發(fā)散的臨界狀態(tài)。

3.ζ>0

(1)0<ζ<1時,對應的特征根形式為上述表格

第三種情況,且α<0,得到輸出的表達式為式(6)

由于α<0,eαt收斂,可得輸出為震蕩收斂過程,即為欠阻尼過程。

(2)ζ=1時,對應的特征根形式為上述表格第二種情況。由于S1=S2<0,故:

且eαt收斂,可得輸出為單調(diào)的收斂情況,無震蕩,該情況即為臨界阻尼情況,是系統(tǒng)有無震蕩的臨界狀態(tài)。

(3)ζ>1時,對應的特征根形式為上述表格第一種情況,由于S1<0且S2<0,可得輸出為單調(diào)的收斂情況,無震蕩。

綜上所述,ζ>0,自動控制系統(tǒng)具有穩(wěn)定性,可以作為實際的控制系統(tǒng)使用。

學生們在學習時,可以聯(lián)系物理學中的實際,物理學中我們知道沒有阻力情況下,物體會保持無限勻速運動,這就可以解釋為什么在自動控制原理中ζ定義為阻尼系數(shù),可以認為ζ即為系統(tǒng)受到的阻力作用。

當ζ=0時,相當于無阻力,所以輸出保持正弦震蕩,既不收斂,也不發(fā)散。

當ζ<0時,可以認為是與阻力相反方向的力,即與運動速度方向相同的力的作用,會導致速度增大,因而系統(tǒng)發(fā)散。

當ζ>0時,系統(tǒng)具有阻力作用,因而速度會下降,呈現(xiàn)收斂的態(tài)勢。

上述內(nèi)容,只是籠統(tǒng)的分析二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)ζ在不同取值范圍內(nèi)的響應情況,雖然沒有得出輸出表達式的具體形式,但是已經(jīng)可以得到在阻尼系數(shù)ζ取不同數(shù)值的響應特點,表達式較簡單,方便學生對比記憶和掌握。

如果需要得到響應的具體表達式,用以分析超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間等。我們只需把響應中的參數(shù)求出來即可,方法是利用傳遞函數(shù)的定義中要求的線性系統(tǒng)的初始條件為0的條件,我們以欠阻尼二階系統(tǒng)為例進行分析如下:

由于非齊次線性微分方程的解為通解和特解之和,依據(jù)前面得出的欠阻尼二階系統(tǒng)的通解和特解的值,可以得到欠阻尼二階系統(tǒng)的解為:

二、結論

由于高數(shù)中二階微分方程的求解為教師講授及學生理解、掌握的重點內(nèi)容之一,所以大部分學生對該知識點很熟悉,將自動控制時域分析中的二階系統(tǒng)的響應的求法轉(zhuǎn)化為二階微分方程的解法,使得學生對新知識的陌生感消失。

同時,應用這種方法,總結規(guī)律,學生可以充分理解阻尼系數(shù)的意義,使得欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼的概念易于理解和記憶。

本文中雖以較大篇幅給出了推導的過程,事實上,在講授的過程中,老師只需將自動控制中的二階系統(tǒng)與二階微分方程之間的相同之處提出來,推導的過程完全可以指導學生獨立完成,激發(fā)學生的學習興趣,同時,取得較好的教學效果。

另外,微分方程的解法也適用于對自控系統(tǒng)中一階及高階系統(tǒng)分析。

參考文獻:

[1]胡壽松.自動控制原理[M].北京:科學出版社,2013.71-75.

[2]同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,2007.259-276.endprint

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