吳義洪

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要判斷某個命題是假命題，只要列舉一個符合命題的條件、但結(jié)論不成立的例子，從而輕易地否定這個命題，這樣的例子就是反例。要判斷某個命題是錯誤的，用舉反例的方法能起到事半功倍的效果。這一方法對于培養(yǎng)學(xué)生的思維的縝密性、提高學(xué)生思維的全面性、促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散性及創(chuàng)新性等都有較好的實(shí)用意義。

反例教學(xué)和運(yùn)用反例證明題目應(yīng)遵循以下幾個方面：

1 構(gòu)造反例的要求

1.1 反例的引入要符合學(xué)生的認(rèn)知水平

不同年齡段學(xué)生的學(xué)習(xí)生理、心理特征和所學(xué)知識結(jié)構(gòu)不同。初中階段的學(xué)生有時還不具備獨(dú)立復(fù)雜推理論證的能力，推理思維還有很大程度的局限性，得到的結(jié)論還考慮不夠全面。教師在平時的教學(xué)過程中適當(dāng)適時引入反例，這符合學(xué)生的認(rèn)識水平，并且是合理可行的。

例如，在講解“‘在四邊形ABCD中，有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形這結(jié)論是否正確”時，如果要從正面來證明它是錯的，受學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知能力限制，是很難辦到的。而舉例等腰梯形來說明這個結(jié)論是錯的，對學(xué)生來說容易接受和理解。這樣就能言簡意賅地把問題講清楚，也易于學(xué)生消化吸收。

又如，“兩個三角形中，如果有兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相等，這樣的兩個三角形全等”。要說明這個結(jié)論的錯誤性，只需畫圖，畫出符合已知條件的兩個三角形，能得到兩個三角形的形狀可能相同，也可能不同。由此進(jìn)一步發(fā)揮：什么情況下一定全等？這就引出了直角三角形“HL”的判定。同時也能清楚判斷兩個三角形是否全等，沒有“SSA”這一判定，且“HL”是“SSA”的特殊情況。這使得知識更加系統(tǒng)化。

1.2 反例的構(gòu)建要有利于深化學(xué)生的理解、應(yīng)用能力

在日常教學(xué)過程中，教師不但要適時適當(dāng)舉出反例、應(yīng)用反例，還要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，深刻認(rèn)識到深化理解應(yīng)用反例對部分題目的理解和證明，起到事半功倍的意義。

例如，在講解運(yùn)用“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)時，有的學(xué)生沒注意成立的前提是“等腰三角形”，有的學(xué)生對“三線”是哪三線沒記清。教學(xué)時可以讓學(xué)生相互舉反例來說明錯誤運(yùn)用的嚴(yán)重性，增強(qiáng)學(xué)生考慮問題的嚴(yán)密性和深度。

1.3 反例的構(gòu)建要體現(xiàn)有梯度

在平時的教學(xué)過程中，反例的構(gòu)建要根據(jù)學(xué)生知識層面、解題能力、認(rèn)知能力的逐步提高由淺入深、由易到難逐漸引入和開展。

如，當(dāng)|a|=a時a>0，到|a+3|=a+3時a>-3，再到|2a+3|=2a+3時a>- ，其中答案不完整、不嚴(yán)密，可以通過反例來步步深入體現(xiàn)例子由簡單到復(fù)雜、由易到難，讓學(xué)生體會到深層次構(gòu)建反例的必要性。

2 幾種有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)反例構(gòu)建法

（1）把學(xué)生容易犯錯誤的知識點(diǎn)或做法設(shè)置成例題或習(xí)題，在解題過程中感受反例的魅力，從而培養(yǎng)學(xué)生考慮問題的縝密性。

如，“任何數(shù)的平方都是正數(shù)”。對于這一結(jié)論，很多學(xué)生認(rèn)為是對的。確實(shí)對于無數(shù)的數(shù)，這個結(jié)論是正確的，唯獨(dú)當(dāng)這個數(shù)是零時，這個結(jié)論不成立。這樣，題目一做，反例一舉，學(xué)生就會恍然大悟，體會深刻。

又如，任意實(shí)數(shù)a的絕對值都是正數(shù)，任意實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是。這些都具有異曲同工之效。

（2）為了防止學(xué)生出現(xiàn)知識漏洞而構(gòu)建反例，有利于提高學(xué)生考慮問題的全面性。

如，“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等”。有不少學(xué)生沒理解清楚“距離”是指垂直距離，誤用為只要是角平分線的點(diǎn)與角兩邊的連線就會相等。這個問題要說明清楚并不難，只要畫圖舉反例就可以讓學(xué)生心服口服，以后就會少犯這樣的錯誤。

又如，“線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等”。有些同學(xué)沒有注意到“垂直”和“平分”應(yīng)同時具備。我們可以舉缺少一個條件的例子，使得結(jié)論不成立，這樣學(xué)生就會感受深刻，就能理解到位。

（3）利用題目已知條件的開放性構(gòu)建反例。

通過分情況討論法、窮舉法，發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)有的已知條件下，結(jié)論不一定成立。這其中就有構(gòu)建反例的功勞，這樣做有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

如，“任何數(shù)的零次冪都是1”對嗎？不少同學(xué)沒記好條件限制，很容易認(rèn)為是對的。其實(shí)反例很容易找到，就是當(dāng)a為零時，a的零次冪沒有意義。在這基礎(chǔ)上可以把a(bǔ)換成（2a+1），它的零次冪又是多少？如何作答？

又如，兩個無理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？我們可以舉出幾個反例來說明兩個無理數(shù)的積不一定都是無理數(shù)。如與 -，與。結(jié)論是：只要是化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同的兩個無理數(shù)的積都是有理數(shù)。這樣就把這個題目提升到一個更高的層面。同時我們還可以推而廣之：兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？兩個無理數(shù)的差是否一定是無理數(shù)？兩個無理數(shù)的商是否一定是無理數(shù)……

這樣，學(xué)生發(fā)散性思維就能得到很好的鍛煉。

3 注重反例在考試中的實(shí)戰(zhàn)意義

目前學(xué)生的學(xué)業(yè)成績還是以考試分?jǐn)?shù)來衡量，這勢必要求學(xué)生所學(xué)知識、方法有利于考試，為考試服務(wù)。所以就必須講究所學(xué)“構(gòu)建反例”方法在考試中的作用。

（1）通過舉反例可以防止出錯。“當(dāng)什么情況下時命題不成立”，多培養(yǎng)鍛煉學(xué)生這種思維模式，讓學(xué)生形成一種自然的解題思路和注意事項，這樣就可以防止考試時因為考慮不周而丟分。平時老師還可以引導(dǎo)學(xué)生把類似的題目做歸納整理，方便記憶。

（2）利用舉反例輕松證明命題是錯誤的。由于學(xué)生知識面和能力的限制，有些命題要從正面去證明它是錯誤的，難度很大，很復(fù)雜，若利用反例來證明，只要列舉一個符合命題的條件、但結(jié)論不成立的例子，就可以輕松解決問題。這對于提高應(yīng)試能力具有重要意義。

總之，舉反例說明一個命題的錯誤性，是一種常用的解題方法，掌握好它，應(yīng)用好它，可以起到事半功倍的效果，值得大家探討和掌握。

（作者單位：福建省詔安縣懷恩中學(xué)）