周盼盼, 付應(yīng)雄

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430062)

一類非帶限信號的采樣定理

周盼盼, 付應(yīng)雄

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430062)

基于已有的一類多項式型階梯濾波器, 構(gòu)造一類有理函數(shù)型階梯濾波器, 并給出對非帶限信號的采樣定理.

有理函數(shù)型階梯濾波器; 廣義Sinc函數(shù); 采樣定理

0 引言

對連續(xù)線性時不變系統(tǒng)而言, 其脈沖響應(yīng)為h(t),當(dāng)輸入信號為fin(t) 時, 輸出信號為fout(t), 且為h(t) 和fin(t)的卷積

其在頻域上等價表示為

其脈沖響應(yīng)為

(1)

近年來, 眾多文獻(xiàn)關(guān)注非帶限信號的采樣定理, 其與廣義 Sinc 有關(guān), 其中廣義 Sinc 函數(shù)

(2)

函數(shù) eiθa(t) 是一個單位解析信號,其中

且滿足

H(cosθa(t))=sinθa(t),

其中, Hf表示Hilbert變換

在文獻(xiàn)[8]中利用一類多項式型階梯濾波器給出非帶限信號的采樣定理. 對于 |a|<1, a∈,其濾波過程如下：

得到采樣公式

在文獻(xiàn)[10]中提到了有理函數(shù)型階梯濾波器,借鑒此思想, 本文中構(gòu)造一類與文獻(xiàn)[10]中不同的有理函數(shù)型階梯濾波器并提出了對于非帶限信號的采樣定理. 為此,先將頻率區(qū)間R 劃分成對稱區(qū)間：

In=[-(n+1)π,-nπ]∪[nπ,(n+1)π],n=0,1,2,….

對 |a|<1,a∈R,利用一類有理函數(shù), 構(gòu)造濾波器如下：

由此可得衰減的脈沖響應(yīng)的頻譜

其在時間域上的表示為

(3)

圖1 有理函數(shù)形階梯濾波

在文獻(xiàn)[1-5]中指出

簡單計算可得

文獻(xiàn)[5-7]中已經(jīng)證明對于a∈, 得到

從而得到

(4)

1 對非帶限信號的采樣定理

由此可定義空間

(5)

特別的，對于a=0,有

其中Sinca(·)為(2)式所定義.

簡單計算可得

從而

(6)

由于

對(6)式兩邊應(yīng)用傅立葉反變換得到

進(jìn)而由 (4)式可得

即

反之即得充分性, 證畢.

2 結(jié)論

經(jīng)典采樣定理僅對帶限信號成立. 文獻(xiàn)[8]中得到一類基于多項式型階梯波譜的非帶限信號采樣定理. 筆者將多項式型階梯波譜推廣到一類有理函數(shù)型階梯波譜, 其次將帶限信號空間推廣到非帶限信號空間上, 進(jìn)一步得到相應(yīng)的非帶限信號采樣定理.

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(責(zé)任編輯 趙燕)

Sampling theorem for a class of non-bandlimited signals

ZHOU Panpan, FU Yingxiong

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062, China)

Based on the ladder-shape filter of polynomial, we construct a kind of ladder-shape filter of rational function and give a sampling theorem for non-bandlimited signal.

ladder-shape filter of rational function; generalized Sinc function; sampling theorem

2017-01-01

國家自然科學(xué)基金(11371007)資助

周盼盼(1991-), 女, 碩士生; 付應(yīng)雄, 通信作者, 副教授

1000-2375(2017)05-0542-04

X36

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.05.019