陳芬，張韌

(1.武漢學院信息及傳播學院，湖北 武漢 430212; 2. 武漢華夏理工學院信息工程學院，湖北 武漢 430223)

非線性自回歸序列一致可數(shù)可加性的一個充分條件

陳芬1，張韌2

(1.武漢學院信息及傳播學院，湖北 武漢 430212; 2. 武漢華夏理工學院信息工程學院，湖北 武漢 430223)

討論一類自回歸序列滿足一致可數(shù)可加性的一個充分條件.此時，自回歸序列所對應的馬氏鏈不具有不可約性.

非線性自回歸；一致可數(shù)可加；馬氏鏈

非線性時間序列，即使是很簡單的非線性時間序列，它們顯示出來的特點，也會令人們感到很新奇.由于非線性時間序列強大的應用性，目前它已被廣泛地應用在經(jīng)濟、環(huán)境、生物和氣候等領(lǐng)域[1].近年來，對非線性時間序列的研究取得了豐富的成果，見參考文獻[2-3].眾所周知，在對非線性時間序列模型進行統(tǒng)計性質(zhì)研究時，模型的平穩(wěn)性及其高階矩的存在性是非常重要的指標，因此，眾多學者專家對模型的平穩(wěn)性及其高階矩的存在性進行了廣泛和深入的研究.

對非線性時間序列的研究方法，與線性時間序列有很大的差別.馬氏鏈的理論方法是目前研究非線性時間序列的重要工具之一，大部分情況下，非線性時間序列都不是馬氏鏈，但是通過擴大狀態(tài)空間的方法，可以將其轉(zhuǎn)化為馬氏鏈.當非線性時間序列滿足一定條件時，此時所對應的馬氏鏈具有不可約性.而當非線性時間序列所對應的馬氏鏈不具有不可約性時，一致可數(shù)可加條件是研究非線性時間序列的另一個有力的工具，見參看文獻[4-6].

本文中利用馬氏鏈的理論方法，找到判別一種應用廣泛的非線性自回歸序列滿足一致可加性的一個充分條件，此時模型所對應的馬氏鏈不具有不可性.

1 馬氏鏈的基本知識及幾個重要的模型

設Φ是定義在狀態(tài)空間(X,B(X))上的一個馬氏鏈，其中(X,B(X))是一個可分的可測空間，P(x,A)為Φ的一步轉(zhuǎn)移概率核，Pn(x,A)為n步轉(zhuǎn)移概率核，

為P的抽樣鏈，其中a(k)為Z+上的概率測度.

定義1.1 稱一步轉(zhuǎn)移概率P滿足一致可數(shù)可加條件，如果對任意的緊集K，有

在非線性時間序列中，非線性自回歸模型是線性自回歸模型的自然推廣，因其廣泛的適用性而占有重要的位置.

考慮如下的p階函數(shù)型隨機方差非線性自回歸模型，即存在Rp→R上的可測函數(shù)φ和Rp→[0,∞]上的可測函數(shù)ω，使得

Yn=φ(Yn-1,…,Yn-p)+εnω(Yn-1,…,Yn-p)

(1)

事實上，當p=1時，模型(1)是時齊馬氏鏈，當p≥2時，模型(1)不是馬氏鏈.此時令

則(1)式可記為

Xn=Φ(Xn-1)+εnω(Xnpn-1)e,n≥p

(2)

下面考慮更一般的自回歸序列，存在Rm×Rm→Rm上的可測函數(shù)φ，使得

(3)

模型(3)是一個取值于狀態(tài)空間(Rm,B(Rm))上的時齊馬氏鏈，我們借助馬氏鏈的理論，來研究模型(3)的平穩(wěn)遍歷性及其高階矩的存在性，得到了模型(1.3)具有一致可數(shù)可加性的一個充分條件.

2 主要結(jié)果及證明

定理2.1 若模型(3)滿足：

(i) 對?i≥1，εi關(guān)于m維Lebesgue測度μ的絕對連續(xù)部分的密度函數(shù)f存在，且

(ii) 函數(shù)φ滿足：

(1) 存在開集U?Rn，函數(shù)h(z,y):U×Rm→Rm連續(xù)，

(a)Ka(x,A)≥T(x,A),x∈Rm,?A∈B(Rm)，

(b)T(x,A)=c,x∈Rm，

定理2.1的證明 由f∈L(Rm)可知，對?0<ε

?u∈U,A∈B(Rm)，令

則有

因此

(4)

由上式可知，對任意的A∈B(Rm)，有F(u,A)=F(u,Rm)-F(u,Ac)=c-F(u,Ac),

于是F(u,Ac)關(guān)于u是連續(xù)的.由Dini定理知對U中的任意緊集B，有

(5)

令

T(x,A)=F(S(x),A),x∈Rm,A∈B(Rm).

(6)

對Rm中的任意緊集K，由條件(4)中映射S的定義知，存在U中的緊集R，使得S(k)?R，結(jié)合(6)式，有

(7)

再由(5)式和(7)式有

此即結(jié)論(c)成立.

又由(4)式和(6)式知

T(x,Rm)=c, ?x∈Rm.

此即結(jié)論(b)成立.

而Ka(x,A) ≥P(x,A)=P(x1∈A|x0=x)=P(φ(x,ε)∈A)=P(h(S(x),ε)∈A)≥

即結(jié)論(a)成立，從而定理2.1成立.

注： 定理2.1是一個應用廣泛的定理，文獻[5]中命題2.2.1可作為定理2.1的推論.

推論2.2 設模型(3)滿足條件：

(i) {εn,n=1,2,…}有下半連續(xù)的密度函數(shù)f(t)存在，且f(t)>0，μm-a.s.,

(ii)φ(x,Rm)=Rm,?x∈Rm,

則定理2.1結(jié)論成立.

推論2.2的證明 在定理2.1中取S(x)=x,U=Rm，則滿足定理(2.1)中條件，從而結(jié)論成立.

最后，考慮模型(8)在p=1時的情形，即

Yn=φ(Yn-1)+εnω(Yn-1)

(8)

推論2.3 設模型(2.5)滿足

那么定理2.1的結(jié)論成立.

推論2.3的證明 在定理2.1中令U=R×(0,∞)，h(z,y)=z1+z2y，Z=(z1,z2)∈U,y∈R，映射T:R→U，T(x)=(φ(x),ω(x))，記Φ(x,y)=h(T(x),y)，易驗證Φ(x,y)滿足定理2.1的條件，故推論2.3的結(jié)論成立.

[1] An H Z, Chen M. Nonlinear time series analysis[M]. Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1998.

[2] An H Z, Chen S G. A note on the ergodicity of nonlinear autoregressive models[J]. Statist Probab Lett, 1997,34:365-372.

[3] Brockwell P J, Povis R A. Time series analysis: theory and methods[M]. New York: Springer-verlag, 1998.

[4] Fonseca G,Tweedie R L. Stationary measure for mon-irreducible non-continuous markovchains with time series applications[J]. Statist Sini,2001,12(1):651-660.

[5] 盛昭瀚 .非線性時間序列模型的穩(wěn)定性分析遍歷性理論與應用[M]. 北京：科學出版社,1993.

[6] 張韌, 張紹義. 非線性自回歸序列的平穩(wěn)解及其矩陣的存在性[J]. 數(shù)學物理學報,2013(2): 260-266.

(責任編輯 趙燕)

A sufficient condtion for uniformly countable additiveof nonlinear autoregressive sequences

CHEN Fen1，ZHANG Ren2

(1. School of Information and Communication,Wuhan College, Wuhan 430212,China;2. School of Information Engineering, Wuhan Huaxia Institute of Technology, Wuhan 430223,China)

We study a sufficient condition of a class of autoregressive sequences for uniformly countable additive, and the corresponding Mokov chains don’t possess irreducibility.

nonlinear autoregressive; uniformly countable additive; Mokov chains

2017-06-01

湖北省自然科學基金(2016cfc747)資助

陳芬(1980-),女，碩士，講師

1000-2375(2017)05-0539-03

O.211

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.05.018