譚 兵， 黃輝紅， 陳桂糖

(西南石油大學(xué)理學(xué)院， 四川成都 610500)

系泊系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

譚 兵， 黃輝紅， 陳桂糖

(西南石油大學(xué)理學(xué)院， 四川成都 610500)

系泊系統(tǒng)是近淺海觀測(cè)網(wǎng)的重要組成部分，如何設(shè)計(jì)最優(yōu)的系泊系統(tǒng)從而促進(jìn)信號(hào)的傳播具有重要的意義．本文圍繞著系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題展開(kāi)討論，通過(guò)三力匯交平衡理論和力矩平衡方程確定系泊系統(tǒng)中各個(gè)參數(shù)之間的聯(lián)系，利用懸鏈線方程解得錨鏈的受力、形狀，解決了在確定錨鏈的型號(hào)、長(zhǎng)度和重物球的質(zhì)量的情況下，使得浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能小的問(wèn)題，給出了最優(yōu)系泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)的方案．

系泊系統(tǒng)；三力匯交平衡；懸鏈線方程；多目標(biāo)規(guī)劃

0 引言

近淺海觀測(cè)網(wǎng)的傳輸節(jié)點(diǎn)由浮標(biāo)系統(tǒng)、 系泊系統(tǒng)和水生通訊系統(tǒng)組成. 系泊系統(tǒng)具有成本低、 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、 方向性好等顯著優(yōu)點(diǎn)， 因此在海洋工程中獲得了廣泛的應(yīng)用[1]. 目前系泊系統(tǒng)在海上油田開(kāi)發(fā)、 船舶防風(fēng)以及援救打撈作業(yè)場(chǎng)布置中都有十分廣泛的應(yīng)用. 本文基于2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題， 對(duì)系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了分析研究.

系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題就是確定錨鏈的型號(hào)、 長(zhǎng)度和重物球的質(zhì)量， 使得浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能小，本文需解決如下三個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1 某型傳輸節(jié)點(diǎn)選用Ⅱ型電焊錨鏈22.05m， 選用的重物球的質(zhì)量為1200kg. 現(xiàn)將該型傳輸節(jié)點(diǎn)布放在水深18 m、 海床平坦、 海水密度為1.025×103kg/m3的海域. 若海水靜止， 分別計(jì)算海面風(fēng)速為12 m/s和24m/s時(shí)鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、 錨鏈形狀、 浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域.

問(wèn)題2 在問(wèn)題1的假設(shè)下， 計(jì)算海面風(fēng)速為36m/s時(shí)鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標(biāo)的游動(dòng)區(qū)域. 調(diào)節(jié)重物球的重量，使得鋼桶的傾斜角度不超過(guò)5度，錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角不超過(guò)16度.

問(wèn)題3 由于潮汐等因素的影響， 布放海域的實(shí)測(cè)水深介于16～20m之間. 布放點(diǎn)的海水速度最大可達(dá)到1.5m/s、 風(fēng)速最大可達(dá)到36 m/s. 給出考慮風(fēng)力、 水流力和水深情況下的系泊系統(tǒng)設(shè)計(jì)，分析不同情況下鋼桶、 鋼管的傾斜角度、 錨鏈形狀、 浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域.

說(shuō)明 近海風(fēng)荷載可通過(guò)近似公式F=0.625×Sv2(N)計(jì)算， 其中S為物體在風(fēng)向法平面的投影面積(m2)，v為風(fēng)速(m/s). 近海水流力可通過(guò)近似公式F=374×Sv2(N)計(jì)算， 其中S為物體在水流速度法平面的投影面積(m2)，v為水流速度(m/s).

1 模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明

1.1 模型假設(shè)

1.假設(shè)系泊系統(tǒng)中各個(gè)連接部件不存在摩擦力的損耗.

2.假設(shè)沒(méi)有人為的外力來(lái)影響系泊系統(tǒng).

3.假設(shè)不考慮海水的侵蝕等對(duì)鋼管錨鏈等質(zhì)量的影響.

4.假設(shè)海水中沒(méi)有其他生物來(lái)影響系泊系統(tǒng).

1.2 符號(hào)的說(shuō)明

符號(hào)說(shuō)明見(jiàn)表1.

表1 符號(hào)說(shuō)明

2 模型的建立與求解

2.1 問(wèn)題1的模型建立與求解

首先采用整體隔離法， 對(duì)浮標(biāo)、 鋼管、 鋼桶、 錨鏈和所參考的整體進(jìn)行受力分析， 通過(guò)三力匯交平衡理論和力矩平衡方程建立各變量之間的函數(shù)關(guān)系. 再引入懸鏈線模型并根據(jù)需求對(duì)其進(jìn)行合理改進(jìn)， 得到錨鏈滿足的函數(shù)關(guān)系. 對(duì)水深的約束和系泊系統(tǒng)各部分在法向方向上的高度， 建立目標(biāo)函數(shù)并進(jìn)行求解.

2.1.1 受力分析與關(guān)系式的建立

系統(tǒng)的受力分析見(jiàn)圖1.

圖1 整個(gè)系統(tǒng)的受力分析

通過(guò)三力匯交平衡理論可以得到水平方向與豎直方向的關(guān)系式：

然后分別對(duì)各個(gè)單個(gè)的物體進(jìn)行受力分析.

針對(duì)浮標(biāo)的受力分析(圖2).

圖2 浮標(biāo)的受力分析

其中F1x，F(xiàn)1y分別為鋼管1對(duì)于浮標(biāo)的拉力在水平方向以及豎直方向上的分解. 同時(shí)為了求解各個(gè)鋼管以及鋼桶的傾角， 需要考慮力矩平衡. 針對(duì)后面鋼管的分析同理. 可以分別得到水平方向與豎直方向上的關(guān)系式：

針對(duì)鋼管1的受力分析(圖3).

圖3 鋼管1的受力分析

其中θ1即為鋼管1的傾斜角度. 水平方向以及豎直方向上的關(guān)系式滿足

其力矩平衡的方程為

F1ysinθ1+f浮sinθ1×0.5=G鋼管sinθ1×0.5+F1xcosθ1

對(duì)其余鋼管受力分析方法類似， 我們可得到各鋼管的力矩平衡方程

Fiysinθi+f浮sinθi×0.5=G鋼管sinθi×0.5+

Fixcosθi(i=1， 2,3,4)

針對(duì)鋼桶進(jìn)行受力分析(圖4).

圖4 對(duì)鋼桶進(jìn)行受力分析

根據(jù)圖4可以分別得到水平方向與豎直方向上的關(guān)系式

以重物鏈接的點(diǎn)作為支點(diǎn)的力矩平衡方程為

F5ysinθ5+f桶sinθ5×0.5=G桶sinθ5×0.5+F5xcosθ5

2.1.2 錨鏈的相關(guān)模型建立

通過(guò)查找資料可以了解到錨鏈的相關(guān)計(jì)算[2]， 即懸鏈線方程的計(jì)算， 需要用到微分的思想.

圖5 懸鏈線示意圖

圖5為錨鏈上任意一纜索元的靜力[3],其中w是纜索的單位長(zhǎng)度重量,dl為懸鏈線長(zhǎng)度，T6為張力,dT為張力在dl上的增量,θ為的方向錨鏈下端切線方向與水平線的夾角,dθ為θ在dl上的增量. 通過(guò)在錨鏈AB段上的積分， 沿水平與垂直方向建立平衡方程

通過(guò)微分可得到懸鏈線方程

由于所有的未知量均可以用吃水高度h表示， 通過(guò)題目中所給出的約束條件水深H=18， 建立目標(biāo)函數(shù)， 當(dāng)z最小時(shí)可得到h近似最優(yōu)解.

minz=H-h+(cosθ1+cosθ2+cosθ3+cosθ4+cosθ5)×1-y0

2.1.3 模型的求解

吃水深度， 各個(gè)鋼管的傾角， 鋼桶的傾角以及懸鏈長(zhǎng)度， 懸鏈在x上的投影長(zhǎng)度， 浮動(dòng)區(qū)域半徑隨風(fēng)速變化的參數(shù)如表2所示.

表2 不同風(fēng)速下解得的不同參數(shù)

通過(guò)數(shù)據(jù)可知， 在風(fēng)速為12m/s的情況下， 存在臥底錨鏈的長(zhǎng)度l'1=6.8169m. 風(fēng)速為24m/s的情況下， 存在臥底錨鏈的長(zhǎng)度l'2=0.3133m.

然后通過(guò)上述懸鏈方程可以作出錨鏈形狀(圖6).

圖6 不同風(fēng)速下的錨鏈形狀

2.2 問(wèn)題2的模型建立與求解

在問(wèn)題1的模型基礎(chǔ)上， 將風(fēng)速為36m/s代入問(wèn)題1中的模型求解， 通過(guò)MATLAB編程仿真， 繪制得到風(fēng)速為36m/s時(shí)錨鏈的形狀， 具體數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 在風(fēng)速為36m/s的情況下各個(gè)參數(shù)的數(shù)值

通過(guò)分析上表數(shù)據(jù)得到在風(fēng)速等于36m/s的情況下， 鋼桶的傾角θ5大于5度， 則需要重新調(diào)整重物的重量.

錨鏈形狀如圖7所示.

圖7 風(fēng)速為36m/s情況下的錨鏈形狀

問(wèn)題2研究的是基于題目給出的：鋼桶的傾斜角度不超過(guò)5度的情況， 錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角不超過(guò)16度的情況. 因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)目標(biāo)函數(shù)， 所以為了簡(jiǎn)化問(wèn)題， 可以考慮逐步逼近. 首先使鋼桶的傾斜角等于5度， 通過(guò)問(wèn)題1中的模型解出吃水深度和重物的質(zhì)量， 并由該解出值計(jì)算錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角， 若求得錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角大于16度， 則不滿足情況， 應(yīng)舍去， 需要增大重物的質(zhì)量繼續(xù)取值， 直到所得角滿足條件. 具體求解的流程圖如圖8所示.

圖8 首先考慮鋼桶的傾斜角的流程圖

考慮與此類似的情況， 假設(shè)錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角等于16度， 同理可以解出一個(gè)吃水深度和一個(gè)重物的質(zhì)量， 并由該值計(jì)算鋼桶的傾角. 若大于5度則不滿足情況， 則需要增大重物的質(zhì)量繼續(xù)取值.

通過(guò)問(wèn)題1的受力分析可以得到錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角的一個(gè)關(guān)系表達(dá)式：

化簡(jiǎn)得tan?與吃水深度h和重物球的質(zhì)量m相關(guān)的表達(dá)式， 即

對(duì)鋼桶進(jìn)行隔離受力分析得到鋼桶的傾角

又因?yàn)?/p>

通過(guò)對(duì)問(wèn)題1進(jìn)行受力分析可以得到

F風(fēng)=F1x=F2x=F3x=F4x=F5x

整理上述公式可以得到鋼桶的傾角用吃水深度h表達(dá)的計(jì)算公式， 即

此時(shí)我們可建立重物質(zhì)量m只與錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角和鋼桶的傾角相關(guān)的表達(dá)式， 同時(shí)考慮約束條件即

求解目標(biāo)函數(shù)：

minm=φ(?,θ5).

應(yīng)用MATLAB編程[4]， 通過(guò)換算， 得到m關(guān)于?和θ5的關(guān)系， 并逐步代入?(0-16°)， θ5(0-5°)解得m的值：

minm=2289.7kg.

所以需要調(diào)整的重物球質(zhì)量最小為2289.7kg.

2.3 問(wèn)題3的模型的建立與求解

針對(duì)問(wèn)題3題目中所給出條件， 由于增加了水流力的情況需要對(duì)研究系統(tǒng)重新進(jìn)行受力分析. 并且當(dāng)風(fēng)力與水流力的方向相同時(shí)， 可以求得極端情況. 所以在本文中認(rèn)為風(fēng)力與水流力的方向相同， 并且通過(guò)問(wèn)題1對(duì)風(fēng)力夾角的分析， 可以假設(shè)水流力與海平面的夾角也為零度.

本文考慮海域深度為16～20米、 海水速度最大為1.5m/s及風(fēng)速最大為36m/s時(shí)， 建立使浮標(biāo)的吃水深度、 游動(dòng)區(qū)域以及鋼桶的傾斜角度達(dá)最小的多目標(biāo)規(guī)劃模型. 由于風(fēng)速和海速自變量即考慮錨鏈的型號(hào)， 長(zhǎng)度和中重物球質(zhì)量. 由于在題目中說(shuō)明， 由于考慮極端情況， 所以風(fēng)速， 海水速度記取最大值. 同時(shí)假定風(fēng)力與海流力為同一方向. 錨鏈型號(hào)依次帶入方程式計(jì)算， 海水深度由20m開(kāi)始取值， 依次取20,19,18,17,16計(jì)算.

得到多目標(biāo)規(guī)劃模型,目標(biāo)函數(shù)如下

約束條件：

通過(guò)無(wú)量綱[5]轉(zhuǎn)化系數(shù)將多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)求解

minf(h,θ5,D) =

然后利用MATLAB優(yōu)化工具箱[6]進(jìn)行優(yōu)化求解. 選取重物的變化范圍在2200～5000kg， 步長(zhǎng)取100kg. 解出在不同深度的情況下各個(gè)傾角如表4所示.

表4 不同深度下各個(gè)鋼管以及鋼桶的傾角

[1] 徐建鵬.系泊系統(tǒng)的三維動(dòng)力學(xué)分析及實(shí)驗(yàn)研究[D].中國(guó)海洋大學(xué), 2014.

[2] 王文明, 張世聯(lián). 流花浮式平臺(tái)錨鏈系統(tǒng)安全評(píng)估[J]. 造船技術(shù),2007(4).

[3] 何靜. FPSO懸式錨腿系泊系統(tǒng)的錨系設(shè)計(jì)研究[D]. 武漢: 武漢理工大學(xué), 2007.

[4] 趙海濱. MATLAB應(yīng)用大全[J]， 北京：清華大學(xué)出版社， 2012.

[5] 米爾斯切特, 劉來(lái)福,等. 數(shù)學(xué)建模方法與分析[M]. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社, 2015.

[6] 趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[J].北京:高等教育出版社， 2008.

[責(zé)任編輯 胡廷鋒]

Optimum Design of Mooring System

TAN Bing, HUANG Hui-hong, CHEN Gui-tang

(College of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China)

Mooring system is an important part of near shallow sea observation network, which promotes the spread of signals. As a consequence, designing an optimal mooring system is of great significance. In this paper, our objective is to build a mathematical model to develop a best design for the system. Firstly, we analyze the relationship among the parameters in the mooring system by the three-force convergence theory and the moment balance equation, and get the force and shape of the anchor chain by the catenary’s equations. Then we determine the type and the length of the anchor chain, as well as weight of the heavy ball. Based on the above conditions, we calculate the draft depth of the buoy, the swimming area of the buoy and the tilt angles of steel drums. In addition, we also consider that the values of the parameters are changed due to different wind speeds and sea speeds. Hence, we use the multi-objective optimization scheme to constrain the angle and ultimately obtain an optimal design of the mooring system.

mooring system; three force transfer balance; catenary line equation; multi-objective programming

2017-03-05

譚兵(1995—)， 男， 四川廣安人, 西南石油大學(xué)理學(xué)院2014級(jí)本科生. 研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

U653．2

A

1009-4970(2017)08-0009-05