盧運(yùn)文

摘 要：在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，很多教師不注重概念的形成過(guò)程，只重視概念的運(yùn)用，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，嚴(yán)重影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙學(xué)生的能力發(fā)展。造成這種現(xiàn)象，一方面是由于教師的教學(xué)觀念比較陳舊，不重視學(xué)生的思維活動(dòng)，不能使學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程成為一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程；另一方面是許多教師不懂如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動(dòng)。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用等階段，教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)有效的問(wèn)題情景，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動(dòng)，探究規(guī)律，得出新的數(shù)學(xué)概念。從而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過(guò)程，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)水平，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)要研究的首要問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景；途徑

1數(shù)學(xué)概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景的途徑

數(shù)學(xué)概念許多是生活實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際，但又依賴已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生。根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以用以下幾種方法來(lái)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念的問(wèn)題情景。

1.1對(duì)比已有相似概念，創(chuàng)設(shè)相似的問(wèn)題情景

高中數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過(guò)的概念屬性，然后去對(duì)比發(fā)現(xiàn)問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。

例1：異面直線的距離的教學(xué)

（1）展示概念背景：向?qū)W生指出：刻劃兩條異面直線的相對(duì)位置的一個(gè)幾何量——異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個(gè)量——異面直線之間的距離。

（2）創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景：先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下過(guò)去學(xué)過(guò)的有關(guān)距離的概念（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點(diǎn)：各種距離概念都?xì)w結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。

（3）啟迪發(fā)現(xiàn)階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：異面直線a、b上哪兩點(diǎn)之間的距離最小？為什么？

（4）表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：異面直線a、b的公垂線段MN的長(zhǎng)度具有最小性，又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a，b之間的距離。

以上通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生研究已有 “距離”概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學(xué)生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。

創(chuàng)設(shè)這類數(shù)學(xué)概念的問(wèn)題情景要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過(guò)與熟悉的概念類比，可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。

1.2根據(jù)已有相關(guān)概念的比較，歸納發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景

有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。

例2 復(fù)數(shù)概念的教學(xué)

回顧已經(jīng)歷過(guò)的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)：

正整數(shù)→自然數(shù)→非負(fù)有理數(shù)→ 有理數(shù)→實(shí)數(shù)，然后教師提出以下問(wèn)題：

（1）上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？

實(shí)際問(wèn)題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程體現(xiàn)了如下規(guī)律：

① 每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素；

② 在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立；

③ 擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問(wèn)題。

有了上述準(zhǔn)備后，教師提出問(wèn)題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說(shuō)明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？

（2）借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定。（略）這樣學(xué)生對(duì)i的引入不會(huì)感到疑惑，對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示出相關(guān)概念的擴(kuò)充發(fā)展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。

1.3利用新舊數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，引發(fā)猜想的問(wèn)題情景

數(shù)學(xué)概念間往往存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。

例3 異面直線所成角的概念教學(xué)

（1）展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請(qǐng)學(xué)生觀察圖中有幾對(duì)異面直線？接著提問(wèn)：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置，是否就沒有區(qū)別？教師緊接著說(shuō)：既然有區(qū)別，說(shuō)明僅用“異面”來(lái)描述異面直線間的相對(duì)位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對(duì)位置，或者說(shuō)，引進(jìn)一些什么數(shù)量來(lái)刻劃這種相對(duì)位置？（2）情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“距離”來(lái)刻劃兩平行直線間的相對(duì)位置，用“角”來(lái)刻劃兩相交直線間的相對(duì)位置，那么用什么來(lái)刻劃兩異面直線的相對(duì)位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個(gè)角，用它的大小來(lái)度量異面直線的相對(duì)傾斜程度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線a、b（但交點(diǎn)在紙外）.現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長(zhǎng)紙上的線段，問(wèn)如何能量出a、b所成的角的大?。浚?）猜想發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問(wèn)題的方法是過(guò)一點(diǎn)分別作a，b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的角（即過(guò)一點(diǎn)分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）

（2）表述論證階段：教師提問(wèn)，這角（或平行線）一定可以作出來(lái)嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？（以上即是存在性和確定性問(wèn)題）通過(guò)解決以上兩個(gè)問(wèn)題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0， 內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O（一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)）的選取無(wú)關(guān)，點(diǎn)O可任選.一般總是將點(diǎn)O選在特殊位置.至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個(gè)過(guò)程中滲透了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新、舊數(shù)學(xué)概念間的本質(zhì)屬性，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)墓讨c(diǎn)，使其孕育新的數(shù)學(xué)概念的形成。

1.4教師提供感性材料，引導(dǎo)學(xué)生抽象與概括問(wèn)題情景

有些數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí)生活，是從生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，對(duì)于這些概念的教學(xué)要通過(guò)一些感性材料，創(chuàng)設(shè)抽象與概括的情景，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。

例4 數(shù)軸概念的教學(xué)

教師先出示下列問(wèn)題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書店應(yīng)記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計(jì)顯示零上20 C，零下3 C，你如何用有理數(shù)表示。

教師接著要求學(xué)生將上述兩個(gè)問(wèn)題分別用簡(jiǎn)單形象的圖示方法來(lái)描述它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性：

（1）能用圖線表示事物的數(shù)量特征（可用同一直線上的線段來(lái)刻劃）（2）度量的起點(diǎn)（0 C和小張家）（3）度量的單位（溫度計(jì)每格表示1 C）（4）有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)）

這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，對(duì)于“表示相反意義的方向”用箭頭“→”表示正方向，從而引進(jìn) “數(shù)軸”的概念。這樣做符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下深刻持久的印象，同時(shí)也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和素質(zhì)的提高。

這類數(shù)學(xué)概念形成的問(wèn)題情景創(chuàng)設(shè)一定要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象，通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際例子，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一些問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)比較、分類、抽象等思維活動(dòng)，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，最后通過(guò)概括得出新的數(shù)學(xué)概念。

1.5通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)，觀察、發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景

有些數(shù)學(xué)概念可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從自己的親自實(shí)驗(yàn)或通過(guò)現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示及自己操作（如幾何畫板提供了很好的工具）去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、探索反思中掌握數(shù)學(xué)概念。

例5 橢圓概念的教學(xué)

可分下列幾個(gè)步驟進(jìn)行：（1）實(shí)驗(yàn) 獲得感性認(rèn)識(shí)（要求學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個(gè)小圖釘和一長(zhǎng)度為定長(zhǎng)的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動(dòng)，畫得圖形為橢圓）（2）提出問(wèn)題，思考討論。橢圓上的點(diǎn)有何特征？當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個(gè)定義嗎？（3）揭示本質(zhì)，給出定義。象這樣，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)、討論后，對(duì)橢圓的定義的實(shí)質(zhì)會(huì)掌握得很好，不會(huì)出現(xiàn)忽略橢圓定義中的定長(zhǎng)應(yīng)大于兩定點(diǎn)之間的距離的錯(cuò)誤。

這類數(shù)學(xué)概念的形成一定要學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，仔細(xì)觀察，并能根據(jù)需要適當(dāng)變換角度來(lái)抓住問(wèn)題的特征以解決問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。除了真實(shí)的實(shí)驗(yàn)外，還可以充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)設(shè)計(jì)一些仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)不能只是作為教師來(lái)演示的一種工具，而是要能由學(xué)生可以根據(jù)自己的思路進(jìn)行動(dòng)手操作的學(xué)具，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)！

以上列舉的幾種方法不是獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的，有些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與形成過(guò)程需要綜合運(yùn)用多種方法才能創(chuàng)設(shè)出利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情景。

2數(shù)學(xué)概念形成階段教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題

在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景時(shí)，還應(yīng)創(chuàng)設(shè)師生共同研究問(wèn)題的良好氛圍。教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立提出問(wèn)題、獨(dú)立分析、解決問(wèn)題，還要鼓勵(lì)學(xué)生之間互相研討問(wèn)題，大膽向教師提問(wèn)題或提出創(chuàng)見性的觀點(diǎn)，努力營(yíng)造一種師生之間平等共同研討、分析解決問(wèn)題的民主氣氛，形成師生間和諧良好的人際關(guān)系，使課堂教學(xué)充滿活力。在教學(xué)中要注意以下問(wèn)題：

2.1問(wèn)題的呈示要合適

有了合適的問(wèn)題情景，還必須注意問(wèn)題的呈示方式。我們認(rèn)為：?jiǎn)栴}的呈示要以學(xué)生主體的充分發(fā)揮為前提，重視知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和探索過(guò)程，重視學(xué)生的內(nèi)心體驗(yàn)。通過(guò)問(wèn)題的呈示能使學(xué)生充分地展開思維活動(dòng)（包括動(dòng)手、動(dòng)腦），教師應(yīng)留給學(xué)生一定的思考時(shí)間和空間，不要急于將答案告訴學(xué)生，應(yīng)把發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的機(jī)會(huì)，大智若愚地讓給學(xué)生，讓學(xué)生的思維得到充分的暴露，教師根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的一些問(wèn)題，有針對(duì)性地組織討論、辨析，并在關(guān)鍵處予以點(diǎn)撥，真正使學(xué)生體驗(yàn)到新的數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程。

2.2教學(xué)過(guò)程要多樣化

課堂教學(xué)從本質(zhì)上說(shuō)是一種“溝通”與“合作”的活動(dòng)，是教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相互作用以實(shí)現(xiàn)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的過(guò)程，要使這個(gè)過(guò)程順利進(jìn)行，必須充分發(fā)揮師生雙方的積極性和主動(dòng)性。為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，教學(xué)形式應(yīng)盡可能多樣化。教學(xué)不能只是教師的講授，還應(yīng)包括學(xué)生的獨(dú)立自主探究，集體研究，小組討論或先學(xué)生獨(dú)立研究再相互交流，或帶著問(wèn)題自學(xué)等多種方式。這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。至于如何確定教學(xué)形式，這要考慮所研究問(wèn)題的難易程度及學(xué)生的知識(shí)和思維水平。一般來(lái)說(shuō)，要盡可能讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，只要學(xué)生有能力通過(guò)活動(dòng)解決的問(wèn)題，就應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立完成。對(duì)有一定難度的問(wèn)題，可先讓學(xué)生獨(dú)立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關(guān)鍵處作適當(dāng)點(diǎn)撥），最后師生一起探索得出結(jié)論。

2.3滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此教師應(yīng)注意將在解決問(wèn)題的過(guò)程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法顯化，對(duì)解決問(wèn)題的思維策略進(jìn)行提煉，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，提高自我探索、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的能力。如例5中學(xué)生根據(jù)操作過(guò)程類比圓的概念產(chǎn)生這樣的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。怎樣使學(xué)生意識(shí)到這一定義不完備呢？如何讓學(xué)生完善這一定義呢？可讓學(xué)生將兩個(gè)定點(diǎn)由近到遠(yuǎn)地多畫些橢圓，當(dāng)學(xué)生將此操作進(jìn)行至極限（即細(xì)線的長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)）時(shí)發(fā)現(xiàn)畫出的是一條線段。這樣的過(guò)程能夠使學(xué)生獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)和完善橢圓的定義。這種不斷實(shí)驗(yàn)、觀察、進(jìn)而得到發(fā)現(xiàn)的“科研”方法要讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)逐步掌握。學(xué)生掌握這些方法將受益終身！