蘇 鵬，任 斌

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

6維三步冪零李代數(shù)導(dǎo)子的刻畫

蘇 鵬，任 斌*

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

主要研究特征不等于2的域上6維三步冪零李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)。文中將6維三步冪零李代數(shù)分為三種類型，借助矩陣的計(jì)算，刻畫了每一類型其導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)。

冪零李代數(shù)；基；導(dǎo)子

導(dǎo)子代數(shù)[1-3]是李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論[4-7]研究的一個(gè)重要方面，也在微分幾何、理論物理等其他領(lǐng)域有重要應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]得到了三維中心的二步冪零李代數(shù)導(dǎo)子的一個(gè)充要條件，而關(guān)于三步冪零李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)，目前這方面的討論還不多，筆者主要研究了特征不等于2的域上6維三步冪零李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)。文獻(xiàn)[9]給出了特征不等于2的域上維數(shù)小于等于6的冪零李代數(shù)的所有分類，其中6維三步冪零李代數(shù)N按其N2、N3的維數(shù)可歸為三種類型，文中刻畫了每一類型其導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)。根據(jù)這些等價(jià)條件，能較容易地刻畫出N的導(dǎo)子代數(shù)的結(jié)構(gòu)，也為進(jìn)一步研究其導(dǎo)子代數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

文中討論的李代數(shù)N均是特征不等于2的域F上有限維李代數(shù)。

1 基本概念和基本結(jié)論

定義1[10]有限維李代數(shù)N稱為冪零的，如果存在正整數(shù)i使得Ni=0。若N3≠0，N4=[N3，N]＝0，則稱有限維李代數(shù)N是三步冪零的。

定義2[10]設(shè)N是域F上的李代數(shù)，D是N上的一個(gè)線性變換。若D滿足下述條件

則稱D是N的一個(gè)導(dǎo)子。記DerN={D∈gl（N）|D是N的導(dǎo)子}。

引理1[11]若N是一個(gè)冪零李代數(shù)，則下面兩個(gè)命題等價(jià)：

（1）{x1，x2，…，xn}是 N 的一個(gè)極小生成元系；

（2）{x1+N2，x2+N2，…，xn+N2}是向量空間 N/N2的一組基。

引理 2 設(shè){x1，x2，…，xn}為李代數(shù) N的一組基，D是 N上的一個(gè)線性變換，則 D∈DerN當(dāng)且僅當(dāng)D[xi，xj]＝[Dxi，xj]+[xi，Dxj]， 1≤i，j≤n。

定理1[9]設(shè)N是特征不等于2的域F上不可分解的6維三步冪零李代數(shù)，同構(gòu)意義下可分為6種：

N6，6：[x1，x2]＝x4，[x1，x3]＝x5，[x1，x4]＝x6。

定義 3 設(shè) N 是一個(gè)三步冪零李代數(shù)，若 dimN=p+m1，dimN2=m1，dimN3=m2，則稱 N 為（m1，m2，p）型的。

不可分解的 6 維三步冪零李代數(shù) N 可分為如下三種類型：（2，1，4）型：N6，1；（3，1，3）型：N6，2（ε）；N6，3，N6，4，N6，6；（3，2，3）型：N6，5（ε）。

2 主要結(jié)果

下面將得到每一類型的6維三步冪零李代數(shù)導(dǎo)子的一個(gè)充要條件。這里所討論的李代數(shù)N均是不可分解的6維三步冪零李代數(shù)。

設(shè){x1，x2，x3，x4，x5，x6}為 N 的一組基，若 D 是 N 上的一個(gè)線性變換，則有

2.1 （2，1，4）型的導(dǎo)子

設(shè) N 是一個(gè)（2，1，4）型的，則 N 有一個(gè)極小生成元系{x1，x2，x3，x4}。 設(shè){x5，x6}是 N2的一組基，{x6}是 N3的基，于是有 5×5 的反對(duì)稱矩陣 E=（Eij），F(xiàn)=（Fij）使得[xi，xj]=Eijx5+Fijx6， 1≤i，j≤5。 當(dāng) i＝5 或 j＝5 時(shí)，Eij＝0。 記 E1＝（Eij）4×4，F(xiàn)1＝（Fij）4×4。

定理2 設(shè)N是一個(gè)（2，1，4）型的，N的一個(gè)線性變換D是導(dǎo)子的充要條件是D對(duì)應(yīng)的矩陣

這里 C1＝（a51，a52，a53，a54），F(xiàn)2=（F51，F(xiàn)52，F(xiàn)53，F(xiàn)54）。

證明 必要性 因?yàn)?D（x5）∈N2，D（x6）∈N3，所以

由于D是N的一個(gè)導(dǎo)子，則有

顯然，等式（4）等價(jià)于等式（5）、（6）同時(shí)成立

下面將由等式（5）、（6）推出必要性成立，證明如下：

因?yàn)閇xi，xj]=Eijx5+Fijx6，所以

同理可得

故得（5）式右邊=（E1A+ATE1）（x5I4）+（F1A+ATF1+C1TF2-F2TC1）（x6I4），所以可得等式（1）、（2）成立。

由等式（6），有 D[x5，xj]＝[Dx5，xj]+[x5，Dxj]，1≤j≤4，注意到

充分性 由必要性的證明過程易證等式（4）成立。由引理2知，D是N的一個(gè)導(dǎo)子。

2.2 （3，2，3）型的導(dǎo)子

設(shè) N 是一個(gè)（3，2，3）型的，則 N 有一個(gè)極小生成元系{x1，x2，x3}。 設(shè){x4，x5，x6}是 N2的一組基，{x5，x6}是 N3的一組基，于是有 4×4 的反對(duì)稱矩陣 E=（Eij），F(xiàn)=（Fij），J=（Jij）使得

當(dāng) i＝4 或 j＝4 時(shí)，Eij＝0。 記 E1＝（Eij）3×3，F(xiàn)1＝（Fij）3×3，J1＝（Jij）3×3。

定理3 設(shè)N是一個(gè)（3，2，3）型的，N的一個(gè)線性變換D是導(dǎo)子的充要條件是D對(duì)應(yīng)的矩陣

這里 C1＝（a41，a42，a43），F(xiàn)3＝（F41，F(xiàn)42，F(xiàn)43），J2=（J41，J42，J43）。

定理的證明與定理2的證明類似，這里略。

2.3 （3，1，3）型的導(dǎo)子

設(shè) N 是一個(gè)（3，1，3）型的，則 N 有一個(gè)極小生成元系{x1，x2，x3}。 設(shè){x4，x5，x6}是 N2的一組基，{x6}是 N3的基，于是有 5×5 的反對(duì)稱矩陣 E=（Eij），F(xiàn)=（Fij），J=（Jij）使得

當(dāng) i＝4，5 或 j＝4，5 時(shí)，Eij＝Fij＝0。 記 E1＝（Eij）3×3，F(xiàn)1＝（Fij）3×3，J1＝（Jij）3×3。

定理4 設(shè)N是一個(gè)（3，1，3）型的，N的一個(gè)線性變換D是導(dǎo)子的充要條件是D對(duì)應(yīng)的矩陣

定理的證明與定理2的證明類似，這里略。

通過以上討論，得到了每一類型的6維三步冪零李代數(shù)N的導(dǎo)子的一個(gè)充要條件。根據(jù)這些等價(jià)條件，能較容易地刻畫出N的導(dǎo)子代數(shù)。例如利用定理4可較容易地刻畫出（3，1，3）型的四種李代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)，結(jié)果如下

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Characterization for derivation of three step 6-dimensional nilpotent Lie algebras

SU Peng，REN Bin*
（School of Mathmatics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

In this paper,we studied the derivation of three step 6-dimensional nilpotent Lie algebras over the fields that characteristics are not 2.We classified the algebras into three types and characterized the structure of the derivation of each type by the calculation of matrix.

nilpotent Lie algebra；base；derivation

O512 MR（2010）Subject Classification：17B05；17B30；17B40

A

2096－3289（2017）03－0025－05

責(zé)任編輯：謝金春

2015－12－16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271056）

蘇 鵬（1989-），女，山西朔州人，碩士研究生，研究方向：代數(shù)方向。

*通信作者：任 斌（1964-），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，E-mail：renbin1964@163.com。