張 瑛， 萬 群， 趙華鵬

(電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 四川 成都 611731)

數(shù)字信號(hào)處理中MUSIC方法的新教學(xué)思路

張 瑛， 萬 群， 趙華鵬

(電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 四川 成都 611731)

多重信號(hào)分類MUSIC算法是基于信號(hào)與噪聲子空間正交性的一種超分辨譜估計(jì)方法。自適應(yīng)波束形成技術(shù)則是通過在干擾信號(hào)波達(dá)方向上置零來實(shí)現(xiàn)輸出信干噪比最大化。通過在所有感興趣波達(dá)方向上掃描，波束形成器也可以用來實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向估計(jì)。MUSIC算法和波束形成技術(shù)的原理看似不同。然而，有文獻(xiàn)表明，MUSIC算法可被表示為一個(gè)波束形成器?；谶@一事實(shí)，在本文中，我們首先介紹了MUSIC算法和最小無失真響應(yīng)波束形成技術(shù)MVDR的原理。然后，給出MUSIC算法和MVDR波束形成器的等價(jià)表示形式。最后，將MUSIC算法與MVDR波束形成器進(jìn)行比較。通過上述內(nèi)容的講解，可以使學(xué)生獲得關(guān)于MUSIC算法新的認(rèn)識(shí)。

波束形成;數(shù)字信號(hào)處理;MUSIC算法

0 引言

作為我校一門重要的基礎(chǔ)研究生課程，“數(shù)字信號(hào)處理算法和理論”主要介紹了信號(hào)的統(tǒng)計(jì)模型、譜估計(jì)和自適應(yīng)濾波等，同時(shí)介紹了一些經(jīng)典理論和算法。其中，多重信號(hào)分類MUSIC算法是最著名的空間譜估計(jì)算法之一，其主要原理是利用了信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性，通過搜索與噪聲子空間正交的導(dǎo)向矢量來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)波達(dá)方向的估計(jì)[1]。另外，最小無失真響應(yīng)波束形成器MVDR作為主要用于天線陣干擾抑制的波束形成方法，也可以用于波達(dá)方向估計(jì)[2]。MUSIC算法和波束形成算法通常是分別介紹的，學(xué)生們很難找到它們之間的聯(lián)系。然而，已有文獻(xiàn)表明，MUSIC算法可以做為一個(gè)波束形成器看待[3]。在本文中，我們首先介紹MUSIC算法和波束形成技術(shù)的原理。然后，MUSIC算法作為波束形成器的一個(gè)替代方式給出。基于替代公式，對(duì)MUSIC算法的性能進(jìn)行了研究，以幫助學(xué)生更好地理解MUSIC算法。此外，我們把MUSIC算法和最小方差和失真響應(yīng)波束形成器MVDR進(jìn)行比較，帶來對(duì)MUSIC算法的新見解。

1 信號(hào)模型

窄帶信號(hào)條件下，陣元數(shù)為L的天線陣的第n個(gè)陣元在t時(shí)刻收到的信號(hào)為

(1)

其中，dn表示第n個(gè)陣元位置，K表示接收到的信號(hào)總數(shù)，θi表示第i個(gè)信號(hào)波達(dá)方向，si(t)是信號(hào)幅度，λ表示波長，vn(t)是觀測噪聲。

式(1)可以用矩陣形式表示為

x(t)=As(t)+v(t)

(2)

其中，x(t)=[x1(t),…,xL(t)]T，v(t)=[v1(t),…,vL(t)]T，s(t)=[s1(t),…,sL(t)]T，矩陣A是陣列流型為

(3)

空間譜估計(jì)的目的是估計(jì)K個(gè)信號(hào)的波達(dá)方向θ1,…,θK。

2 波束形成算法

2.1 一般波束形成

圖1表示一個(gè)L波段窄帶自適應(yīng)天線陣列的處理結(jié)構(gòu)。波束形成器的目的是為了抑制干擾和通過調(diào)整權(quán)重值w=[w0,…,wL-1]T保持期望方向的信號(hào)不變。

圖1 窄帶自適應(yīng)波束形成器的結(jié)構(gòu)

許多自適應(yīng)波束形成技術(shù)可以通過求解約束均方優(yōu)化問題得到。w表示觀測矢量中的權(quán)重向量，相關(guān)矩陣為R=E[xxH]，自適應(yīng)陣列處理的一般優(yōu)化問題為

(4a)

subject toCw=c

(4b)

其中，C是行線性無關(guān)的約束矩陣，c是約束矩陣的列向量。

可以使用經(jīng)典的拉格朗日乘數(shù)方法解決上述約束優(yōu)化問題：

L(w,λ)=wHRw-λH(Cw-c)+λT(C*w*-c*)

(5)

其中，λ是拉格朗日乘數(shù)向量。

式(4)中的約束優(yōu)化問題的解為

wopt=R-1CH(CR-1CH)-1c

(6)

波束形成器的輸出可表示為

(7)

功率可由下式計(jì)算：

(8)

這些是自適應(yīng)波束形成技術(shù)的核心理論。

在所有感興趣的空間范圍內(nèi)掃描可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)波達(dá)方向的估計(jì)。波束形成器的輸出功率表示在相應(yīng)方向上信號(hào)的功率。

2.2 最小方差無失真響應(yīng)波束形成器

MVDR波束形成器通過對(duì)權(quán)值向量w施加約束以保持感興趣頻率的信號(hào)不變，并最小化來自其它頻率的信號(hào)功率。

(9a)

subject towHa(θ0)=1

(9b)

其中，a(θ0)被稱為導(dǎo)向矢量，θ0表示感興趣的方向。

使用拉格朗日乘子法以得到式(9)的解。拉格朗日函數(shù)寫為

L(w,λ)=wHRw-λ(wHa(θ0)-1)

(10)

其中，λ是拉格朗日乘數(shù)。

對(duì)復(fù)向量求導(dǎo)，我們得到：

(11a)

(11b)

設(shè)式(11)的值為0得到

(12a)

(12b)

在wopt條件下的輸出功率為

(13)

3 MUSIC算法

通過式(2)，觀測相關(guān)矩陣可以寫為

(14)

由于通常假設(shè)復(fù)信號(hào)的數(shù)量小于測量樣本數(shù)，即K

(15)

(16)

MUSIC空間譜定義為

(17)

注意由于本征向量構(gòu)成的Un與信號(hào)導(dǎo)向向量正交，當(dāng)θ0對(duì)應(yīng)復(fù)信號(hào)頻率時(shí)，分母變?yōu)?。因此，譜峰即是信號(hào)頻率的估計(jì)。

4 MUSIC算法的波束形成表示

考慮以下波束形成優(yōu)化問題：

(18a)

(18b)

利用拉格朗日乘子法，將上述優(yōu)化問題的約束條件和目標(biāo)函數(shù)合并有：

(19)

式(19)給出的拉格朗日函數(shù)關(guān)于w(θ)和λ求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0得到：

(20a)

(20b)

(21)

將λ代入式(20a)得到

(22)

根據(jù)矩陣求逆引理有：

(23)

(24)

如果該權(quán)重向量現(xiàn)在用于掃描某給定方向 ，則可以得到在該方向上的輸出信號(hào)：

(25)

從式(25)可以看到，如果我們?nèi)”磉_(dá)式的倒數(shù)，可以得到MUSIC的譜估計(jì)，也就是PMUSIC(θ0)=1/G(θ0)。

5 分析

從第4節(jié)可以得出，MUSIC算法可以看作一個(gè)波束形成器。其中，選擇的權(quán)重向量與信號(hào)子空間正交，并與導(dǎo)向矢量的距離最小。從式(19)發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)權(quán)重向量是a(θ0)在噪聲子空間的投影。因此，當(dāng)在信號(hào)對(duì)應(yīng)的方向θ處，波束形成器的輸出最小，從而使偽譜出現(xiàn)了峰值。比較式(20)和式(13)可知，當(dāng)把MUSIC算法看作是一種波束形成器時(shí)，其加權(quán)矢量是導(dǎo)向矢量在噪聲子空間的投影，而MVDR波束形成器的加權(quán)矢量包含導(dǎo)向矢量在信號(hào)和噪聲子空間兩部分的投影。因此，信號(hào)子空間的特征向量會(huì)對(duì)MVDR波束形成器的性能造成影響。假設(shè)有兩個(gè)方向非常接近的復(fù)信號(hào)，由于它們的信號(hào)特征矢量也非常接近，會(huì)導(dǎo)致對(duì)應(yīng)于這些方向的MVDR波束形成器的加權(quán)矢量相似。因此，MVDR的輸出功率在這兩個(gè)方向上也會(huì)較接近，因此MVDR波束形成器不能分辨這兩個(gè)復(fù)信號(hào)。

(張 瑛等文)

此外，由于波束形成器具有盲估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，而MUSIC算法需要知道信源數(shù)量，因此可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)聯(lián)合MUSIC算法和波束形成算法優(yōu)點(diǎn)的新的空間譜估計(jì)方法。

6 結(jié)語

“數(shù)字信號(hào)處理算法和理論”課程是我校研究生培養(yǎng)方案中基礎(chǔ)是重要的課程之一。其中的空間譜估計(jì)方法MUSIC算法和波束形成算法是該課程的核心內(nèi)容。為了使學(xué)生更好地理解這些算法，并掌握它們的區(qū)別與聯(lián)系，本文提出一種將MUSIC算法表示為等價(jià)的波束形成器的思路，為學(xué)生掌握MUSIC算法和波束形成器算法提供了一種新思路。此外，通過發(fā)展該思路，學(xué)生還可以設(shè)計(jì)新的空間譜估計(jì)算法。

[1] Ralph, O.Schmidt, Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation, IEEE Transactions On Antennas and Propagation, vol. AP-34, No. 3, 276-280, March 1986.

[2] A. Banerjee, A joint economic-lot-size model for purchaser and vendor, Decision Sciences, vol.17, pp. 292-311, 1986. J.Capon, High Resolution Frequency-wavenumber Spectrum Analysis, Proceedings of the IEEE, vol. 57, No. 8, 1408-1418, August 1969.

[3] B.P. Ng, A MUSIC Approach for Estimation of Directions of Arrival of Multiple Narrowband and Broadband Sources, Signal Processing, vol. 40, No.2-3,319-323, 1994.

A New Teaching Idea of the MUSIC Algorithm in Digital Signal Processing

ZHANG Ying, WAN Qun, ZHAO Hua-peng

(SchoolofElectronicEngineering，UniversityofElectronicScienceandTechnology,Chengdu611731,China)

Multiple Signal Classification (MUSIC) algorithm is developed based on the so-called orthogonality of the signal and noise subspaces, which has the advantage of super-resolution. Beamforming techniques which form nulls at the direction of interferences maximizes the output signal-to-interference and noise ratio. The functionality of the MUSIC algorithm and beamforming techniques seems different with each other. However, there has been literature shows that the MUSIC algorithm can be alternatively expressed as a beamformer. Based on this fact, in this paper, we firstly introduce the MUSIC algorithm and the beamforming techniques. Then, the alternative formulation of the MUSIC algorithm as a beamformer is presented. Thirdly, based on this alternative formulation, we evaluate performance of the MUSIC algorithm and compare it with the minimum variance distortionless response beamformer to bring students a new insight of the MUSIC algorithm.

beamforming; digital signal processing; MUSIC algorithm

2016-09-22;

2017-03-17

電子科技大學(xué)碩士精品課程項(xiàng)目(No. 2016ZYXWJPKC002)，高等教育個(gè)性訓(xùn)練和教育改革項(xiàng)目(No. 2016XJYYB006)

張 瑛(1981-)，女，博士，副教授，主要從事陣列信號(hào)處理、雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別等方向的教學(xué)和研究，E-mail：zhying@uestc.edu.cn

G426

A

1008-0686(2017)04-0047-04