賈雅瓊1)2) 蔣國平1)?

1)(南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院,南京 210023)

2)(湖南工學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院,信號與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,衡陽 421002)

基于狀態(tài)觀測器的分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)同步研究?

賈雅瓊1)2) 蔣國平1)?

1)(南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院,南京 210023)

2)(湖南工學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院,信號與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,衡陽 421002)

(2017年2月17日收到;2017年6月12日收到修改稿)

研究分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)同步問題,基于狀態(tài)觀測器方法和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)同步控制器,使得分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)達(dá)到同步,同時給出了數(shù)學(xué)證明過程.該同步控制器采用驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的輸出變量進(jìn)行設(shè)計(jì),無需驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量,簡化了控制器的設(shè)計(jì),提高了控制器的實(shí)用性.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階線性矩陣不等式,研究并給出了同步控制器參數(shù)的選擇條件.以分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)為例,設(shè)計(jì)基于狀態(tài)觀測器的同步控制器,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)同步,并將其應(yīng)用于保密通信系統(tǒng)中.仿真結(jié)果證明了該同步方法的有效性.

混沌同步,分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng),分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測控制器,線性矩陣不等式

1 引 言

近十年來,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)逐漸成為國際上的研究熱點(diǎn),對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的特性及其控制的研究已成為混沌學(xué)領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)研究課題[1,2],且分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制比整數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制在保密通信、系統(tǒng)控制等領(lǐng)域具有更突出的應(yīng)用和發(fā)展前景[3?5].而由于摩擦、慣性、通信延遲等因素的限制,具有混沌特性的化工、生物、機(jī)械、經(jīng)濟(jì)、物理和工程學(xué)等實(shí)際系統(tǒng)大多都為時滯混沌系統(tǒng),并且時滯是影響一個系統(tǒng)動態(tài)特性的重要因素[6],因此關(guān)于時滯分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究得到了數(shù)學(xué)、物理、系統(tǒng)控制等多個領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注[7?10].

近年來,針對時滯分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步控制的研究,已經(jīng)出現(xiàn)了很多同步方法,如混合投影同步[11]、脈沖同步[12]、自適應(yīng)同步[13]等.其中混合投影同步法是將兩個狀態(tài)變量同步到一個比例因子,最終實(shí)現(xiàn)兩個系統(tǒng)的同步;脈沖同步法通過對系統(tǒng)施加脈沖作用,從而改變其狀態(tài)變量使兩個混沌系統(tǒng)同步;自適應(yīng)同步通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器改變狀態(tài)變量,使驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)達(dá)到同步.以上的同步方法存在一個共同的問題,也即處理的對象都是混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量,而狀態(tài)變量不能直接測量且很難實(shí)現(xiàn)實(shí)際應(yīng)用.而基于狀態(tài)觀測器的混沌同步方法使用的是輸出變量,簡化了控制器的設(shè)計(jì)且可以直接測量,在整數(shù)階混沌系統(tǒng)中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[14,15].本文采用狀態(tài)觀測器方法來研究時滯分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問題.其優(yōu)點(diǎn)在于該同步控制器采用驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的輸出變量進(jìn)行設(shè)計(jì),無需驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量,簡化了控制器的設(shè)計(jì),提高了控制器的實(shí)用性.

本文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階線性矩陣不等式,研究并給出了同步控制器參數(shù)的選擇條件.以分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)為例,設(shè)計(jì)基于狀態(tài)觀測器的同步控制器,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)同步,證明了該同步方法的有效性,并將其應(yīng)用于混沌保密通信系統(tǒng).

2 預(yù)備知識

常用的分?jǐn)?shù)階微積分的定義有G runwald-Letnikov,RieMann-Liouville(RL),Caputo.其中Caputo分?jǐn)?shù)階微積分的定義為[16]

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分的定義為[16]

式中α為分?jǐn)?shù)階階數(shù), Γ(.)是gamma函數(shù), 其定義為

為了得出分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的數(shù)值仿真,本文采用基于AdaMs-Bashforth-Mou lton的預(yù)估校正算法[17]的G runwald-Letnikov法[18]對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解. 根據(jù)文獻(xiàn)[16,19],分?jǐn)?shù)階微積分的Riemann-Liouville和Caputo定義之間存在如下關(guān)系式:

(6)式中b是正常數(shù).

引理1[12,19]X和Y是相同維數(shù)的實(shí)向量,對于任意標(biāo)量ε＞0,存在如下不等式:

引理2[20]x=0為如下非自治分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的平衡點(diǎn):

假設(shè)存在一個Lyapunov函數(shù)V(t,x(t))和class-k函數(shù)βi(i=1,2,3),滿足

3 分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器同步

考慮如下的非線性時滯分?jǐn)?shù)階系統(tǒng):

此處,狀態(tài)向量x∈Rn,輸出y∈Rm,時滯τ＞0,A和C是已知的參數(shù)矩陣,f(x(t),y(t))滿足Lipschitz條件,也即[21]

引理3[22]如果如下條件滿足,則分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是存在的:

引理3給出了分?jǐn)?shù)階觀測系統(tǒng)存在的必要性條件.

在分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器同步中,驅(qū)動系統(tǒng)的模型如(11)式所示,輸出y(t)作為輸入去驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng).考慮(11)式的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測器為

定義誤差系統(tǒng)為

則其動力學(xué)方程為

其中e(t)∈Rn是誤差向量,e(t?τ)=x(t?τ)?(t?τ)是時滯的誤差向量.

定理1 假設(shè)引理3滿足(也即矩陣(C,A)存在),則存在一個分?jǐn)?shù)階漸近穩(wěn)定的狀態(tài)觀測器(14),如果矩陣L和正標(biāo)量ρ滿足以下線性矩陣不等式:

其中ρ = ελ2+ε+2ε?1+2μ.

證明 考慮Lyapunov函數(shù):

(18)式的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

將(20)式代入(19)式可得

考慮如下的邊界條件[19]:

將(16)式代入(21)式可得

根據(jù)引理1,有

再根據(jù)Liptschitz條件:

則(21)式可以寫為故

(28)式可以寫為

利用引理2中分?jǐn)?shù)階Lyapunov直接方法,通過選擇矩陣L和參數(shù)ξ,可以使得分?jǐn)?shù)階狀態(tài)誤差系統(tǒng)e(t)漸近穩(wěn)定,也即

根據(jù)定理1,分?jǐn)?shù)階狀態(tài)誤差系統(tǒng)(16)是漸近穩(wěn)定的,因此,分?jǐn)?shù)階時滯驅(qū)動系統(tǒng)(11)和分?jǐn)?shù)階時滯響應(yīng)系統(tǒng)(14)實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時滯狀態(tài)觀測器同步.

4 仿真結(jié)果

4.1 分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器同步

為了驗(yàn)證所提出的方法的正確性和有效性,利用所設(shè)計(jì)的控制器對分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)進(jìn)行了狀態(tài)觀測器同步的數(shù)值模擬仿真.

分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)表達(dá)式為

(33)式的分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測系統(tǒng)為

選取(33)式的初始值為x0=[0.01 0.01 0.01]T,(34)式的初始值為0=[1 2 5]T,得到的仿真結(jié)果如圖1—4所示,圖1表示混沌相圖x1-x2的狀態(tài)值與觀測值的比較,圖2表示混沌相圖x2-x3的狀態(tài)值與觀測值的比較,圖3表示混沌相圖x1-x3的狀態(tài)值與觀測值的比較,圖4表示分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測器的誤差曲線.

圖1 混沌相圖x1-x2的狀態(tài)值與觀測值的比較Fig.1.Phase portrait of x1versus x2(dashed lines)and1versus2(solid lines).

圖2 混沌相圖x2-x3的狀態(tài)值與觀測值的比較Fig.2.Phase portrait of x2versus x3(dashed lines)and2versus3(solid lines).

圖3 混沌相圖x1-x3的狀態(tài)值與觀測值的比較Fig.3.Phase portrait of x1versus x3(dashed lines)and1versus3(solid lines).

圖4 分?jǐn)?shù)階狀態(tài)觀測器的同步誤差曲線Fig.4.Synchronization error lines of fractional-order observer.

從實(shí)例數(shù)值仿真的結(jié)果可以看出,隨著時間的變化,e1,e2,e3很快地趨近于零,兩個系統(tǒng)達(dá)到了漸近穩(wěn)定.由此說明在控制器的作用下,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)(33)與系統(tǒng)(34)的狀態(tài)觀測器同步.

4.2 分?jǐn)?shù)階Chen時滯混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器同步應(yīng)用于保密通信系統(tǒng)

以分?jǐn)?shù)階Chen時滯混沌系統(tǒng)為例,設(shè)系統(tǒng)中發(fā)送的有用信號為s(t)=0.02 sin(50t),將狀態(tài)觀測器同步應(yīng)用于混沌保密通信系統(tǒng)中.

發(fā)送系統(tǒng)表示為

其中,y(t)是發(fā)送端的輸出,其余參數(shù)設(shè)置同(33)式.

接收系統(tǒng)表示為

假設(shè)接收端恢復(fù)的信號為sR(t)=y(t)?(t),根據(jù)定理1有因此,要發(fā)送的有用信號在接收端能夠準(zhǔn)確恢復(fù)出來,達(dá)到保密通信的目的.

圖5—圖7是混沌保密通信系統(tǒng)的仿真結(jié)果,其中圖5給出了系統(tǒng)中要發(fā)送的有用信號s(t),圖6給出了發(fā)送端的輸出信號y(t),圖7給出了接收端恢復(fù)出的信號sR(t).

圖5 系統(tǒng)中要發(fā)送的有用信號s(t)Fig.5.In forMation signal to be sent ou t in comMunication system.

圖6 發(fā)送端的輸出信號y(t)Fig.6.The ou tpu t signal in transMitter.

圖7 接收端恢復(fù)出的信號sR(t)Fig.7.The recovered signal in receiver.

5 結(jié) 論

本文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和分?jǐn)?shù)階線性矩陣不等式,設(shè)計(jì)基于狀態(tài)觀測器的同步控制器,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的同步,并且成功地利用Lyapunov函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)為例,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階時滯Chen混沌系統(tǒng)同步,證明了該同步方法的有效性.本文的方法具有廣泛的實(shí)用性,可以推廣到其他分?jǐn)?shù)階時滯混沌系統(tǒng),并可以將其應(yīng)用于混沌保密通信系統(tǒng).

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PACS:05.45.XtDOI:10.7498/aps.66.160501

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.61374180,61373136,61401226,61672298),the Scientifi c Research Fund of Hunan Provincial Education DepartMent(G rant No.15C 0369),and the PrograMof the Key D iscip linary in Hunan Institute of Technology.

?Corresponding author.E-Mail:jianggp@njupt.edu.cn

Chaotic systeMsynch ron ization of state-observer-based fractional-order tiMe-delay?

Jia Ya-Qiong1)2)Jiang Guo-Ping1)?

1)(College of Au toMation,Nanjing University of Posts and TelecomMunications,Nanjing 210023,China)
2)(DepartMent of E lectronics and InforMation Engineering,Key Laboratory of Signal and InforMation Processing,Hunan Institute of Technology,Hengyang 421002,China)

17 February 2017;revised Manuscript

12 June 2017)

Alot of studies of control high light fractional calculus in Modeling systeMs and designing controllers have been carried out.More recently,a lot of chaotic behaviors have been found in fractional-order systeMs.Then,controlling the fractional-order systeMs,especially controlling nonlinear fractional-order systeMs has becoMe a hot research sub ject.The design of state estimators is one of the essential points in control theory.Time delays are often considered as the sources of coMp lex behaviors in dynaMical systeMs.A lot p rogress has been Made in the research of tiMe delay systeMs With real variables.In recent years,fractional-order tiMe-delay chaotic synchronization and chaotic secure communication have received ever-increasing attention.In this paper we focus our study on the synchronization of fractional-order tiMe-delay chaotic systeMs and its app lication in secure communication.Firstly,based on the Lipschitz condition,the nonlinear fractional-order tiMe-delay systeMis p roposed.Second ly,the fractional-order tiMe-delay observer for the systeMis constructed.The necessary and suffi cient conditions for the existence of the fractional-order observer are given by soMe lemMas.Third ly,the synchronous controller is designed based on the state observer and the stability theory of fractional-order system.Instead of the state variab les,the output variab les of drive systeMand response systeMare used to design the synchronous controller,which makes the design much more siMp le and practical.With the Lyapunov stability theory and fractional orderMatrix inequalities,theMethod of hoWto obtain the paraMeters of the controller is presented.The suffi cient conditions for asyMp toticalstability of the state error dynaMicalsysteMare derived.A fter that,With the Chen fractional-order time-delay chaotic system,the synchronous controller is designed tomake the systeMrun synchronously.Finally,the proposed approach is then app lied to secure communications,where the inforMation signal is injected into the transMitter and simultaneously transMitted to the receiver.With the observer design technique,a chaotic receiver is then derived to recover the in forMation signal at the receiving end of the communication.In the conventional chaotic MaskingMethod,the receiver is d riven by the suMof the inforMation signal and the output of the transMitter,whose dynaMics is autonomous.The simulation results shoWthat the design of the synchronous controller works eff ectively and effi ciently,which iMp lies that the p roposed fractional order tiMe-delay observer in this paper runs eff ectively.The proposed Method is able to be app lied to other fractional order tiMe-delay chaos systeMs,and also to chaotic secure communication system.

chaotic synchronization,fractional-order time-delay chaotic system,fractional state observe controller,linearmatrix inequality

10.7498/aps.66.160501

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:61374180,61373136,61401226,61672298)、湖南省教育廳項(xiàng)目(批準(zhǔn)號:15C0369)和湖南工學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目資助的課題.

?通信作者.E-Mail:jianggp@n jup t.edu.cn

?2017中國物理學(xué)會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn