趙密密
二次根式一直是中考中非負(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)計(jì)算等熱點(diǎn)考點(diǎn)必考的部分,考查的題型有低檔的填空題、選擇題,中檔的計(jì)算題,除考查定義、性質(zhì)、計(jì)算等常規(guī)題外,還經(jīng)常結(jié)合實(shí)數(shù)、勾股定理等綜合考查貼近生活實(shí)際的應(yīng)用題、閱讀理解題以及探究題等,也經(jīng)常與幾何知識(shí)、函數(shù)等學(xué)科內(nèi)知識(shí)結(jié)合作為壓軸題出現(xiàn).
例1 (2016·廣東茂名)計(jì)算:
(-1)2016+[8]-[-2]-(π-3.14)0.
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是掌握乘方有意義的條件、二次根式的化簡、絕對(duì)值有意義的條件、零指數(shù)冪和同類二次根式的合并法則.
【解答】原式=1+[22-2-1=2].
【點(diǎn)評(píng)】本題最容易出現(xiàn)差錯(cuò)的地方是沒有正確區(qū)分“-[-2]”“-[-2]”.另外,在化簡二次根式后,注意要合并同類二次根式.
例2 (2014·湖北荊州)如圖,點(diǎn)P是以AB為半徑的圓弧與數(shù)軸的交點(diǎn),則數(shù)軸上點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)是( ).
A.-2 B.-2.2
C.-[10] D.-[10]+1
【分析】在△AOB中,利用勾股定理求出AB的長,即可確定AP的長,得到P表示的實(shí)數(shù).
【解答】在Rt△AOB中,OA=1,OB=3,根據(jù)勾股定理得:AB=[32+12]=[10],∴AP=AB=[10],∴OP=AP-OA=[10-1],則P表示的實(shí)數(shù)為-[10+1].故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸,熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.
例3 (2016·山東濰坊)實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,化簡[a]+[(a-b)2]的結(jié)果是( ).
A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【分析】直接利用數(shù)軸上a、b的位置,進(jìn)而得出a<0、a-b<0,再利用絕對(duì)值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.
【解答】如圖所示:a<0,a-b<0,
則[a]+ [(a-b)2]=-a-(a-b)=-2a+b.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì),也考查了絕對(duì)值的意義以及數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
例4 (2014·江蘇鹽城)計(jì)算:[9]+[-1]-([3]-1)0.
【分析】原式第一項(xiàng)利用平方根定義化簡,第二項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡,第三項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】原式=3+1-1=3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
例5 (2016·廣西桂林)已知任意三角形的三邊長,如何求三角形面積?
古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問題,在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式——海倫公式S=[pp-ap-bp-c](其中a、b、c是三角形的三邊長,p=[a+b+c2],S為三角形的面積),并給出了證明.
例如:在△ABC中,a=3,b=4,c=5,那么它的面積可以這樣計(jì)算:
∵a=3,b=4,c=5,
∴p=[a+b+c2=6].
∴S=[pp-ap-bp-c]=[6×3×2×1]
=6.
事實(shí)上,對(duì)于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題,還可用我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決.
如圖,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9.
(1)用海倫公式求△ABC的面積;
(2)求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.
【分析】(1)先根據(jù)BC、AC、AB的長求出p,再代入到公式S=[pp-ap-bp-c]中即可求得S的值;
(2)根據(jù)公式S=[12]r(AC+BC+AB),將三邊長和S的值代入可得關(guān)于r的方程,解方程得r的值.
【解答】解:(1)∵BC=5,AC=6,AB=9,
∴p=[BC+AC+AB2] =[5+6+92]=10,
∴S=[pp-ap-bp-c]
=[10×5×4×1]=10[2],
故△ABC 的面積10[2].
(2)∵S=[12]r(AC+BC+AB),∴10[2]=[12]r[×](5+6+9),解得r=[2].
故△ABC的內(nèi)切圓半徑r=[2].
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、二次根式的應(yīng)用,熟練掌握三角形的面積與內(nèi)切圓半徑間關(guān)系的公式是解題的關(guān)鍵.
(作者單位:江蘇省淮安外國語學(xué)校)