摘 要：學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點與落腳點.相似三角形教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是教學(xué)的難點與重點，可以從陳述性知識、程序性知識與過程性知識三個方面，對學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進行建構(gòu).

關(guān)鍵詞：認(rèn)知結(jié)構(gòu)；陳述性知識；程序性知識；過程性知識

相似三角形是繼全等三角形后，更深一步研究三角形之間關(guān)系的重要理論，是全等三角形知識的進一步發(fā)展.相似三角形知識是初中平面幾何教學(xué)的重點知識，這是因為：（1）三角形相似可通過研究其中一個三角形的性質(zhì)，而掌握一類三角形的性質(zhì)；（2）相似三角形的知識在生活中應(yīng)用比較廣泛；（3）相似三角形知識是后續(xù)學(xué)習(xí)銳角三角比的基礎(chǔ)，也是后續(xù)進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)知識的必備基礎(chǔ)知識.眾所周知，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點與落腳點，良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，既是學(xué)生進一步認(rèn)知的“固著點”，又是學(xué)生自我重構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的基礎(chǔ)，也是提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的“起跳板”.比如一般跳高是以地面為支撐，而撐桿跳是以桿為支撐，因此跳的高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一般跳高.數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生信息加工的支撐，其支撐的強度直接影響學(xué)生信息加工的能力.建構(gòu)一個結(jié)構(gòu)合理，有利于信息提取，清晰度高的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的關(guān)鍵.因而建構(gòu)一個科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵[1].針對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的特點進行教學(xué)，才能使學(xué)生建構(gòu)優(yōu)良的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).那么在相似三角形教學(xué)中，如何才能讓學(xué)生建構(gòu)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，是每個數(shù)學(xué)教師要深刻思考的問題.本文就結(jié)合相似三角形知識的特點和自身的教學(xué)實踐，談?wù)劰P者的一些思考.

一、陳述性知識的建構(gòu)

相似三角形中的陳述性知識分為三類，首先是相似三角形有關(guān)的概念；其次是相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理；最后是相似三角形中的基本圖形，A型圖、8型圖（或X型）、子母三角形（或母子三角形）、一線三等角等.陳述性知識的表征有三種方法，一是命題網(wǎng)絡(luò)表征；二是表象表征；三是線性排序表征.

第一，相似三角形的判定與全等三角形的判定聯(lián)合起來表征.相似三角形的知識是在全等三角形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，全等三角形是相似三角形的特殊情況，相似三角形的判定知識可以由全等三角形的判定知識類比得到，而且全等三角形的判定知識在學(xué)生的長時記憶中有很強的記憶強度，因此通過類比可使學(xué)生運用全等三角形的判定知識來同化相似三角形的判定知識，這樣可使學(xué)生把相似三角形的判定知識納入學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的三角形結(jié)點下，建構(gòu)相似三角形結(jié)點，也就是在三角形的樹形知識結(jié)構(gòu)中增加相似三角形結(jié)點.同時通過全等與相似的關(guān)系，把知識之間聯(lián)系起來，形成知識之間的網(wǎng)絡(luò)，有利于需要時檢索，便于提取.

第二，基本圖形知識充分運用表象表征與命題網(wǎng)絡(luò)表征.一是基本圖形是以圖形指示性定義的方式給出，其中A型圖，8型圖是與學(xué)生原有的圖形知識相聯(lián)系給出的基本圖形，這些知識可直接運用表象表征.二是對子母三角形和一線三等角可同時運用兩種方式表征，即命題網(wǎng)絡(luò)表征與表象表征.如一線三等角是指一條直線上有三個等角；子母三角形是指連結(jié)三角形的一個頂點與其對邊上一點所構(gòu)成的圖形（特點是有一個公共角，有一條公共邊）.同時可使學(xué)生充分觀察圖形，識別圖形的基本特點.教學(xué)中，要對基本圖形進行充分的變式，使學(xué)生能夠識別基本圖形，如對子母三角形的教學(xué)，可對圖形進行正例變式與反例變式，正反例變式要充分，正例變式不充分不利于學(xué)生理解內(nèi)涵，反例變式不充分，學(xué)生對外延的把握不準(zhǔn)確，充分變式，以使學(xué)生能夠掌圖形的本質(zhì)屬性.

案例1：

[子母三角形正例變式圖][子母三角形反例變式圖]

圖1

二、程序性知識的建構(gòu)

程序性知識與陳述性知識是相對的，靜態(tài)地看相似三角形的知識為陳述性知識，當(dāng)把這些知識運用到解決問題過程中就屬程序性知識，程序性知識分為簡單程序性知識與復(fù)雜程序性知識.相似三角形知識中，運用時步驟簡單，經(jīng)過練習(xí)能夠自動化的屬簡單程序性知識，這部分知識學(xué)生比較容易掌握.而沒有固定步驟的程序性知識屬復(fù)雜程序性知識，這部分知識學(xué)生不易掌握.因此對程序性知識的建構(gòu)分兩類，一類是簡單程序性知識，另一類是復(fù)雜程序性知識.除此之外，程序性知識還包括策略性知識，這部分知識是隱含在解題過程之中的，如數(shù)學(xué)思想方法等.

（一）知慧技能的建構(gòu)

第一，簡單程序性知識要學(xué)生達(dá)到自動化程度.首先基本知識的運用要達(dá)到自動化，如判定與性質(zhì)定理等的運用，其次，基本圖形知識是屬簡單程序性知識，因此對基本圖形的知識要加強練習(xí)，使學(xué)生對這部分知識達(dá)到自動化程度，當(dāng)學(xué)生的這部分知識達(dá)到自動化后就會在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成穩(wěn)定的知識組塊，在學(xué)生需要這部分知識時，提取到工作記憶中的知識不是零散的知識點，而是由若干知識點組成的知識塊，這樣一是有利于在工作記憶中增加被加工的知識點數(shù)量.二是減少思維操作的工作量.試想如果基本圖形知識沒有形成組塊，對基本圖形中相似以及對應(yīng)線段成比例，還要重新進行加工處理，勢必要增加思維的時間與思維加工的數(shù)量.三是形成知識組塊，能夠提高雙基的高度.形成知識組塊后，學(xué)生的思維可在組塊的基礎(chǔ)上進行思維，這樣學(xué)生就不是從對底層最基本的知識點開始思維，解題過程就如同搭積木，一塊一塊搭，比從最基本的搭建要快得多，容易得多，因而要提高學(xué)生的基本思維的起點.

第二，復(fù)雜圖形可轉(zhuǎn)化為基本圖形.通過從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，然后運用基本圖形的知識解決問題，也就是把復(fù)雜程序性知識轉(zhuǎn)化為簡單程序性知識.在相似三角形的解題教學(xué)中，復(fù)雜圖形可轉(zhuǎn)化為基本圖形，基本圖形是解題的基本線索，因此解決復(fù)雜圖形的法寶是把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形知識，這樣可把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為基本問題.

第三，引導(dǎo)學(xué)生進行解題后反思.一是做好解題后的小結(jié)，可以從解題方法、解題規(guī)律、解題策略等方面進行多角度、多側(cè)面的總結(jié).對自己能解答的題也要多問一下為什么能解答出來，是怎樣思考的，總結(jié)思維的方法，從而總結(jié)解題規(guī)律；二是對不能解答的題也要總結(jié)，為什么沒有解答出來，是什么地方思維有障礙，總結(jié)失敗的原因，提高解題能力.三是提高學(xué)生元認(rèn)知能力，加強解題過程中的自我認(rèn)識與調(diào)控.教學(xué)中，作業(yè)中的錯誤由學(xué)生自己獨立訂正，并且要剖析錯誤的原因.學(xué)生有問題時，啟發(fā)學(xué)生自我反思，找到問題所在，而不是把解答過程直接給學(xué)生[2].從而使學(xué)生能夠建構(gòu)科學(xué)合理的解題策略性知識和解題過程性知識.

（二）策略性知識的建構(gòu)

策略性知識也屬于程序性知識，是一種對內(nèi)調(diào)控的認(rèn)知策略.

1.基本思維策略

基本思維策略是指相似三角形部分解題的基本思維方法.一是首先把已知條件圖形化，然后借助幾何直觀去分析問題解決問題.弗萊登塔爾認(rèn)為：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦.”大數(shù)學(xué)家希爾伯特在其名著《直觀幾何》一書中談到：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果，這就是幾何直觀帶給我們的好處.”[3]我國數(shù)學(xué)家徐利治教授提出：直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知[4].幾何直觀可使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，直觀問題直觀化，這樣可形成充分運用幾何直觀解決問題的策略.二是當(dāng)證明比例式（或等積式）時，根據(jù)要證明的結(jié)論去分析證明哪兩個三角形相似，簡言之，就是看線段所在的三角形.三是當(dāng)需證明兩個三角形相似時，如果給定的一個條件是角相等，思考是否能再證得一個角相等或夾此角的兩邊是否成比例.

2.公比代換策略

公比代換策略是指當(dāng)要證明的比例式（或等積式）不能直接從兩個相似三角形中獲得時，需運用公共比進行代換的證題策略.一是公比代換的本質(zhì)就是等量代換，因此可把公比代換引導(dǎo)學(xué)生納入等量代換的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).二是觀察圖形的能力，在相似三角形中，能夠從圖形中觀察出公共比，這部分知識可從公共邊的比中觀察得到，也就是說兩個線段的比分布在兩對相似三角形中，這樣才可能出現(xiàn)公共比，或者是同一線段（包括相等）出現(xiàn)在兩對相似三角形中再運用等積代換.三是公共比相當(dāng)于全等三角形中的公共邊，因此可把此知識納入到公共邊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.

案例2：如圖2，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，點E在邊AD上，BE與AC相交于點O，且∠ABE=∠BCA.求證：（1）△BAE∽△BOA；（2）BO·BE=BC·AE.

分析：第一問略.此題第二問有兩個思路，一是運用△ABO與△ABE相似（子母三角形）得出AB2= BO·BE， △ABE與△ABC相似，線段AB是兩個三角形的公共邊，得AB2= BC·AE，從而通過等積代換得到BO·BE=BC·AE.二是△ABO與△EBA得，由△ABO與△ACB得，從而通過公比代換得到，進而得到BO·BE=BC·AE.

3.相似分類策略

相似分類討論策略是指題目中給定兩個三角形中有一個對應(yīng)角相等，然后問三角形中一條線段滿足什么條件時兩三角形相似，或者是兩個三角形相似時求一條線段的長度.一是此類問題的解決要納入到方程的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，也就是在解決問題的過程中，要通過相似三角形得到對應(yīng)線段成比例，從而得到一個方程，進而求出線段的長度.二是此類問題由相似三角形的判定定理知，須夾此角的兩條邊對應(yīng)成比例，因此需分兩類進行討論，把此問題分類討論納入座位分配問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，甲、乙兩人，有A，B兩個座位好分配，如何分配，有兩種分配方案.甲-A，乙-B或乙-A， 甲-B.對應(yīng)兩邊對應(yīng)成比例的兩種情況.

案例3：如圖3所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為x.（1）當(dāng)x為何值時，PQ∥BC？（2）當(dāng)=時，求的值；（3）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由.

分析：此題（1）（2）問的分析略，對第三問，△APQ能否與△CQB相似，首先因為BA=BC，所以∠A=∠C，因而問題轉(zhuǎn)化為一個角相等的條件下討論兩個三角形相似的問題，分兩種情況討論.即，從而得到方程，問題得到解決.

三、過程性知識的建構(gòu)

過程性知識是一種隱性知識，是隱藏在數(shù)學(xué)活動過程中的體驗性知識，是學(xué)生對數(shù)學(xué)活動過程的體驗與感悟.因此在相似三角形的教學(xué)過程中，學(xué)生一是要體驗相似三角形知識的發(fā)生、發(fā)展、結(jié)果及問題解決過程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法.創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終.”[5]因此，學(xué)生在知識形成過程中，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力會得到發(fā)展，獨立思考問題能力及思維的方法會得到充分發(fā)展，并且對創(chuàng)新的方法會得到充分體驗，因而其創(chuàng)新認(rèn)知能力將得到充分的建構(gòu).二是學(xué)生對此部分知識解題思維過程的感受與體驗，總結(jié)思維的規(guī)律.

總之，相似三角形教學(xué)中，要以學(xué)生建構(gòu)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為主線，以各部分知識為載體，以新課標(biāo)的教學(xué)理念為準(zhǔn)繩，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力為目標(biāo)，科學(xué)合理地進行相似三角形知識教學(xué)，這樣學(xué)生的認(rèn)知能力才能在相似三角形教學(xué)中得到最大限度的發(fā)展，從而實現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

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[5]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011（1）：7.