馬國建

(常州市金壇區(qū)第五中學,江蘇 常州 213200)

相似圖形中的“面積”問題

馬國建

(常州市金壇區(qū)第五中學,江蘇 常州 213200)

“面積”問題是初中幾何中常見的，也是非常重要的一個知識內(nèi)容．本文借助幾個典型例題，利用有關(guān)“相似”的知識，通過拓展訓練，研究“面積”問題，幫助學生歸納總結(jié)，建立相關(guān)知識體系．

相似圖形；面積問題

例題1 如圖1，點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點.

(1)求S△ADE∶S△ABC;

(2)求S△ADE∶S四邊形BDEC.

分析 (1)由中位線的知識得到DE∥BC，這樣△ADE∽△ABC，相似比為1∶2.根據(jù)“相似三角形面積的比等于相似比的平方”，易得答案1∶4．

(2)可采用設“k”的方法解：設S△ADE=k，由(1)知S△ADE∶S△ABC=1∶4,可得S△ABC=4k，故S四邊形BDEC=4k-k=3k，易得答案1∶3．

點評 題⑴是相似三角形性質(zhì)的直接應用，利用此性質(zhì)求圖形的面積之比的前提條件是這兩個圖形相似．題⑵中的兩個圖形不是相似圖形，不能直接應用相似的性質(zhì)．在此介紹了一種代數(shù)的方法，幾何問題用代數(shù)方法解決也是一種很重要的思維方法．

例題2 如圖3，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且DE∥BC，連接BE，CD相交于點H，已知S△DHE∶S△CHB=4∶25，求AD∶DB

點評 利用相似的性質(zhì)求線段的比一定要弄清這兩條線段是否是相似圖形的對應邊．

例題3 如圖5，點E是ABCD的邊CD延長線上一點，且ED∶CD=2∶3，連接AC，AE，連接BE交AC于點G，交AD于F，求S△AGB∶S△EGC∶S△AGE．

分析 由平行四邊形可得AB∥CE，AB=CD．求出CD∶CE=3∶5，從而AB∶CE=3∶5．△ABG與△CEG相似，相似比為3∶5，所以S△AGB∶S△EGC=9∶25,△ABG與△AGE分別以BG,EG為底，此時它們的高相等，可求出S△AGB∶S△AGE=3∶5，易得答案9∶25∶15.

點評 本題的圖形中含有多個相似三角形，比較難識別，關(guān)鍵是要抓住平行這一條件．通過相等線段的代換，從而求出相似三角形的相似比也是本題的思維方法之一．

例題4 如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,已知△ACD面積為4，△BCD面積為12，AC=5，求AB的長．

分析 由條件可得△ADC∽△ACB，它們的面積之比為1∶4，相似比為1∶2，AC與AB是兩個相似三角形的對應邊，從而得AC∶AB=1∶2，易得AB=10．

點評 由面積易想到有關(guān)底和高的相關(guān)問題，但本題中含有“相似三角形”這一特殊結(jié)論，從而聯(lián)想到與相似有關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)線段的比求出答案．

[1]魏祥勤.數(shù)形結(jié)合探究一類三角形面積問題[J].數(shù)理化解題研究，2016(03).

[責任編輯：李克柏]

2017-06-01

馬國建(1983),男，江蘇省金壇人，本科，中學一級教師,主要研究方向是數(shù)學教學與研究.

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