劉小平， 張立杰， 沈凱凱， 高強(qiáng)

(1.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004)

考慮測(cè)量誤差的步進(jìn)加速退化試驗(yàn)建模與剩余壽命估計(jì)

劉小平1,2， 張立杰1,2， 沈凱凱1,2， 高強(qiáng)1,2

(1.燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004)

步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗(yàn)已發(fā)展成高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品可靠性評(píng)估與剩余壽命估計(jì)的主要試驗(yàn)方法。為研究測(cè)量誤差在基于步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗(yàn)方法剩余壽命估計(jì)中的影響，建立了基于Wiener過(guò)程的考慮個(gè)體差異和測(cè)量誤差的退化模型。將Wiener過(guò)程的漂移系數(shù)隨機(jī)化描述個(gè)體差異，在首達(dá)時(shí)間意義下得到了壽命分布的概率密度函數(shù)。基于極大似然估計(jì)法對(duì)模型中引入的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。采用蒙特卡洛方法對(duì)激光器的性能退化進(jìn)行了仿真研究。研究結(jié)果表明，考慮測(cè)量誤差的退化模型的模型擬合性和剩余壽命估計(jì)精度都優(yōu)于不考慮測(cè)量誤差的方法，可以提高可靠性估計(jì)的精度與剩余壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

概率論； 隨機(jī)過(guò)程； 剩余壽命估計(jì)； 步進(jìn)應(yīng)力； 測(cè)量誤差； 極大似然估計(jì)

0 引言

材料性能的提高和制造技術(shù)的進(jìn)步極大地提高了產(chǎn)品壽命和可靠性，誕生了高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品。然而高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品的可靠性評(píng)估與剩余壽命估計(jì)成了產(chǎn)品研制和使用中棘手的問(wèn)題，軍工、航空航天及電子工業(yè)等多個(gè)領(lǐng)域已對(duì)高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品的可靠性評(píng)估與剩余壽命估計(jì)提出了高效準(zhǔn)確的要求[1-3]。

步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗(yàn)(SSADT)使用樣本少，可在短時(shí)間內(nèi)獲得壽命試驗(yàn)以外的反映產(chǎn)品可靠性的性能退化數(shù)據(jù)。不僅克服了壽命試驗(yàn)可靠性信息少、信息獲取難的缺點(diǎn)，也克服了恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)樣本量大、低應(yīng)力下退化速度慢的缺點(diǎn)，成為高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品可靠性評(píng)估與剩余壽命預(yù)測(cè)的有效試驗(yàn)方法[4-10]。

在現(xiàn)有加速退化建模方法中，Wiener過(guò)程能夠體現(xiàn)性能退化在時(shí)間軸上的不確定性，并且在首達(dá)時(shí)間意義下具有良好的統(tǒng)計(jì)分析特性，在退化過(guò)程建模和剩余壽命估計(jì)中得到了廣泛的研究[10-17]。在恒定應(yīng)力下，Peng等[12]對(duì)同時(shí)考慮測(cè)量誤差與個(gè)體差異的線性Wiener過(guò)程的參數(shù)估計(jì)方法與剩余壽命分布進(jìn)行了研究；司小勝等[10]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上研究了帶測(cè)量誤差的非線性Wiener過(guò)程退化建模與剩余壽命估計(jì)，同時(shí)考慮了退化中的個(gè)體差異。

然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)基于Wiener過(guò)程的步進(jìn)應(yīng)力加速退化建模并沒(méi)有同時(shí)考慮個(gè)體差異與測(cè)量誤差對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響。唐圣金等[15]基于Wiener過(guò)程對(duì)步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗(yàn)進(jìn)行了建模與剩余壽命估計(jì)研究，考慮了個(gè)體差異卻沒(méi)有考慮測(cè)量誤差；肖倩等[17]在步進(jìn)應(yīng)力下建立了考慮測(cè)量誤差的線性Wiener過(guò)程退化模型，進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，沒(méi)有對(duì)該模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，也沒(méi)有考慮個(gè)體差異。

在剩余壽命估計(jì)中，個(gè)體差異與測(cè)量誤差都是普遍存在的。為了在SSADT場(chǎng)合下同時(shí)考慮個(gè)體差異和測(cè)量誤差對(duì)建模精度的影響，本文將Wiener過(guò)程漂移系數(shù)隨機(jī)化來(lái)體現(xiàn)個(gè)體差異，引入測(cè)量誤差對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的影響建立了退化模型。針對(duì)步進(jìn)應(yīng)力下的性能退化特征數(shù)據(jù)，提出了一種基于極大似然估計(jì)法的退化模型未知參數(shù)估計(jì)方法。最后，通過(guò)仿真分析對(duì)本文提出的模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 退化建模及剩余壽命估計(jì)

從前面的分析可見(jiàn)，Wiener過(guò)程能夠很好地描述退化過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性和理解產(chǎn)品失效的本質(zhì)。假設(shè)產(chǎn)品真實(shí)的性能退化過(guò)程能用線性Wiener過(guò)程描述，則單個(gè)應(yīng)力下的產(chǎn)品性能退化過(guò)程為

x(t)=x(0)+λt+σB(t),

(1)

式中：x(t)為t時(shí)刻產(chǎn)品性能退化真實(shí)值；x(0)為退化初值，為方便分析，令x(0)=0；λ為漂移系數(shù)，表征產(chǎn)品性能退化速度；B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表征退化動(dòng)態(tài)特性；σ為擴(kuò)散系數(shù)。

然而，真實(shí)的退化數(shù)據(jù)由于受到儀器或者環(huán)境引起的隨機(jī)誤差影響，難以精確測(cè)量。類似于文獻(xiàn)[10,12]在恒定應(yīng)力下帶測(cè)量誤差的Wiener過(guò)程建模方法，測(cè)量值可以描述為

y(t)=x(t)+ε,

(2)

設(shè)產(chǎn)品的失效閾值為w，常用真實(shí)退化過(guò)程的首達(dá)時(shí)間定義產(chǎn)品壽命T，即

T=inf{t:x(t)≥w|x(0)

(3)

當(dāng)λ為固定參數(shù)時(shí)，線性漂移Wiener過(guò)程的首達(dá)時(shí)間分布服從逆高斯分布，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為

(4)

(5)

(6)

根據(jù)剩余壽命的定義，Lt=inf{lt:T-t|T>t}，不難得到t時(shí)刻的剩余壽命概率密度函數(shù)、可靠度函數(shù)以及剩余壽命的期望值分別為

fLt(lt)=f(t+lt)/R(t),

(7)

(8)

(9)

從(6)式和(9)式可以看出，在常應(yīng)力下，對(duì)于可以用Wiener過(guò)程描述性能退化的高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品，其可靠性評(píng)估與剩余壽命估計(jì)都可以解析確定，接下來(lái)研究如何采用SSADT實(shí)現(xiàn)快速的可靠性評(píng)估與剩余壽命預(yù)測(cè)。

2 步進(jìn)應(yīng)力加速退化模型

加速模型的選擇是實(shí)現(xiàn)加速退化試驗(yàn)中關(guān)鍵的一步，常見(jiàn)的有阿倫尼斯模型、艾林模型和逆冪律模型[15]。本文以表征溫度應(yīng)力與退化速度之間關(guān)系的阿倫尼斯模型為例，給出考慮測(cè)量誤差的SSADT建模方法以及下節(jié)未知參數(shù)估計(jì)方法，其余加速模型的使用與此模型類似。對(duì)基于Wiener過(guò)程的SSADT而言，一般認(rèn)為Wiener過(guò)程的漂移系數(shù)與應(yīng)力有關(guān)，而擴(kuò)散系數(shù)與應(yīng)力無(wú)關(guān)，相應(yīng)的加速模型為

λ(S)=aexp (-b/S),

(10)

假設(shè)各步進(jìn)應(yīng)力下的失效機(jī)理不發(fā)生變化，l步步進(jìn)應(yīng)力試驗(yàn)加載順序如圖1所示。Si表示第i步加速應(yīng)力，ti表示完成第i步加速應(yīng)力的時(shí)間。由(10)式加速模型可知，不同加速應(yīng)力下有不同的退化速度，即漂移系數(shù)

λi=λ(Si)=aexp (-b/Si)，i=1,2,…,l.

(11)

(12)

圖1 SSADT應(yīng)力加載順序Fig.1 SSADT stress loading sequence

3 參數(shù)估計(jì)

本節(jié)基于極大似然估計(jì)方法對(duì)退化模型未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于不考慮個(gè)體差異的退化過(guò)程，只需按照Wiener過(guò)程的獨(dú)立增量性就可以進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；對(duì)于考慮個(gè)體差異卻不考慮測(cè)量誤差的退化過(guò)程，文獻(xiàn)[15]給出了兩步極大似然估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，文獻(xiàn)[12]給出了在常應(yīng)力下同時(shí)考慮個(gè)體差異與測(cè)量誤差的Wiener過(guò)程未知參數(shù)模型估計(jì)方法，本節(jié)給出帶測(cè)量誤差的SSADT模型的參數(shù)估計(jì)方法。

由于條件限制，SSADT更多地適用于內(nèi)場(chǎng)試驗(yàn)，因此可以假設(shè)各試樣的測(cè)量間隔與測(cè)量次數(shù)相同。假設(shè)共有N個(gè)試樣進(jìn)行試驗(yàn)，共有l(wèi)步步進(jìn)加速應(yīng)力，由(12)式可得，第j個(gè)樣本在應(yīng)力Si下的第k次測(cè)量性能退化觀測(cè)值為

(13)

(14)

各個(gè)產(chǎn)品性能退化量測(cè)量值之間相互獨(dú)立，則樣本的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(15)

計(jì)算(15)式關(guān)于μa和σa的1階偏導(dǎo)數(shù)[12]，得到

(16)

(17)

令(16)式和(17)式等于0，得到σa和σa的受限極大似然估計(jì)值如下：

a(σ,σε,b)=,

(18)

(19)

將(18)式和(19)式代入(15)式中，得到未知參數(shù)的剖面對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下：

(20)

參數(shù)σ、σε和b的極大似然估計(jì)值可以采用多維搜索算法最大化剖面似然函數(shù)(20)式得到，采用Matlab中的fminsearch函數(shù)實(shí)現(xiàn)，將得到的極大似然估計(jì)值、ε和代入(18)式和(19)式，則可以得到a與a.

4 仿真分析

本節(jié)以激光器SSADT蒙特卡洛仿真來(lái)驗(yàn)證本文所提方法，計(jì)算結(jié)果僅用來(lái)說(shuō)明方法的正確性，不對(duì)激光器試驗(yàn)構(gòu)成指導(dǎo)。針對(duì)激光器[18]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用文獻(xiàn)[12]提出的方法得到參數(shù)值λ=2.04×10-3，σλ=4.20×10-4，μa=12.55，σa=2.58，σ=1.04×10-2，σε=3.09×10-2.

激光器的運(yùn)行性能特征參數(shù)對(duì)溫度應(yīng)力較敏感，假設(shè)產(chǎn)品主要受溫度應(yīng)力的影響，則性能退化速度與溫度應(yīng)力之間的關(guān)系符合阿倫尼斯模型。當(dāng)運(yùn)行性能特征參數(shù)超過(guò)失效閾值，則認(rèn)為其失效，預(yù)設(shè)失效閾值w=10. 設(shè)正常工作溫度為25 ℃，令b=2 600，取步進(jìn)應(yīng)力分別為25 ℃、50 ℃、75 ℃，分別每隔150h測(cè)量一次，每個(gè)應(yīng)力下測(cè)量5次，仿真的8個(gè)試樣步進(jìn)應(yīng)力加速退化曲線如圖2所示，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1.

圖2 SSADT退化曲線Fig.2 SSADT degradation curves

將文獻(xiàn)[15]提出的不考慮測(cè)量誤差的步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法記為M1，本文提出的方法記為M2，引入赤池信息量準(zhǔn)則(AIC)和總體均方誤差(TMSE)作為評(píng)價(jià)方法好壞的標(biāo)準(zhǔn)[15]。AIC的值越小，模型擬合的優(yōu)良性越好，TMSE的值越小，壽命估計(jì)的準(zhǔn)確性越高，二者計(jì)算公式如下：

AIC=2(k-lnL(θ)),

(21)

(22)

分別采用兩種方法計(jì)算的各參數(shù)估計(jì)值、AIC、TMSE、平均失效時(shí)間(MTTF)和對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值(Log-LF)如表2所示，TMSE是以時(shí)間間隔為1×103h在區(qū)間[0,1×104h]內(nèi)的10個(gè)測(cè)量點(diǎn)的計(jì)算值。

從表2真實(shí)值可以看出，原始數(shù)據(jù)的誤差標(biāo)準(zhǔn)差非常小，表明原始數(shù)據(jù)受測(cè)量誤差的影響較小，仿真的各個(gè)階段退化曲線(見(jiàn)圖2)都接近于直線，也證明了這一點(diǎn)。采用方法M2對(duì)仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果(見(jiàn)表2)非常地接近真實(shí)值，說(shuō)明了本文方法的正確性。方法M1沒(méi)有考慮測(cè)量誤差，測(cè)量誤差通過(guò)表示，導(dǎo)致值偏大。相比方法M1，方法M2的Log-LF值較大，AIC值較小，說(shuō)明本文方法模型擬合性優(yōu)于方法M1；方法M2的TMSE值也小于方法M1，MTTF值更接近真實(shí)值，說(shuō)明本文方法具有更好的壽命估計(jì)精度?？傮w來(lái)說(shuō)，方法M2比方法M1在模型擬合性和壽命估計(jì)精度兩個(gè)方面都較優(yōu)。

表1 SSADT退化數(shù)據(jù)

表2 方法M1與M2的比較

為了更直觀說(shuō)明方法M2的正確性以及參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，根據(jù)(5)式～(9)式，利用表2中的參數(shù)估計(jì)結(jié)果可得圖3～圖5概率密度函數(shù)、可靠度以及剩余壽命概率密度函數(shù)。從中不難發(fā)現(xiàn)，方法M2的曲線更接近于真實(shí)值，表明本文提出方法的準(zhǔn)確性。

圖3 方法M1與M2的概率密度函數(shù)比較Fig.3 Comparison of probability density functions of M1 and M2

圖4 方法M1與M2的可靠度函數(shù)比較Fig.4 Comparison of reliability functions of M1 and M2

圖5 方法M1與M2的剩余壽命分布函數(shù)比較Fig.5 Comparison of residual life distribution functions of M1 and M2

5 結(jié)論

1)基于線性Wiener過(guò)程研究了考慮測(cè)量誤差的步進(jìn)應(yīng)力加速退化建模和剩余壽命估計(jì)問(wèn)題。引入測(cè)量誤差對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的影響，將漂移系數(shù)隨機(jī)化表示退化過(guò)程中產(chǎn)品的個(gè)體差異，建立了線性Wiener過(guò)程退化模型。

2)真實(shí)的退化過(guò)程受測(cè)量誤差的影響，難以直接得到，針對(duì)步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗(yàn)的測(cè)試數(shù)據(jù)，提出了一種基于極大似然估計(jì)的退化模型未知參數(shù)估計(jì)方法。

3)仿真實(shí)例對(duì)比分析表明，本文提出的考慮測(cè)量誤差的步進(jìn)應(yīng)力加速退化建模方法模型擬合性和剩余壽命估計(jì)精度都優(yōu)于不考慮測(cè)量誤差的方法，可以提高可靠性估計(jì)與剩余壽命預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

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Step Stress Accelerated Degradation Test Modeling and Remaining Useful Life Estimation in Consideration of Measuring Error

LIU Xiao-ping1,2， ZHANG Li-jie1,2， SHEN Kai-kai1,2， GAO Qiang1,2

(1.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of Education of China, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China;2.Hebei Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China)

Accelerated degradation test (ADT) has been developed into a main test method, which can be used to estimate the reliability and remaining useful life (RUL) of products with high reliability and long life. In order to study the effect of measurement error on the estimation of RUL in the step stress accelerated degradation test, a degradation process modeling based on Wiener process model considering the measurement error and the individual variation is proposed. The drift coefficient of Wiener process is randomized to describe the individual variation in different equipment, and the probability density function of life distribution is obtained at first hitting time. The maximum likelihood estimation method is used to estimate the unknown parameters introduced in the model. Monte Carlo method is used to simulate the performance degradation of laser. The results show that the fitting of model and the accuracy of RUL estimation in the degradation model considering the measurement error are better than those in the model without considering the measurement error, which can enhance the estimation accuracy of reliability and the prediction accuracy of RUL.

probability theory; stochastic process; remaining useful life estimation; step stress; measurement error; maximum likelihood estimation

2016-12-08

劉小平(1989—), 男, 博士研究生。E-mail: liu_xp163@163.com

張力杰(1969—), 男, 教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: ljzhang@ysu.edu.cn

TB114.37

A

1000-1093(2017)08-1586-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.08.017