畢楊, 王英民, 王奇

(1.西安航空學院 電子工程學院, 陜西 西安 710077; 2.西北工業(yè)大學 航海學院，陜西 西安 710072)

雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法研究

畢楊1,2, 王英民2, 王奇2

(1.西安航空學院 電子工程學院, 陜西 西安 710077; 2.西北工業(yè)大學 航海學院，陜西 西安 710072)

在相干信號子空間法中確定聚焦矩陣時，對初始方向估計的偏差和聚焦頻率選擇的偏差都會影響最終的聚焦效果，甚至會使算法失效。針對這個缺陷，提出了一種雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法。該算法利用穩(wěn)健Capon波束形成算法對聚焦矩陣進行修正，使寬帶信號通過修正的聚焦矩陣全部聚焦在最佳聚焦頻率上，再對窄帶數(shù)據(jù)利用2階錐方法實現(xiàn)波束形成。計算機仿真以及湖試實驗結(jié)果表明，該算法在保證波束恒定的前提下，在各個頻率點都具有更低的旁瓣級。

聲學； 最佳聚焦矩陣； 最佳聚焦頻率； RCB算法； 2階錐規(guī)劃； 寬帶波束形成

0 引言

波束形成可以使陣列信號形成基陣接收系統(tǒng)的方向性，提高信噪比；通過空域濾波，抑制空間干擾；進行多目標分辨，實現(xiàn)目標方位估計；在目標定位、距離、深度估計方面有很大的作用；還為目標識別提供信息[1]。窄帶信號中包含的關于目標信息有限，因此選用寬帶信號進行參量估計、目標檢測和特征提取。寬帶信號的波束形成算法研究非常有意義。對于寬帶信號的波束形成處理，通常有兩種方法：非相干信號子空間法(ISM)，和相干信號子空間法(CSM)。在CSM中，通過聚焦矩陣使寬帶信號劃分的不同頻率的窄帶信號都映射到同一個參考頻率上，再利用窄帶波束形成算法實現(xiàn)寬帶聚集波束形成[2-3]。與ISM相比，CSM中的聚焦操作充分地綜合了寬帶信息，使聚焦后的信號協(xié)方差矩陣保持滿秩，因此，寬帶波束形成的問題得到有效解決。該算法運算量小、估計精度高，能夠有效地克服信號抵消、擴展檢測及分辨門限，能夠處理多途環(huán)境問題等[4-6]。聚焦矩陣的構造是CSM的核心，聚焦矩陣的構造方法對CSM的估計性能起著決定性作用。確定聚焦矩陣時，有兩個因素決定最終的聚焦效果。一個是對初始方向的估計，另一個是選擇的聚焦頻率。對初始方向估計的偏差和聚焦頻率選擇的偏差都會影響最終的聚焦效果，甚至會使算法失效。對于這個缺陷，文獻[7]中利用穩(wěn)健Capon波束形成(RCB)算法對聚焦矩陣進行校正，改善了預估計偏差對聚焦效果的影響，但尚未考慮聚焦頻率對聚焦效果的影響[7-9]。文獻[10]中利用2階錐規(guī)劃方法來補償聚焦矩陣的誤差，而在該算法中也沒有考慮到最佳聚焦頻率的確定問題。本文考慮到了最佳聚焦頻率的確定問題，將RCB算法的優(yōu)點和2階錐規(guī)劃方法的優(yōu)點結(jié)合在一起，提出了一種雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法。該算法與文獻[7，10]相比，其波束形成效果更優(yōu)。

1 信號模型

設s(t)為入射信號，第m個陣元接收到的寬帶信號為

xm(t)=s(t-τm)+nm(t),
m=1,2,…,M,

(1)

式中：τm為第m個陣元處接收的信號相對于s(t)的時延；nm(t)為第m個陣元疊加的加性噪聲。把每個陣元的輸出分成K個不重疊的數(shù)據(jù)塊，每塊含有L個采樣點。然后對每塊數(shù)據(jù)進行L點的快速傅里葉變換，就可以得到L個頻率子帶上的數(shù)據(jù)，每個頻率子帶上含有K個數(shù)據(jù)快拍。第l個頻率子帶上的頻域數(shù)據(jù)用矩陣形式表示為

Xk(fl)=Al(φ,θ)s(fl)+nk(fl),
k=1,…,K,l=1,…,L,

(2)

式中：fl表示第l個頻率子帶；Al(φ,θ)表示信號第l個頻率子帶上對應方向(φ,θ)的導向矢量，φ是俯仰角，θ是方位角。二維空間的波束形成是三維空間波束形成的特例，具有代表性，本文僅在二維平面內(nèi)進行寬帶聚焦波束形成，相應的Al(φ,θ)簡寫為A(fl,θ).

2 寬帶聚焦波束形成算法

聚焦變換過程中聚焦矩陣應使(3)式[10]成立：

T(fj)A(fj,θ)=A(f0,θ),j=1,2,…，J,

(3)

式中：fj為寬帶范圍內(nèi)任意窄帶頻率；f0為聚焦頻率；A(fj,θ)為第j個頻率子帶上的導向矢量；T(fj)為聚焦矩陣。

本文中聚焦矩陣T(fj)選擇文獻[11]中提到的旋轉(zhuǎn)信號子空間(RSS)法。

最佳聚焦矩陣可按(4)式[10]確定：

(4)

2.1 最佳聚焦頻率的確定

由(4)式可知，由(5)式可確定擬合誤差[11]為

(5)

對于任意陣列，其方向矩陣A(fj,θ)滿足：

(6)

式中：i指信號的個數(shù)，i=1,2,…,P. 將(6)式代入(5)式，可得

(7)

(8)

當F取最大值時，聚焦擬合誤差可取最小值。對于各種陣列的方向矩陣，只要信號的個數(shù)P小于陣元個數(shù)M，(9)式均成立：

(9)

令

(10)

則

(11)

通過(11)式可確定最佳聚焦頻率f0，其算法的時間復雜度為O(n3)。

2.2 雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法原理

頻域樣本值估計出的相關矩陣為

(12)

式中：K指每個頻率子帶上含有的數(shù)據(jù)快拍個數(shù)。根據(jù)給定的寬帶信號的頻率范圍，按照2.1節(jié)中最佳聚焦頻率的確定方法確定出最佳的聚焦頻率f0，基于RCB算法的波束形成就變成

(13)

(14)

式中:κ由牛頓迭代法確定[12-13]；R為協(xié)方差矩陣。同理可以得到其他參考頻率fl上的校正導向矢量l. 用矯正過的0和l可以確定矯正的聚焦矩陣為

l(φ,θ)=(fl)H(fl).

(15)

通過聚焦矩陣預處理后各子帶的數(shù)據(jù)都聚焦在最佳聚焦頻率f0上。

第l個頻率子帶上的聚焦數(shù)據(jù)[14]為

(16)

穩(wěn)健的低旁瓣窄帶波束形成可以保證波束對觀察方向的響應為1的條件下，使得旁瓣級最小,同時考慮波束形成的穩(wěn)健性，對波束形成的加權向量進行約束。即

(17)

式中：θ0為觀察方向；Δ的取值是在波束主瓣的左右兩側(cè)與最高旁瓣相等的兩角度寬度的二分之一；p(θ)為波束對觀察方向的響應；W為波束形成的加權向量；σ為權向量范數(shù)的約束上限。引入非負實變量y1，令θs(s=1,2,…,S)表示旁瓣部分離散化的S個方向，(17)式可寫成

(18)

給定Δ值，通過上式可求出y，即非負實變量y1的最小值，得到優(yōu)化波束加權向量W.

各個子帶的加權向量Wl都滿足：

Wl=W0，

(19)

則f0和fl頻率上的基陣輸出波束圖p0(φ,θ)與pl(φ,θ)分別為

(20)

(21)

使得p0(φ,θ)=pl(φ,θ)，即

(22)

可以實現(xiàn)各窄帶波束形成的波束寬度都恒定。

3 仿真實驗與性能分析

假定入射信號是頻率范圍為[750 Hz，1 500 Hz]的寬帶信號，該寬帶信號帶寬為750 Hz，中心頻率為1 125 Hz. 仿真陣列由24個各向同性陣元組成的均勻分布圓形陣，其半徑為0.5 m，對陣元接收的寬帶信號利用寬帶聚焦的波束形成算法，在0°方向?qū)崿F(xiàn)寬帶信號波束形成。

3.1 仿真1：最佳聚焦頻率有效性的驗證

為了能夠體現(xiàn)最佳聚焦頻率在寬帶聚焦波束形成中的有效性，在這里進行了5組仿真實驗，將寬帶信號劃分為21個窄帶信號，通過RSS算法使21個子帶信號分別聚焦在750 Hz、850 Hz、1 350 Hz、1 500 Hz以及最佳聚焦頻率879 Hz上，再利用常規(guī)波束形成算法。得到了在不同聚焦頻率上的波束圖，分別如圖1～圖5所示。圖1(a)是879 Hz的窄帶信號的常規(guī)波束形成圖，圖1(b)是頻率范圍[750 Hz，1 500 Hz]的寬帶信號通過RSS算法聚焦在最佳聚焦頻率879 Hz的寬帶聚焦波束疊加圖。圖2～圖5分別是聚焦頻率為750 Hz、850 Hz、1 350 Hz和1 500 Hz的仿真實驗結(jié)果。

圖1 最佳聚焦頻率879 Hz上的仿真實驗對比圖Fig.1 Experimental comparison of the optimal focusing frequencies at 879 Hz

圖2 聚焦頻率在750 Hz上的仿真實驗對比圖Fig.2 Experimental comparison of focusing frequencies at 750 Hz

圖3 聚焦頻率在850 Hz上的仿真實驗對比圖Fig.3 Experimental comparison of focusing frequencies at 850 Hz

圖4 聚焦頻率在1 350 Hz上的仿真實驗對比圖Fig.4 Experimental comparison of focusing frequencies at 1 350 Hz

圖5 聚焦頻率在1 500 Hz上的仿真實驗對比圖Fig.5 Experimental comparison of focusing frequencies at 1 500 Hz

從波束圖的主瓣寬度、旁瓣級的角度對5種聚焦頻率下寬帶波束形成的效果進行了對比分析。從以上的對比結(jié)果及表1、表2、表3的數(shù)據(jù)分析可以看出，在最佳聚焦頻率聚焦的寬帶波束與其對應的窄帶波束的一致性較好，圖1(b)中各個頻率上的主瓣寬度與其對應的窄帶波束相差5.73°，旁瓣級接近圖1(a)中的窄帶信號旁瓣級，只相差0.75 dB. 在確定聚焦頻率點時，當選擇的聚焦頻率小于879 Hz的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示，聚焦前后的寬帶波束與窄帶波束的一致性較差，寬帶聚焦波束的主瓣寬度可以保持較好的一致性，主瓣寬度變化較小，但是旁瓣級變化較大，達到了3.83 dB. 當選擇的聚焦頻率大于879 Hz的仿真結(jié)果如圖4和圖5所示，聚焦前后的寬帶波束與窄帶波束的一致性較差，寬帶聚焦波束的主瓣寬度也可以保持較好的一致性，但是主瓣寬度變化較大，達到了19.72°，旁瓣級變化也較大。因此，通過聚焦變換在最佳聚焦頻率上的寬帶聚焦波束圖的效果是最優(yōu)的。從而證明了最佳聚焦頻率的有效性。

表1 窄帶信號波束形成參數(shù)對比

表2 寬帶信號波束形成參數(shù)對比

表3 窄帶信號與寬帶信號波束形成參數(shù)變化對比

3.2 仿真2：基于RCB優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法

為了驗證RCB算法對聚焦矩陣的修正作用，使21個窄帶信號利用RCB算法校正的最佳聚焦矩陣(fj)聚焦在最佳聚焦頻率f0=879 Hz上，將寬帶問題轉(zhuǎn)換為窄帶問題后，利用常規(guī)波束形成算法完成寬帶聚焦波束形成。該算法的時間復雜度為O(n3)。

由圖6可以看出，該算法得到的寬帶聚焦波束其主瓣為76.43°，旁瓣級為7.4 dB，與圖1(b)中未通過RCB校正的寬帶聚焦波束對比，可以看出其波束形成效果優(yōu)于校正前的波束圖，其寬帶波束與其對應的窄帶波束保持了較好的一致性，主瓣寬度減小了0.71°，旁瓣級下降了0.15 dB. 從而證明了RCB算法在寬帶聚焦波束形成中有效地修正了聚焦矩陣。

圖6 RCB校正后聚焦在879 Hz寬帶波束圖Fig.6 Broadband beam pattern at 879 Hz after RCB correction

3.3 仿真3：基于最佳聚焦頻率的2階錐寬帶聚焦波束形成算法

將寬帶信號劃分為21個窄帶信號，設每個窄帶的中心頻率為fj，j=1,2，…,21. 利用最佳聚焦頻率的確定方法確定出該寬帶信號的最佳聚焦頻率為f0=879 Hz；利用RSS聚焦算法使j個窄帶信號全部聚焦在最佳聚焦頻率f0=879 Hz上；最后利用2階錐規(guī)劃方法完成窄帶波束形成。該算法的時間復雜度為O(n2)。

由圖7可以看出，該算法得到的波束疊加圖，其主瓣寬度為26.6°，旁瓣級可以達到23.3 dB，與常規(guī)波束形成算法相比較有更好的波束形成效果。

圖7 基于最佳聚焦頻率的2階錐寬帶聚焦波束圖Fig.7 Two-order cone broadband focusing beam pattern based on optimal focusing frequency

3.4 仿真4：雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法

圖8 雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束圖Fig.8 Dual optimized broadband focusing beam pattern

寬帶信號通過雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成，其寬帶波束主瓣保持恒定，主瓣寬度為22.8°，旁瓣級可以達到28.5 dB. 與之前的波束圖對比，通過雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成，其波束形成的效果是最優(yōu)的。為了進一步驗證算法的有效性，對該算法進行了湖試實驗驗證。

4 湖試實驗

本文中的算法在某水庫進行了湖試實驗驗證。實驗水域深為8.5 m，水面較為開闊，采用24元圓環(huán)形基陣，半徑為0.5 m. 發(fā)射信號由美國HP/Agilent公司產(chǎn)HP33120A函數(shù)/任意波形發(fā)生器產(chǎn)生，頻率范圍[750 Hz，1 500 Hz]，為矩形調(diào)制的正弦脈沖信號，選用其中8個頻率點，分別為750 Hz、857 Hz、964 Hz、1 071 Hz、1 178 Hz、1 285 Hz、1 392 Hz、1 500 Hz.發(fā)射信號通過增益為50 dB功放放大后送到鑲拼圓環(huán)發(fā)射換能器作為聲源。發(fā)射過程中濾波放大器的輸入、輸出增益保持不變，但濾波的中心頻率和信號頻率保持一致。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的采樣頻率為50 kHz，數(shù)據(jù)存儲長度設為5 s，平均輸入信噪比約為37 dB.

先利用RCB算法對實測的8組陣列流形進行校正，由校正的陣列流形確定出修正的聚焦矩陣，在[750 Hz，1 500 Hz]的頻率范圍內(nèi)，由最佳聚焦頻率的確定方法確定出最佳聚焦頻率f0=879 Hz，權值是通過24陣元的理想圓陣的陣列流形設計得到的，是基于最佳聚焦頻率的2階錐的寬帶聚焦波束形成算法的權值，得到如圖9所示，并與基于最佳聚焦頻率的常規(guī)寬帶聚焦波束形成算法，以及2階錐寬帶波束形成算法進行對比，如圖10所示。

圖9 實測流型的8頻率點波束疊加圖Fig.9 Beam superposition of measured array manifolds at 8 frequency points

由圖9、圖10及表4可以看出：寬帶信號在8個頻率點的主瓣寬度都可以保持較好的一致性，其寬度差不超過2.5°；在8個頻率點中，最高的旁瓣級為21.0 dB，最低的旁瓣級為33.0 dB. 通過圖10中本文算法分別與常規(guī)波束形成算法和2階錐寬帶波束形成算法的對比，可以看出本文提出的雙重優(yōu)化算法在保證波束恒定的前提下，在各個頻率點都具有更低的旁瓣級，從而證明了該算法的有效性。

表4 寬帶信號8頻率點的波束參數(shù)

5 結(jié)論

本文研究了利用CSM算法解決寬帶聚焦波束形成問題，提出了雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法。該算法利用RCB算法修正聚焦矩陣，使寬帶信號聚焦在此頻帶范圍的最佳聚焦頻率上，再利用基于2階錐的最低旁瓣波束形成算法。這不僅彌補了在確定聚焦矩陣時，對初始方向估計的偏差對聚焦效果的影響，還考慮到聚焦頻率選擇的偏差對聚焦效果的影響。通過仿真實驗和湖試實驗的驗證，證明了最佳聚焦頻率的有效性，以及RCB算法在寬帶聚焦波束形成中對聚焦矩陣的修正作用，從而進一步表明雙重優(yōu)化的寬帶聚焦波束形成算法在保證波束恒定的前提下，在不同的頻率點處的旁瓣級更低，波束形成效果更優(yōu)，從而驗證了該算法的有效性。

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圖10 實測流型的8頻率點波束圖Fig.10 Beam patterns of measured array manifolds at 8 frequency points

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Research on Dual Optimized Broadband Beamforming Algorithm

BI Yang1,2， WANG Ying-min2，WANG Qi2

(1.School of Electronic Engineering, Xi’an Aeronautical University, Xi’an 710077, Shaanxi，China; 2.College of Marine, Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，Shaanxi, China)

When the focusing matrix is identified in the coherent signal-subspace method, the deviation of the initial direction and the deviation of focusing frequency selection have an effect on the final focusing effect, even making the algorithm fail. A dual optimized broadband beamforming algorithm is presented. The algorithm is to use the robust Capon beamforming algorithm to correct the focusing matrix, the broadband signals are focused on the best focusing frequency by the corrected focusing matrix, and the narrowband signals are beamformed by the second-order cone programming algorithm. The computer simulation results and lake experiments show that the proposed algorithm can make the beam constant, and lower the sidelobe level at each frequency point.

acoustics; focusing matrix; focusing frequency; robust Capon beamforming algorithm; second-order cone programming; broadband beamforming

2016-11-15

畢楊(1981—)，女，講師，博士。E-mail:biyangg@163.com

TN929.3

A

1000-1093(2017)08-1563-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.08.014