夏正勇

[摘 要] 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題是各地高考卷中的熱點問題，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn).這類問題，綜合性強，對學(xué)生的綜合解題能力，思維的靈活性、創(chuàng)造性方面要求很高.本文針對此類問題進(jìn)行剖析，促進(jìn)知識的有效復(fù)認(rèn)和解決問題方法的創(chuàng)新生成.

[關(guān)鍵詞] 成立問題；分離參數(shù)；分類討論；洛比達(dá)法則

恒成立與能成立問題（存在性問題）一直是函數(shù)知識的熱點內(nèi)容，都是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點考查的問題. 對于此類問題，我們常用的一種方法是分離參數(shù)，再利用求導(dǎo)的方法解決，但此法應(yīng)用有局限，有時會發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)后的函數(shù)值不存在.這時我們應(yīng)轉(zhuǎn)變戰(zhàn)略，從其他角度入手，比如洛必達(dá)法則.

[?] 發(fā)現(xiàn)問題

典例1：（2017屆高三期末鎮(zhèn)江卷）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2-1）（λ為常數(shù)）.

（1）已知函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處有相同的切線，求實數(shù)λ的值；

（2）如果λ=，且x≥1，證明：f（x）≤g（x）；

（3）若對任意x≥1時，關(guān)于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.

原解：略. 原解在處理第（3）問時，用分類討論的方法處理，但比較煩瑣，也較難想到.現(xiàn)采用分離參數(shù)的方法處理如下.

另解：（3）當(dāng)x=1時，不等式恒成立，此時λ∈R；

當(dāng)x>1時，問題等價于λ≥

max；

令g（x）=（x>1），則g′（x）=，令h（x）=-x2lnx-lnx+x2-1（x>1），則h′（x）=-2xlnx+x-，h″（x）= -2lnx+-1. 因為x>1，所以h″（x）<0. 知h′（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，h′（x）

問題1：函數(shù)g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，因此在x=1處取得最大值，而x=1取不到；

問題2：x=1不能代入函數(shù)，代入的話分母為零，無意義.

思考：上述兩個問題，問題2才是關(guān)鍵.若函數(shù)g（x）在x→1時，g（x）→+∞，則該題無解，正常情況下出題人不會這樣設(shè)計問題的. 那么只有一種可能就是函數(shù)g（x）在x→1時，g（x）存在逼近值，也就是極限. 如果能求出這個極限，那么這個問題就迎刃而解了.

[?] 尋找對策

回過頭來重新審視一下函數(shù)g（x）=（x>1），當(dāng)把x=1分別代入分子和分母后，會發(fā)現(xiàn)分子分母都是0. 筆者研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決的這部分問題的普遍原因都是出現(xiàn)了“”型的式子，而這就是高等數(shù)學(xué)中的不定式問題，解決這類問題的有效方法就是洛必達(dá)法則.

【法則1】若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）f（x）=0及g（x）=0；

（2）在點a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；

（3）=l，那么==l.

【法則2】若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）f（x）=∞及g（x）=∞；

（2）在點a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；

（3）=l，那么==l.

[?] 嘗試成功

研究函數(shù)g（x）=（x>1），完全符合【法則1】. 由洛必達(dá)法則知，g（x）====，故λ≥；綜上，可知實數(shù)λ的取值范圍是

，+∞

. 順利解決此問題.

典例2：已知函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2，當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，求實數(shù)a的取值范圍.

解：當(dāng)x=0時，a∈R；當(dāng)x>0時，問題等價于≤

min. 記g（x）= （x>0），則g′（x）=，令h（x）=（x-1）ex+1（x>0），則h′（x）=xex>0，因此h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）>h（0）=0，從而g′（x）>0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則知，g（x）====1，故a≤1；

綜上，可知實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1].

小結(jié)：這兩題用分離參數(shù)法解題過程中都遇到了“當(dāng)x=1（x=0）時，函數(shù)g（x）值沒有意義”這一問題，很多考生會陷入困境. 如果考前對學(xué)生講授洛必達(dá)法則的應(yīng)用，再通過強化訓(xùn)練就能掌握解決此類難題的這一有效方法，同時也可以避免學(xué)生用分離參數(shù)法做到這一步卻走不下去，進(jìn)而否定此解法，前功盡棄.

[?] 提煉升華

通過以上兩道例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足：

（1）不等式可以進(jìn)行分離參數(shù)；（1）分離參數(shù)后，可以用導(dǎo)數(shù)確定另一端新函數(shù)的單調(diào)性；（3）出現(xiàn)“”型式子；當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能使用洛必達(dá)法則，濫用會出錯，這時應(yīng)從另外途徑求極限.當(dāng)然，高中階段的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題不會出現(xiàn)如此復(fù)雜局面.

典例3：（2017屆高三期末常州卷）已知函數(shù)f（x）=ax2lnx+bx+1.

（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-2y+1=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a=2，且關(guān)于x的方程f（x）=1在

，e上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）若a=2，b=-1，當(dāng)x≥1時，關(guān)于x的不等式f（x）≥t（x-1）2恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

原解：略.

原解在處理第（3）問時計算過程復(fù)雜，學(xué)生難以把握.現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下.

另解：（3）當(dāng)a=2，b=-1時，f（x）=x2lnx-x+1. 當(dāng)x=1時，不等式恒成立，此時t∈R；

當(dāng)x>1時，問題等價于t≤

min.

令g（x）=（x>1），則g′（x）=. 令h（x）=-2xlnx+x2-1（x>1），則h′（x）=2x-2lnx-2，h″（x）=2-=. 因為x>1，所以h″（x）>0. 知h′（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，h′（x）>h′（1）=0；知h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，h（x）>h（1）=0；所以g′（x）>0，g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù).

由洛必達(dá)法則知，g（x）===.

問題：使用了一次洛必達(dá)法則后，發(fā)現(xiàn)中仍不能代入x=1.

對策：當(dāng)把x=1分別代入的分子和分母后，會發(fā)現(xiàn)分子分母仍然都是0，并且符合【法則1】，那么就可以再次使用洛必達(dá)法則.

由洛必達(dá)法則知，g（x）====，故t≤.

綜上，可知實數(shù)t的取值范圍是

-∞，

.

典例4：若不等式sinx>x-ax3對于x∈

0，

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解：當(dāng)x∈

0，

時，原問題等價于a>

max.

令f（x）=，x∈

0，

，則f′（x）=. 令g（x）=3sinx-xcosx-2x，x∈

0，

，

則g′（x）=2cosx+xsinx-2，g″（x）=xcosx-sinx，g?（x）=-xsinx<0，所以g″（x）在

0，

上單調(diào)遞減，g″（x）

0，

上單調(diào)遞減，g′（x）

0，

上單調(diào)遞減，g（x）

所以f′（x）<0，因此f（x）=在

0，

上單調(diào)遞減.

由洛必達(dá)法則知，f（x）=====，故a≥.

綜上，可知實數(shù)t的取值范圍是

，+∞

.

小結(jié)：通過以上兩個例題的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)只要條件符合，洛必達(dá)法則可以連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.在例4中，雖然在判斷新函數(shù)的單調(diào)性時最后都運用了三階導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)的過程中感覺前路迷茫，其實不用擔(dān)心，高中階段的這種問題中的函數(shù)必然存在極限，所以只要確定了單調(diào)性就可以放心使用洛必達(dá)法則了.

[?] 總結(jié)成果

利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：

（1）將公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，x→a+，x→a-洛必達(dá)法則也成立.

（2）洛必達(dá)法則可處理，，0·∞，1∞，∞0，00，∞-∞型.

（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，0·∞，1∞，∞0，00，∞-∞型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會出錯. 當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則，這時稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限.

（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

對成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值有些麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好地處理它的最值，是一種值得借鑒的方法. 但是也不可能涵蓋所有情況，在解題過程中，只有根據(jù)題目，靈活運用各種所學(xué)的知識，才能方便解題，提高解題效率.