曲利民,郭躍男，王佳偉，蘭 森，宮銘辰，王 超

(1.國網(wǎng)黑龍江省電力有限公司電力科學(xué)研究院，哈爾濱 150030; 2.優(yōu)視科技(中國)有限公司，廣州 510630)

基于動態(tài)相量法的孤島微電網(wǎng)穩(wěn)定性分析

曲利民1,郭躍男1，王佳偉2，蘭 森1，宮銘辰1，王 超1

(1.國網(wǎng)黑龍江省電力有限公司電力科學(xué)研究院，哈爾濱 150030; 2.優(yōu)視科技(中國)有限公司，廣州 510630)

微電網(wǎng)中大量電力電子裝置的存在，增加了微電網(wǎng)電磁暫態(tài)過程的建模和分析難度。針對這個(gè)問題，建立了微電網(wǎng)離網(wǎng)運(yùn)行時(shí)的動態(tài)相量模型，并采用奇異值攝動理論對模型進(jìn)行降階。采用李雅普諾夫直接法分析微電網(wǎng)孤島運(yùn)行時(shí)系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性。

微電網(wǎng)；動態(tài)相量；奇異擾動；李雅普諾夫；穩(wěn)定性

分布式發(fā)電以其污染小，能源利用率高，系統(tǒng)的可靠性高等優(yōu)點(diǎn)得到迅速發(fā)展，隨著并網(wǎng)問題的提出，“微電網(wǎng)”一詞應(yīng)運(yùn)而生，為可再生能源的消納提供途徑，成為傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的有效補(bǔ)充[1]。

動態(tài)相量模型是介于電磁暫態(tài)和機(jī)電暫態(tài)之間的模型，其建立在時(shí)變傅里葉(Fourier)分解的基礎(chǔ)上，突破了準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)假定的限制，能夠保證較高精度的前提下，加快仿真速度，因此在電力系統(tǒng)等領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用[2]。動態(tài)相量法被廣泛應(yīng)用在各種變流器建模[3]，可控串聯(lián)補(bǔ)償器建模[4]，電機(jī)模型和分布參數(shù)線路建模[5]，以及以并網(wǎng)逆變器、線路和負(fù)荷為基礎(chǔ)的微電網(wǎng)建模[6]。微電網(wǎng)孤島運(yùn)行時(shí)，由于失去了大電網(wǎng)頻率和電壓的支撐，更容易受到系統(tǒng)參數(shù)的影響，其穩(wěn)定性問題變得突出。目前比較典型的分析穩(wěn)定性方法有特征值法[7]、勞斯判據(jù)[8]、吸引域法[9]、李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)[10]等。

本文采用李雅普諾夫直接法來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采用此方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性[11]。對微電網(wǎng)這種階數(shù)較高、強(qiáng)耦合的非線性時(shí)不變系統(tǒng)而言，其特征方程和狀態(tài)方程的求解常常是很困難的，采用李雅普諾夫直接法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性將顯示出極大的優(yōu)越性。本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，建立了逆變型微電網(wǎng)系統(tǒng)的動態(tài)相量模型并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。

1 動態(tài)相量定義及性質(zhì)

動態(tài)相量建模的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為Fourier變換。對周期為T的時(shí)域函數(shù)x(τ)，在任意區(qū)間τ(∈t-T,t]上可以利用Fourier級數(shù)的形式表示為[6]

式中：ωs=2π/T；Xk(t)為時(shí)變復(fù)數(shù)Fourier系數(shù)，稱為第k階動態(tài)相量，簡記為〈x〉k。

根據(jù)動態(tài)相量的定義，可以推導(dǎo)出如下兩個(gè)重要特性。

1)微分特性。對于時(shí)域信號x(t)，第k階動態(tài)相量的微分滿足

2)共軛特性。對于〈x〉k滿足

式中：上標(biāo)R，I分別表示相量的實(shí)部和虛部，“*”表示復(fù)數(shù)共軛。

對于基波動態(tài)相量，其時(shí)域量x(t)與動態(tài)相量X1，X-1之間滿足

x(t) =X1ejωst+X-1e-jωst

(1)

2 微電網(wǎng)的動態(tài)相量建模

2.1 網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)相量模型

圖1給出了微電網(wǎng)孤島運(yùn)行時(shí)的基本結(jié)構(gòu)，由2臺分布式發(fā)電機(jī)、傳輸線路和負(fù)荷構(gòu)成。其中：k=1,2，iok=[ioka,iokb,iokc]T為機(jī)端電流向量；uk=[uka,ukb,ukc]T為機(jī)端電壓向量；ik=[ika,ikb,ikc]T，iL=[iLa,iLb,iLc]T分別為負(fù)荷電流和線路電流向量；RL=diag(RL,RL,RL)為線路電阻；LL=diag(LL,LL,LL)為線路電感；Rk=diag(Rk,Rk,Rk)為負(fù)荷電阻；Lk=diag(Lk,Lk,Lk)為負(fù)荷電感；Uk和θk分別為第k個(gè)微源的機(jī)端電壓幅值和相角。

圖1 微電網(wǎng)孤島運(yùn)行時(shí)的結(jié)構(gòu)Fig.1 Microgrid structure during islanded operation

由圖1可知微電網(wǎng)孤島運(yùn)行的動態(tài)方程為

(2)

根據(jù)動態(tài)相量法的定義和性質(zhì)可將式(2)寫成動態(tài)相量的形式：

這里將第一個(gè)微源的電壓相角θ1作為線路電流iL的參考時(shí)變角度，δ=(θ1-θ2)為兩個(gè)微源電壓的相角差，假設(shè)uk=2Ukcosθk，由式(1)可得

由上述分析可得微電網(wǎng)孤島運(yùn)行時(shí)的網(wǎng)絡(luò)動態(tài)相量模型為

(3)

(4)

2.2 含控制部分的微電網(wǎng)動態(tài)相量模型

這里采用的是頻率電壓下垂控制方法，下垂控制特性為

(5)

逆變器輸出的功率經(jīng)低通濾波器后的有功功率和無功功率為

(6)

其中，T為濾波參數(shù)。

將式(4)～(6)代入式(3)，同時(shí)對式(5)和式(6)的形式做相應(yīng)變換，可以得到微電網(wǎng)孤島運(yùn)行的閉環(huán)動態(tài)相量模型為

2.3 孤島微電網(wǎng)降階動態(tài)相量模型

式(7)為11階的微電網(wǎng)模型，在計(jì)算和分析時(shí)較復(fù)雜。為了簡化系統(tǒng)模型的復(fù)雜性，提高系統(tǒng)動態(tài)仿真的計(jì)算速度，這里采用奇異值攝動理論對上述模型進(jìn)行降階，可以將模型寫成標(biāo)準(zhǔn)奇異擾動模型的形式：

(8)

這里的ε為非常小的正參數(shù)，根據(jù)微電網(wǎng)實(shí)際情況，可以假定負(fù)載電感Lk和電阻Rk滿足Lk/Rk≤LL/RL。但是Lk/Rk很小并不意味著ωLk/Rk也很小，因此，在式(7)中應(yīng)用奇異值懾動理論[11]，令ε=Lk/Rk=0，則微分方程(8)退化為0=g(t,x,z,0)，得到系統(tǒng)的降階模型。降階模型中的電流、有功、無功和兩個(gè)微源電壓的相角差分別用z、Pz、Qz、δz來表示。降階后的7階動態(tài)相量模型為

3 孤島微電網(wǎng)的穩(wěn)定性分析

3.1 微電網(wǎng)孤島運(yùn)行的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

設(shè)x=0是非線性系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，其中f:D→Rn是連續(xù)可微的，且D為原點(diǎn)的一個(gè)鄰域，則

那么：1)如果J的所有特征值都滿足Reλi<0，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；2)如果J至少有一個(gè)特征值滿足Reλi>0，則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

P1,eq=803.6455WQ1,eq=387.0800VAr

P2,eq=747.6455WQ2,eq=375.8757VAr

δeq=-0.0371rad

由計(jì)算結(jié)果可知系統(tǒng)的平衡點(diǎn)不是原點(diǎn)，因此這里等價(jià)于將變量代換z=x-xeq，把平衡點(diǎn)平移到原點(diǎn)，并計(jì)算z=0時(shí)的雅可比矩陣。解得雅可比矩陣的特征值為

s1,2=-812.5±376.98is3,4=-714.28±376.99i

s5,6=-62.39±376.94is7,8=-2.92±4.77i

s9=-6.15s10=-5.9s11=-5.88

由上述結(jié)果可以看出，各特征值的實(shí)部均為負(fù)值，因此根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)可知，各系統(tǒng)參數(shù)在當(dāng)前的取值情況下，能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。為了分析各參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，還需判斷在各參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)是否能夠依然保持穩(wěn)定。因此，需要仿真出系統(tǒng)在各參數(shù)變化時(shí)的根軌跡圖和系統(tǒng)中各參數(shù)的仿真圖，可更直觀地呈現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.2 仿真分析

以圖1所示微電網(wǎng)結(jié)構(gòu)為例，由2臺并網(wǎng)逆變器組成，通過輸電線路連接到公共耦合點(diǎn)，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

以下垂控制參數(shù)為例，分析各參數(shù)如何影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。這里給出了系統(tǒng)全階模型和降階模型在控制參數(shù)kp在區(qū)間(5e-4,5e-1)上變化時(shí)的根軌跡圖，如圖2所示。當(dāng)下垂控制參數(shù)kp在給定的區(qū)間上變大時(shí)，由圖2(a)可以很明顯看到特征值s7,s8的實(shí)部由負(fù)變正；同樣，由圖2(b)也可以看到特征值s3,s4的實(shí)部由負(fù)變正，因此，可以說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性在逐漸變差。從圖2(a)和2(b)的對比可知，系統(tǒng)的降階模型同樣能夠很好地反映系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

圖2 kp變化時(shí)的根軌跡Fig.2 Root locus as kp is changed

圖3給出了微電網(wǎng)孤島運(yùn)行時(shí)采用動態(tài)相量法建模的各個(gè)量的仿真波形。圖3(a)是兩個(gè)負(fù)荷電流的變化；圖3(b)是線路電流的變化；圖3(c)是兩個(gè)逆變器輸出的有功功率和無功功率的變化；圖3(d)是兩個(gè)微源的電壓相角差。從波形可以看出，系統(tǒng)中的各個(gè)量最后都穩(wěn)定在上述求出的平衡點(diǎn)處，在仿真開始時(shí)，負(fù)荷電流變化非?？?，迅速到達(dá)平衡點(diǎn)，并與線路電流相互影響，而其他變量則需要一段時(shí)間進(jìn)行調(diào)節(jié)。

圖4是當(dāng)控制參數(shù)kp=5e-2時(shí)的仿真波形。與圖3(c)、(d)對比可以看出，當(dāng)控制參數(shù)kp=5e-2時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，驗(yàn)證了理論分析的正確性。同理，可以采用相同的方法分析系統(tǒng)其他參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

圖3 kp=5e-4時(shí)動態(tài)相量模型各個(gè)量的波形Fig.3 Waveforms of every quantity in dynamic phasors model(kp=5e-4)

圖4 kp=5e-2時(shí)功率和相角差的波形Fig.4 Waveforms of power and phase angle difference (kp=5e-2)

4 結(jié) 論

本文建立了含2個(gè)微源的微電網(wǎng)動態(tài)相量模型，采用奇異值攝動理論得到同樣可以反應(yīng)系統(tǒng)動態(tài)特性的降階模型，簡化了系統(tǒng)的復(fù)雜程度。采用李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法，對微電網(wǎng)離網(wǎng)運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，分析了下垂控制參數(shù)kp、kq和線路負(fù)荷參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得出控制參數(shù)過大將導(dǎo)致微電網(wǎng)失穩(wěn)的結(jié)論，從而為工程上各參數(shù)的選擇提供參考。利用Matlab得到根軌跡圖和仿真圖驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

[1] 王成山，武震，李鵬．微電網(wǎng)關(guān)鍵技術(shù)研究[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2014，29(2)：1-12． WANG Chengshan，WU Zhen，LI Peng．Research on key technologies of microgrid[J]．Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(2)：1-12．

[2] 曲利民．微電網(wǎng)動態(tài)相量模型與協(xié)同控制策略研究[D]．蘭州：蘭州理工大學(xué)，2016． QU Limin．Research on dynamic phasor model and cooperative control strategy of microgrid [D]．Lanzhou：Lanzhou University of Technology，2016．

[3] 戚慶茹，焦連偉，陳壽孫，等．運(yùn)用動態(tài)相量法對電力電子裝置建模與仿真初探[J]．電力系統(tǒng)自動化，2003，27(9)：6-10． QI Qingru，JIAO Lianwei，CHEN Shousun，et al．Application of the dynamic phasors in modeling and simulation of electronic converters[J]． Automation of Electric Power Systems，2003，27(9)： 6-10．[4] 何瑞文，蔡澤祥．結(jié)合諧波特征的可控串補(bǔ)動態(tài)相量法建模與特性分析[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25(5)：28-32． HE Ruiwen，CAI Zexiang．Modeling and analysis of thyristor-controlled series capacitor with dynamic phasors considering harmonic characteristics [J]．Proceedings of the CSEE，2005，25(5)：28-32．

[5] 鄂志君，應(yīng)迪生，陳家榮，等．動態(tài)相量法在電力系統(tǒng)仿真中的應(yīng)用[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(31)：42-47． E Zhijun，YING Disheng，CHEN Jiarong，et al．Application of dynamic phasor in power system simulation[J]．Proceedings of the CSEE，2008，28(31)：42-47．

[6] 曾正，趙榮祥，楊歡．含逆變器的微電網(wǎng)動態(tài)相量模型[J]．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012，32(10)：65-71． ZENG Zheng，ZHAO Rongxiang，YANG Huan．Dynamic phasors model of microgrid with grid-connected inverters[J]．Proceedings of the CSEE，2012，32(10)：65-71．

[7] YANG X，ZONG X，YANG F．A research on droop control strategy and simulation for the micro-grid[C]// International Conference on Electrical and Control Engineering(ICECE)．Yichang:IEEE，2011：5695-5700．

[8] ZHANG Junwen，CHEN Jie，CHEN Xin．Modelling,analysis,and design of droop-controlled parallel three phase voltage source inverter using dynamic phasors method[C]//Transportation Electrification Asia-Pacific (ITEC Asia-Pacific)．Nanjing:IEEE，2014：1-6．

[9] MARIANI V，VASCA F．Stability analysis of droop controlled inverters via dynamic phasors and contraction theory[C]//European Control Conference．Zurich: IEEE，2013：1505-1510．

[10] MARIANI V，VASCA F,GUERRERO J M．Analysis of droop controlled parallel inverters in islanded microgrids[C]//Energy Conference．Dubrovnik:IEEE，2014：1304-1309．

[11] Khalil H K．Nonlinear systems third edition[M]．New Jersey：Prentice Hall，2002:52-60．

(編輯 陳銀娥)

Dynamic phasor based islanded microgrid stability analysis

QU Limin1,GUO Yuenan1，WANG Jiawei2,LAN Sen1,GONG Mingchen1,WANG Chao1

(1.Electric Power Research Institute of State Grid Heilongjiang Electric Power Co.,Ltd.,Harbin 150030,China;2.UC Mobile (China) Co.,Ltd.,Guangzhou 510630,China)

Due to the existence of a large number of power electronic devices in the microgrid,the difficulty of modeling and analysis in the electromagnetic transient process is increased.As to this problem,the dynamic phasors model is established under microgrid islanded operation and the order of model is reduced by useing singular perturbation theory.Also,Lyapunov direct method is used in order to analyze the influence of parameters on system stability during islanded operation.Finally,the correctness of the theoretical analysis is verified by simulation.

microgrid; dynamic phasors; singular perturbation; Lyapunov; stability

2017-01-05;

2017-04-23。

曲利民(1990—)，男，助理工程師，主要研究方向?yàn)樽冸姍z修。

TM744

A

2095-6843(2017)04-0290-05